精品解析：河南省南阳市南召县城郊乡初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋期九年级第一次数学练习 一、选择题:（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，能使有意义的是（ ） A. 6 B. 0 C. 3 D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正整数满足等式，下列各组数值中符合要求的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 若关于的方程是由配方后得到的，则a、b的值分别为（ ） A. 4，2 B. C. D. 9. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 已知一元二次方程（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程（a≠0）的两根分别为（ ） A. 1,5 B. -1,3 C. -3,1 D. -1,5 二、填空题:（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于1且小于2的最简二次根式_________． 12. 计算：____________． 13. 写出方程x2+x-1=0的一个正根_______ 14. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 15. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算： （1） （2）． 17. 解方程： （公式法）； 18. 下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：第一步 第二步 第三步 ， 第四步 任务： （1）①小明同学解方程用到的方法是（　　） A．配方法　B．公式法　C．因式分解法 ②小明解方程的过程从第            步开始出现错误，错误原因是            ； （2）请你用和小明不同的方法解该方程． 19. 关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 20. 代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答； ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： （1）计算 ______； （2）若 ，求值． 21. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 22. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得， ∴．∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）设a，b满足等式，求的值． 23. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级第一次数学练习 一、选择题:（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，能使有意义的是（ ） A. 6 B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵有意义 ∴， ∴，只有A选项正确， 故选：A． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C 3. 计算的结果是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，直接利用分配律进行乘法运算即可． 【详解】解： ， 故选B 4. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是理解一元二次方程的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ，，， 故选：． 5. 如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直接开平方法的特点即可解答． 【详解】解：∵关于的方程可以用直接开平方法求解， ∴， ∴． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解能直接开平方的数是非负数成为解题的关键． 6. 已知正整数满足等式，下列各组数值中符合要求的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】分别把的值代入等式的左、右两边进行计算即可得到答案． 【详解】解：A.当，时，，故A不符合题意； B.当，时，，故B符合题意； C.当，时，，故C不符合题意； D.当，时，，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 若关于的方程是由配方后得到的，则a、b的值分别为（ ） A. 4，2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 首先将变形为，然后根据题意得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于的方程是由配方后得到的 ∴， ∴． 故选：C． 9. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知一元二次方程（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程（a≠0）的两根分别为（ ） A. 1,5 B. -1,3 C. -3,1 D. -1,5 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】记，则即的两根为3，1 故1，3. 故选B. 【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程. 二、填空题:（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于1且小于2的最简二次根式_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的比较大小，解题的关键是根据题意得出，，然后取根式即可． 【详解】解：∵，， ∴大于1且小于2的最简二次根式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式：进行二次根式的简便运算，把看作、2看作，直接套用公式化简求值． 【详解】解：由平方差公式， 令，， ． 13. 写出方程x2+x-1=0的一个正根_______ 【答案】 【解析】 【详解】解：a=1，b=1，c=-1，△=1+4=5，∴x=.故正根为：x=．故答案为x=． 14. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 15. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算列出一元二次方程，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2， ∴（x+2）*3＝ ∴ 即 ∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减乘除混合运算的法则解答即可． （2）根据二次根式的加减乘除混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （公式法）； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先将原方程化为一般式，再求出并判断正负，然后利用求根公式求解． 【详解】解：原方程可化为  . ， ． 18. 下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：第一步 第二步 第三步 ， 第四步 任务： （1）①小明同学解方程用到的方法是（　　） A．配方法　B．公式法　C．因式分解法 ②小明解方程的过程从第            步开始出现错误，错误原因是            ； （2）请你用和小明不同的方法解该方程． 【答案】（1）①A；②二，未给等号右边加1 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤； （1）根据配方法的步骤得到答案即可； （2）运用因式分解的方法解方程即可； 【小问1详解】 解：①此题运用了配方法解一元二次方程；故选：A， ②运算的过程中配方时，需要两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，而右边未加； 故答案为：二，未给等号右边加1； 【小问2详解】 解： ， ∴，． 19. 关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1． 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可. 【详解】（1）解：由题意：． ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）答案不唯一，满足（）即可，例如： 解：令，，则原方程为， 解得：． 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 20. 代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟新径，事半功倍．阅读下列短文：已知 ，求的值．分析与解答； ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： （1）计算 ______； （2）若 ，求值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，利用平方差公式进行分母有理化，代数求值，解题的关键是掌握二次根式的化简法则． （1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）先对二次根式进行化简，再变形代数求值即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ∴ ， ，即， ∴， ∴． 21. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 22. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得， ∴．∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）设a，b满足等式，求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键． （1）设，则原方程变形为，解方程求出t的值即可得到答案； （2）设，则，解方程求出m的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，则原方程变形为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 23. 综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 【答案】（1）； （2） 解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3），． 【解析】 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【小问1详解】 由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $