13.3 分式方程（第2课时 分式方程的应用)（教学课件)-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）七年级数学上册 第十三章 分式 第二课时 分式方程的应用 13.3 分式方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1.理解数量关系正确列出分式方程.（难点） 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.（重点） 学习目标 1.解分式方程的基本思路是什么？ 2.解分式方程有哪几个步骤？ 3.验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 转化 去分母 一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法. 复习导入 4 例3 现有一包15g的果汁粉，用水冲泡成浓度为6%的饮料，需要加多少水(浓度=)？ 解： 设需要加xg水.根据题意，得 =6% 方程两边同乘100(x+15),得 1500=6(x+15) 解得 x=235 经检验，x=235是原方程的解 答：需要加235g的水。 课本例题 例4 某商店促销，购买某款电器每台可享受减免300元的优惠．若同样用33000元购买若干台此款电器，优惠后可购买的台数比优惠前多10％，这款电器优惠前的售价为多少元？ 分析 根据“优惠后可购买的台数比优惠前多10％”，可以得到“优惠前33000元购买的台数×(1+10％)＝优惠后33000元购买的台数”． 课本例题 例4 某商店促销，购买某款电器每台可享受减免300元的优惠．若同样用33000元购买若干台此款电器，优惠后可购买的台数比优惠前多10％，这款电器优惠前的售价为多少元？ 解：设该款电器优惠前的售价x元.根据题意，可得 ×(1+10%)= 即 = 方程两边同乘x(x-300),得 1.1(x-300)=x 解得 x=3300 经检验，x=3300是原方程的解 答：这款电器优惠前的售价为3300元. 课本例题 例5 甲地至乙地的铁路路程约300km.如果行驶在这一路段的快车与慢车的车速之比为5:3,快车比慢车快1h到达，那么甲地至乙地的快车与慢车的速度各是多少？ 分析 根据“快车与慢车的车速之比为5:3”，若设快车的速度是5xkm/h，则慢车的速度是3xkm/h．由速度、时间、路程之间的关系，可列出表： 车型 速度/(km/h) 路程/km 时间/h 快车 5x 300 慢车 3x 300 根据“快车比慢车快1h到达”，可以得到“慢车所用时间-快车所用时间=1h”，据此可以列出方程. 课本例题 例5 甲地至乙地的铁路路程约300km.如果行驶在这一路段的快车与慢车的车速之比为5:3,快车比慢车快1h到达，那么甲地至乙地的快车与慢车的速度各是多少？ 解：设甲地至乙地的快车的速度是5xkm/h,则慢车的速度是3xkm/h. 根据题意可得 -=1 方程两边同乘15x,得 300×5-300×3=15x 解得 x=40 经检验，x=40是原方程的解. 5x=200,3x=120 答：甲地至乙地的快车的速度是200km/h, 慢车的速度是120km/h. 课本例题 1.某中学七年级学生到距离学校15km的青少年营地活动，先遣部队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计比大部队早0.5h到达目的地．求先遣部队与大部队各自的行进速度. 分析 根据“先遣部队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍”，若设大部队行进速度是xkm/h，则先遣部队的行进速度是1.2xkm/h．由速度、时间、路程之间的关系，可列出表： 部队 速度/(km/h) 路程/km 时间/h 先遣部队 1.2x 15 大部队 x 15 课堂练习 1.某中学七年级学生到距离学校15km的青少年营地活动，先遣部队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计比大部队早0.5h到达目的地．求先遣部队与大部队各自的行进速度. 解：设大部队行进速度是xkm/h，则先遣部队的行进速度是1.2xkm/h. 根据题意可得 -=0.5 课堂练习 方程两边同乘1.2x,得15×1.2-15=0.5×1.2x 解得 x=5 经检验，x=5是原方程的解. 1.2x=6 答：大部队行进速度是5km/h，先遣部队的行进速度是6km/h. 2.甲、乙两单位为爱心基金捐款，甲单位捐款4800元，乙单位捐款6000元．已知乙单位捐款人数比甲单位多10人，且两单位人均捐款额相等．这两单位共有多少人捐款？人均捐款额是多少 分析 根据“乙单位捐款人数比甲单位多10人”，若设甲单位捐款人数是x人，则乙单位捐款人数是x+10人．由捐款人数、人均捐款额、总捐款金额的关系，可列出表： 单位 人数/人 总金额/元 人均捐款额/元 甲 x 4800 乙 x+10 6000 课堂练习 2.甲、乙两单位为爱心基金捐款，甲单位捐款4800元，乙单位捐款6000元．已知乙单位捐款人数比甲单位多10人，且两单位人均捐款额相等．这两单位共有多少人捐款？人均捐款额是多少？ 解;设甲单位捐款人数是x人，则乙单位捐款人数是x+10人. 根据题意可得= 课堂练习 方程两边同乘x(x+10),得4800(x+10)=6000x 解得 x=40 经检验，x=40是原方程的解. x+10=50 甲单位：人数：40人 人均捐款=4800÷40=120元 乙单位：人数：50人 人均捐款=6000÷50=120元 答：两单位共有90人捐款，人均捐款额是120元。 3.小华和小海一起做速算练习，小海每分钟比小华多做4道速算题，结果在相同的时间内，小海做了240道速算题，小华只做了160道速算题．小华每分钟做多少道速算题？ 解：设小华每分钟做x道速算题，则小海每分钟做x+4道速算题。 根据题意可得 = 方程两边同乘x(x+4),得240x=160(x+4) 解得 x=8 课堂练习 经检验，x=8是原方程的解. x+4=12 答：小华每分钟做8道速算题。 知识点1 工程问题 1. [2024邢台月考]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产 x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是(　A　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ A 分层练习-基础 2. 生产一批零件，甲、乙两人合作10天就可以完成，若甲独做，则15天可以完成，若乙独做，则要 ⁠天才能完成. 30　 3. 科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担了一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 记者：“你们是用9天完成4 800米长的高架桥铺设任务的？” 工程师：“是的，我们铺设600米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍.” 通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度. 解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥 x 米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2 x 米， 依题意，得 ＋ ＝9，解得 x ＝300， 经检验， x ＝300是原分式方程的解，且符合题意. 答：该建筑集团原来每天铺设高架桥300米. 知识点2 行程问题 4. [2023郴州中考]小王从 A 地开车去 B 地，两地相距240 km.原计划平均速度为 x km/h，实际平均速度提高了50％，结果提前1 h到达.由此可建立方程为(　B　) A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. x ＋1.5 x ＝240 B 5. [2023呼和浩特中考]甲、乙两船从相距150 km的 A ， B 两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从 A 地顺流航行90 km时与从 B 地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速均为30 km/h，则江水的流速为 km/h. 6　 6. 【人文信息】[2023石家庄期末]某校八年级(1)班组织同学乘大巴车前往西柏坡红色革命圣地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事要处理，12：15从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问： (1)大巴车与小车的平均速度各是多少？ 解：15分钟＝ 小时. (1)设大巴车的平均速度是 x 公里/小时，则小车的平均速度是1.5 x 公里/小时，根据题意，得 ＝ ＋ ＋ 解得 x ＝40，经检验， x ＝40是原方程的解.1.5 x ＝1.5×40＝60. 答：大巴车的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时. 解：(2)设张老师追上大巴车的地点到基地的路程有 y 公里，根据题意， 得 ＋ ＝ ， 解得 y ＝30. 答：张老师追上大巴车的地点到基地的路程有30公里. (2)张老师追上大巴车的地点到基地的路程有多远？ 7. 甲、乙两同学的家与学校的距离均为3 000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校.已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的 ，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍.甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟，若甲同学到达学校时，乙同学离学校还有 m 米，则 m ＝ ⁠. 600　 分层练习-巩固 点拨：设甲步行的速度为 x 米/分，则乙骑自行车的速度为2 x 米/分，公交车的速度为4 x 米/分， 依题意，得 － ＝2，解得 x ＝150， 经检验， x ＝150是原方程的解，且符合题意， ∴ m ＝2×2 x ＝2×2×150＝600. 8. [2024廊坊质检]某县要修筑一条长为6 000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲队比乙队少用了5天. (1)求甲、乙两队每天各筑路多少米. 解：(1)设乙队每天筑路 x 米，则甲队每天筑路2 x 米.依题意，得 － ＝5，解得 x ＝40， 经检验， x ＝40是原分式方程的解，∴2 x ＝80. 答：甲队每天筑路80米，乙队每天筑路40米. 解：(2)设甲队筑路 t 天，则乙队筑路 ＝(150－2 t )天， 依题意，得1.5 t ＋0.9(150－2 t )≤120， 解得 t ≥50，∴至少要安排甲队筑路50天. (2)若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？ 9. [2023邢台期末]某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，已知1 kg乙产品的售价比1 kg甲产品的售价多5元，1 kg丙产品的售价是1 kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的质量是用60元购买乙产品质量的3倍. (1)分别求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价. 解：(1)设1 kg甲产品的售价为 x 元，则1 kg乙产品的售价为( x ＋5)元，1 kg丙产品的售价为3 x 元. 根据题意，得 ＝ ×3，解得 x ＝5. 经检验， x ＝5是分式方程的解，且符合题意. ∴ x ＋5＝10，3 x ＝15. 答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元. (2)电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售，共40 kg，其中乙产品的质量是丙产品质量的2倍，且甲、丙两种产品质量之和不超过乙产品质量的3倍.请你帮忙计算，按此方案购买40 kg农产品最少要花费多少元. 解：(2)设40 kg的甲、乙、丙三种农产品的搭配中丙产品有 m kg，则乙产品有2 m kg，甲产品有(40－3 m ) kg. 由题意，得40－3 m ＋ m ≤3×2 m ，解得 m ≥5. 设按此方案购买40 kg农产品所需的费用为 y 元. 根据题意，得 y ＝5(40－3 m )＋10×2 m ＋15 m ＝20 m ＋200. 易知当 m ＝5时， y 取得最小值，最小值为20×5＋200＝300. 答：按此方案购买40 kg农产品最少要花费300元. 10. 【学科素养·应用意识】[2023沧州模拟]某班的生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下. 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元.” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本.” (1)请你通过计算分析学习委员说得对不对. 解：(1)设每本硬面笔记本 x 元，则每本软面笔记本( x －1.2)元，由题意，得 ＝ ，解得 x ＝2.8，经检验， x ＝2.8是原方程的解，但此时 ＝ ＝7.5，不是整数，∴学习委员说得对. 分层练习-拓展 10. 【学科素养·应用意识】[2023沧州模拟]某班的生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下. 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元.” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本.” (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵 a 元，是否存在正整数 a ，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在.求出 a 的值；若不 存在，请说明理由. 解：(2)存在.设每本软面笔记本 m (1≤ m ≤12， m 是整数)元，则每本硬面笔记本( m ＋ a )元. 由题意，得 ＝ ，解得 a ＝ m . ∵ a 为正整数，∴ m ＝4或8或12， ∴ a ＝3或6或9.当时， ＝ ＝1.5，不符合题意，舍去； 当时， ＝ ＝3，符合题意； 当时， ＝ ＝1，符合题意. ∴ a 的值为3或9. 步骤 1.审；2.设；3.列； 4.解；5.验； 6.答. 应用 工程问题：工作量=工作效率×工作时间 行程问题：路程=速度×时间 列分式方程解应用题 课堂小结 $$