学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（沪科版第21章-第22章）

画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 c B A B A C ⊙ A A C 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11. 12.(10W5-20)cm 13.8 14.(0,-3)】 0或1 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(8分) 【详解】(1)解：：a:b:c=3:2:4, 则设a=3k,b=2kc=4k, :a+2b+c=11, .3k+2×2k+4k=11, 11=11, k=1, a=3,b=2,c=4;(4分) (2)解：：线段x是线段a、b的比例中项， “是=， x2=ab, x2=3×2, x2=6, x=6或x=-6(舍)， 即x的值V6.(8分) 16.(8分) 1/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1, -岛=-号=1， 解得：b=-2, :该函数的最小值为0，对称轴是直线x=1, 顶点坐标为(10)， 把(1,0)代入y=x2-2x+c得：0=1-2+c, 解得：c=1, 综上：b=-2,c=1;(4分) (2)解：：b=-2,c=1, 该函数表达式为y=x2-2x+1, 把x=0代入y=x2-2x+1得：y=0-0+1=1, :点(0,1)在该抛物线上.(8分) 17.(8分) 【详解】(1)解：如图，由题意得∠ABF=90°， :四边形BECF是正方形， .∠FBC=45°， ·∠ABC=∠ABF+∠FBC=135°， 故答案为：135；(2分) (2)解：如图，△BCD即为所求， B 理由如下： 2/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :AC=V32+12=V10,AB=2,BC=V2+1=V2,BD=22+1=V5,CD=1, :骺=提=恶=V2, ·△ABC△BCD:(5分) (3)解：如图，点M即为所求， 理由如下：由题意得CG‖BE,CG=2,BE=1, .△CGM△BEM, 器=器=， 器=， BM=吉BC.(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解：设P与V的函数关系式为P=各， 则k=0.8×120,解得k=96, :函数关系式为P=9.(4分) (2)当气球内的体积小于0.6m时，气球爆炸， :V=0.6m3时，9=0.6， 解得P=160kPa 故为了安全起见，气体的压强不大于160kPa,(8分) 19.(10分) 【详解】(1)证明：：DE‖BC, 品=器 “器=甏， “船=器， 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 …器=能， :∠A=∠A, ∴.△ADF△ABE, ∴∠ADF=∠ABE, DFIBE;(5分) (2)解：：AF=4,EF=6, ∴AE=4十6=10， :DEBC,DF‖BE, “器-器=器=品= AC=25.(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：将A(-3,1)代入y=爱(x<0),得m=-3, “反比例的解析式为y=-景(x<0): 把B(-1,n)代入y=-(x<0), n=3, B(-1,3), 将A(-3,1),B(-1,3)代入y=kx+b,得： -3k+b=1 (-k+b=3’ ∫k=1 解得：1b=4’ 一次函数的解析式为y=x+4,(4分) (2)解：对于y=x+4, 当x=0时，y=4 点D的坐标为(0,4)， 点B的坐标为(-13)，A(-3,1), ·△A0B的面积=S△40D-S△B0D=号×4×3-克×4×1=4；(8分)》 (3)解：观察图象，当x<0时，关于x的不等式kx+b<要的解集是x<-3或-1<x<0.(10分) 21.(12分) 【详解】(1)解：由题意得，D(2,2), 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设抛物线解析式为y=a(x-2)2+2, :抛物线经过点(0,1.5)， .4a+2=1.5, 解得a=一言， :最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为y=一言(x一2)2+2： 当y=0时，则-言(x-2)2+2=0, x1=6,X2=-2(舍去)， ·小球最大射程0A为6米；(3分) (2)解：：最大档位时抛物线的函数解析式为y=-吉(x一2)2+2， 对称轴为直线x=2, 点(0,1.5)的对称点为(4,1.5)， ·最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， ·B的坐标为(2,0)， 即最小档位小球射出射程0B为2米；(7分) (3)解：：PQ=0.5米， 令y=0.5,则-言(x-2)2+2=0.5, 解得x1=2W3+2,x2=-2V3+2(舍)， ·要使接球盒能接住小球0M<2√3+2， 由(2)知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的， 又：MQ=1米， ÷2V3+2-4-1=2W5-3, 即接球盒距发射器的水平距离0M的取值范围为2W3-3<0M<23+2.(12分) 22.(12分) 【详解】(1)证明：：AD=AF, ·∠ADF=∠AFD, ·∠AFB=∠CDB, 5/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :BD是∠ABC的平分线， ÷∠ABF=∠CBD, ·△ABF△CBD;(3分) (2)解：取CD中点G,连接EG, D F B :AE是BC边上的中线，即点E为BC的中点， :EGIBD, ·△ADF∽△AGE, ：品=器， AD=AF, ·AG=AE,即EF=DG, DG=CD, :EF=专CD, ·CD=2EF;(7分) (3)解：如(2)中图，可知EGBD, D F G B E :△CEG∽△CBD, 器=器， :点G是CD的中点，点E为BC的中点， “部=器=， :器=号，DG=GC,则架= 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 器= 2+1 EGBD .△AFD∽△AEG 器=8=品 :EG=2+V2 :BD=4+22, ·BF=BD-DF=2+V2.(12分) 23.(14分) 【详解】(1)解：：y=(a-2)x2+(a+3)x+5的图象过点(4,5)， .5=(a-2)×42+(a+3)×4+5, 5=16a-32+4a+12+5, 解得：a=1, ·二次函数表达式为：y=-x2+4x+5;(4分) (2)解：：二次函数表达式为：y=-x2+4x+5, 二次函数的图象与x轴有两个公共点A,B,与V轴交于点C, ÷点A(-1,0),点B(5,0),点C(0,5), 设点P(m,-m2+4m+5), S1=SAPAB-S△4B=号×6×(-m2+4m+5)-S△ABB, S2=S△4B-S△4BB=克X6X5-S△4BB, ①：S1=S2, .-m2+4m+5=5, 解得：m1=0(不合题意，舍去)，m2=4, ·点P的坐标为(4,5)；(10分) ②S1-S2=3(-m2+4m+5-5)=-3m2+12m=-3(m-2)2+12, ·当m=2时S1-S2存在最大值，最大值为12.(14分) 7/7 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版 二次函数与反比例函数~相似形。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）下列函数中，y关于x的二次函数是（    ） A． B． C． D． 2．（4分）已知二次函数下列说法正确的是（   ） A．对称轴为：直线 B．当时，随的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 3．（4分）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 4．（4分）已知点和点都在函数的图象上，且满足，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D．0 5．（4分）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 6．（4分）如图，△ABC中，，将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 7．（4分）新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 8．（4分）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A． B． C． D． 9．（4分）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则 的值是（　　） A． B．2 C． D． 10．（4分）如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）如果，那么的值为 ． 12．（5分）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为 ． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，△ABC的面积为3，则的值为 14．（5分）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）点C的坐标为 ； （2）设直线的函数表达式为，当时，函数的最大值与最小值之差和函数的最大值与最小值之差相等，则t的值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 16．（8分）已知抛物线的对称轴为直线，最小值为0 (1)求，的值； (2)判断点在不在该抛物线上． 17．（8分）如图所示，在的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与△ABC相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 18．（8分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，点在该图象上． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的体积小于时气球将爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？ 19．（10分）如图，在△ABC中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 20．（10分）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求△AOB的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 21．（12分）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 22．（12分）如图，△ABC中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 23．（14分）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $null 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版 二次函数与反比例函数~相似形。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）下列函数中，y关于x的二次函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式、、为常数，且，并能据此判断函数类型． 根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合（，整式函数）的特征． 【详解】解：A、，未明确．若，函数变为一次函数（或常函数），因此不一定是二次函数； B、，右边是分式，不是整式，不符合二次函数“整式函数”的要求，不是二次函数； C、，展开得，符合二次函数的一般形式（其中，是二次函数； D、，展开并化简得，是一次函数，不是二次函数． 故选：C． 2．（4分）已知二次函数下列说法正确的是（   ） A．对称轴为：直线 B．当时，随的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 3．（4分）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例和总长度，求出的长．主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， 故选：A． 4．（4分）已知点和点都在函数的图象上，且满足，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】考查反比例函数的图象性质，判断反比例函数的k的正负，从而确定其图象所在的象限，根据自变量的取值即可判断函数值的正负． 【详解】解：， ∵， ∴该反比例函数图象在第二、四象限， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故选：B． 5．（4分）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】考查二次函数图象的平移． 根据二次函数图象的平移规律，可得平移后的解析式，由代数式相等，可得对应项的系数相等，从而可得，，的值，代入计算即可． 【详解】解：把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为， 化简整理得， 根据题意可得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的值为， 故选：A． 6．（4分）如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．（4分）新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了由实际问题列出一元二次方程，能够表示出一台电视的利润和销售量增加的部分是解题的关键．根据利润问题公式：总利润单台利润销售数量，单台利润为原售价减进价再减去降价，销售数量随降价增加，即可列出方程． 【详解】解：设每台电视降价元， 降价后单台利润是元，卖出的台数是台， 商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元， 可列方程为， 故选：B． 8．（4分）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，当时，，即，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知，则；又抛物线与轴交于负半轴，则，即可判断一次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据抛物线图象可得，当时，，即，故双曲线分别位于第二、四象限； 由抛物线图象可知，，则， ∵抛物线与轴交于负半轴，则， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项A符合题意． 故选：A． 9．（4分）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 10．（4分）如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，先作辅助线，然后根据勾股定理求出的值，然后根据三角形相似可求得线段之间的比例，进而求得结果，准确作出辅助线，求出与的长是解题的关键． 【详解】解：过F作于H，交于O，如图所示： ， ∵，E为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（共20分） 11．（5分）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】考查比例的性质，关键是由比例的基本性质得到． 由比例的基本性质得到，然后代入，即可求值． 【详解】解：， ，即， 将代入． 故答案为：． 12．（5分）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，C，D是线段的两个黄金分割点， ∵正方形“黄金格”的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故答案为： 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 【答案】8 【分析】考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故答案为：8． 14．（5分）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）点C的坐标为 ； （2）设直线的函数表达式为，当时，函数的最大值与最小值之差和函数的最大值与最小值之差相等，则t的值为 ． 【答案】 或 【分析】考查二次函数与一次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）根据待定系数法即可求解； （2）分情况讨论，即可求解； 【详解】解：（1）将代入，得，即①， 将代入，得，即②， 联立两个式子，解得：， ， 当时，， ， 故答案为： （2）将，代入，得， 解得：， ， ， 时，有最小值， 当时，函数的最大者与最小值的差和函数的最大值与最小值之差相等， 当时，当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为 故 解得：（舍去）或 当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为， ， 解得：或（舍去） 当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为， 故，即， 故不满足题意， 当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为， 即，不符合题意 综上所述，的值为或， 故答案为：或 三、解答题（共90分） 15．（8分）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值 【分析】考查了比例和比例中项， （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 掌握比例和比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即，那么线段b是a和c的比例中项”是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 则设， ∵， ∴， ， ， ∴； （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ， ， ， 或（舍）， 即x的值． 16．（8分）已知抛物线的对称轴为直线，最小值为0 (1)求，的值； (2)判断点在不在该抛物线上． 【答案】(1)，； (2)点在该抛物线上． 【分析】主要考查了求二次数表达式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． （1）根据对称轴是直线，得出，即可求出b的值，根据该函数的最小值为0，对称轴是直线，得出顶点坐标为，将其代入，即可求出c的值； （2）把代入求出其函数值，若函数值等于，则在函数图象上，否则，不在． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象的对称轴是直线， ∴， 解得：， ∵该函数的最小值为0，对称轴是直线， ∴顶点坐标为， 把代入得：， 解得：， 综上：，； （2）解：∵，， ∴该函数表达式为， 把代入得：， ∴点在该抛物线上． 17．（8分）如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 【答案】(1)135 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质即可得解； （2）取格点，连接即可； （3）取格点、，连接交于点即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由如下： ∵，，，，， ∴， ∴； （3）解：如图，点即为所求， 理由如下：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，点在该图象上． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的体积小于时气球将爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？ 【答案】(1)函数关系式为 (2)为了安全起见，气体的压强不大于 【分析】考查了反比例函数的应用， （1）设与的函数关系式为 ，将点代入求解即可； （2）根据题意可得体积小于时，气球将爆炸，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 ，    则  ，解得， ∴函数关系式为 ． （2）当气球内的体积小于时，气球爆炸， ∴ 时， ， 解得 故为了安全起见，气体的压强不大于． 19．（10分）如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （2）先求出，然后由平行线分线段成比例定理得代入数值即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 20．（10分）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数表达式为 (2)4 (3)或 【分析】是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入反函数表达式，再求解B的坐标，再求解一次函数的解析式即可； （2）先求解D的坐标，结合点A，点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例的解析式为； 把代入， ∴， ∴， 将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， ∴点B的坐标为，， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 21．（12分）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【答案】(1)最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为，小球最大射程为6米 (2)最小档位小球射出射程为2米 (3)接球盒距发射器的水平距离的取值范围为 【分析】考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据题意设顶点式，求出的值，得到函数解析式，再求出时的函数值，即可得到答案； （2）根据最大档位时抛物线的函数解析式得到点的对称点为，进而得出最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，从而得出点的坐标，即可得到答案； （3）令，求出的值，从而得到的最大临界值，再根据二次函数平移的性质，求出的最小临界值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为； 当时，则， ，（舍去）， 小球最大射程为6米； （2）解：最大档位时抛物线的函数解析式为， 对称轴为直线， 点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， 的坐标为， 即最小档位小球射出射程为2米； （3）解：米， 令，则， 解得，（舍）， 要使接球盒能接住小球， 由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的， 又米， ， 即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为． 22．（12分）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质； （1）根据等边对等角得到，进而得到，由是的平分线，得到，即可证明； （2）取中点G，连接，利用三角形中位线的性质，易证，得到，进而得到，即可证明； （3）同理（2）取中点G，连接，证明，根据可得，根据得出，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：取中点G，连接， 是边上的中线，即点E为的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ； （3）解：如（2）中图，可知， ， ， 点是的中点，点E为的中点， ， ∵，，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 23．（14分）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在最大值，最大值为12． 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，用公共三角形表示出，是正确解答此题的关键． (1)把点代入二次函数解析式可得的值，即可求得二次函数的表达式； (2)易得点、、的坐标，设出点的坐标，易得；，①时，易得点的纵坐标和点的纵坐标相等，列出方程，求解即可；②用含的代数式表示出，进而根据二次函数的性质可得的最大值． 【详解】（1）解：的图象过点， ， ， 解得：， 二次函数表达式为：； （2）解：二次函数表达式为：， 二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点， 点，点，点， 设点， ， ， ①， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ②， 当时存在最大值，最大值为12. 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪科版 二次函数与反比例函数~相似形。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）下列函数中，y关于x的二次函数是（    ） A． B． C． D． 2．（4分）已知二次函数下列说法正确的是（   ） A．对称轴为：直线 B．当时，随的增大而减小 C．函数的最小值是 D．顶点坐标为 3．（4分）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 4．（4分）已知点和点都在函数的图象上，且满足，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D．0 5．（4分）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 6．（4分）如图，△ABC中，，将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 7．（4分）新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 8．（4分）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A． B． C． D． 9．（4分）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则 的值是（　　） A． B．2 C． D． 10．（4分）如图，矩形的边长，，E为的中点，F在线段上，且，分别与、交于点M、N，则＝（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）如果，那么的值为 ． 12．（5分）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为 ． 13．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，△ABC的面积为3，则的值为 14．（5分）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）点C的坐标为 ； （2）设直线的函数表达式为，当时，函数的最大值与最小值之差和函数的最大值与最小值之差相等，则t的值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（8分）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 16．（8分）已知抛物线的对称轴为直线，最小值为0 (1)求，的值； (2)判断点在不在该抛物线上． 17．（8分）如图所示，在的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与△ABC相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 18．（8分）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，点在该图象上． (1)求该函数的表达式； (2)当气球内的体积小于时气球将爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？ 19．（10分）如图，在△ABC中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 20．（10分）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点C． (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接、，求△AOB的面积； (3)直接写出当时，关于x的不等式的解集． 21．（12分）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 22．（12分）如图，△ABC中，边上的中线与的平分线交于F点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 23．（14分）已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 ． ____________________ 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． _________ ___________ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（ 8 分） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 10 分） 21 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ．（ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null ( 11 ) 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 . ________________ 1 3 . ________________ 1 2 . ________________ 1 4 . ________ ________ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 8 分） 17 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 10 分） 2 1 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 4 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $