第21讲 数论初步（一）：数的整除特征与性质（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第21讲 数论初步（一）：数的整除特征与性质 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.整除的定义 若整数除以整数（），商为整数且没有余数，则称能被整除（或整除），记作。 2.常见数的整除特征 除数 整除特征 2 末位数字是0、2、4、6、8（即末位为偶数） 5 末位数字是0或5 4 末两位数字组成的数能被4整除 8 末三位数字组成的数能被8整除 3 各位数字之和能被3整除 9 各位数字之和能被9整除 11 从右往左，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除 25 末两位数字是00、25、50或75 10 末位数字是0 3.整除的基本性质 性质1（传递性）：若且，则。 性质2（和差性）：若且，则。 性质3（倍数性）：若，则（为整数）。 性质4（组合性）：若，且与互质，则。 二、核心题型与技巧 题型1：判断一个数能否被特定数整除 技巧：直接套用对应数的整除特征。 例：判断725是否能被5整除（末位是5，能整除）；判断1234是否能被4整除（末两位34，，不能整除）。 题型2：根据整除特征求数字中的未知数 技巧：设未知数，利用整除特征列方程求解。 例：若四位数能被3和5整除，求、的值（或5，且能被3整除）。 题型3：利用整除性质解决综合问题 技巧：结合和差性、倍数性分析，转化为整除判定。 例：已知且，则（利用性质2：）。 题型4：多个整除特征的综合应用 技巧：依次验证每个数的整除特征，逐步缩小范围。 例：求同时能被2、3、5整除的最小三位数（末位0，各位和能被3整除，最小为120）。 三、常见错误提醒 1.混淆4和8的整除特征：误将“末两位”当作8的特征（正确：4看末两位，8看末三位）。 2.忽略0的特殊情况：判断能被10整除时，误写成“末位是5”（正确：末位必须是0）。 3.整除性质使用条件遗漏：应用性质4时，未确认“与互质”（如，但6不整除2或3，因6与2、3不互质）。 4.11的整除特征计算错误：误将“奇数位之和减偶数位之和”算成“偶数位减奇数位”（正确：大减小，结果为0或11的倍数）。 例题讲解 一、基础整除特征应用 例题1：判断下列各数能否被3、9、11整除： （1）12345 （2）72958 答案：（1）能被3整除，不能被9、11整除；（2）不能被3、9、11整除。 跟踪练习1：判断四位数5678能否被2、4、8整除，并说明理由。 二、求数字中的未知数 例题2：若三位数能同时被2和3整除，求的值。 跟踪练习2： 若四位数能同时被2和9整除，且为一位偶数，求的最小值。 三、整除性质的应用 例题3：已知且，求证。 跟踪练习3： 已知且，求证。 提升练习 1．从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个？ 2．在自然数1～100中，能被或中任一个整除的数有多少个？ 3．小牛对小猴说：“对一个自然数进行系列变换：当是奇数时，则加上2007；当是偶数时，则除以2.现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008。”小猴说：“你骗人！不可能出现2008。”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？ 4．125□是一个四位数。王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 5．某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号．若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．例如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券．试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除． 6．将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数．问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？ 7．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字7、8、9，从中抽出一张、二张、三张，接任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请将其中的质数写出来． 8．已知45整除，求所有满足条件的六位数． 9．四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数的最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，它们的得数分别是172536、568741、620708、845267，结果其中哪一个可能是正确的，为什么？ 10．从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出5个不同的数，组成一个五位数，使它能被3、5、7、13同时整除，这个数最大是多少？ 11．有一个三位数，把它的个位数码移到百位上，百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数，原三位数的2倍恰好比新三位数大1，求原来的三位数． 12．已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除．那么最小的一个自然数是多少？（第18届迎春杯） 13．从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是多少？ 14．一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？ 15．有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和。请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第21讲 数论初步（一）：数的整除特征与性质 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.整除的定义 若整数除以整数（），商为整数且没有余数，则称能被整除（或整除），记作。 2.常见数的整除特征 除数 整除特征 2 末位数字是0、2、4、6、8（即末位为偶数） 5 末位数字是0或5 4 末两位数字组成的数能被4整除 8 末三位数字组成的数能被8整除 3 各位数字之和能被3整除 9 各位数字之和能被9整除 11 从右往左，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除 25 末两位数字是00、25、50或75 10 末位数字是0 3.整除的基本性质 性质1（传递性）：若且，则。 性质2（和差性）：若且，则。 性质3（倍数性）：若，则（为整数）。 性质4（组合性）：若，且与互质，则。 二、核心题型与技巧 题型1：判断一个数能否被特定数整除 技巧：直接套用对应数的整除特征。 例：判断725是否能被5整除（末位是5，能整除）；判断1234是否能被4整除（末两位34，，不能整除）。 题型2：根据整除特征求数字中的未知数 技巧：设未知数，利用整除特征列方程求解。 例：若四位数能被3和5整除，求、的值（或5，且能被3整除）。 题型3：利用整除性质解决综合问题 技巧：结合和差性、倍数性分析，转化为整除判定。 例：已知且，则（利用性质2：）。 题型4：多个整除特征的综合应用 技巧：依次验证每个数的整除特征，逐步缩小范围。 例：求同时能被2、3、5整除的最小三位数（末位0，各位和能被3整除，最小为120）。 三、常见错误提醒 1.混淆4和8的整除特征：误将“末两位”当作8的特征（正确：4看末两位，8看末三位）。 2.忽略0的特殊情况：判断能被10整除时，误写成“末位是5”（正确：末位必须是0）。 3.整除性质使用条件遗漏：应用性质4时，未确认“与互质”（如，但6不整除2或3，因6与2、3不互质）。 4.11的整除特征计算错误：误将“奇数位之和减偶数位之和”算成“偶数位减奇数位”（正确：大减小，结果为0或11的倍数）。 例题讲解 一、基础整除特征应用 例题1：判断下列各数能否被3、9、11整除： （1）12345 （2）72958 答案：（1）能被3整除，不能被9、11整除；（2）不能被3、9、11整除。 解析： （1）各位和：，（能被3整除），（不能被9整除）；奇数位和，偶数位和，差（不能被11整除）。 （2）各位和：（不能被3、9整除）；从右往左数，个位为第1位（奇数位），则12345的奇数位是5、3、1，偶数位是4、2，差；72958：奇数位8（1位）、9（3位）、7（5位），和24；偶数位5（2位）、2（4位），和7，差，17非11倍数，不能被11整除。 跟踪练习1：判断四位数5678能否被2、4、8整除，并说明理由。 答案：能被2整除，不能被4和8整除。 解析： 被2整除：末位数字是8（偶数），符合2的整除特征（末位为偶数），故能被2整除。 被4整除：末两位数字组成的数是78，计算78÷4=19.5，商不是整数，不符合4的整除特征（末两位能被4整除），故不能被4整除。 被8整除：末三位数字组成的数是678，计算678÷8=84.75，商不是整数，不符合8的整除特征（末三位能被8整除），故不能被8整除。 二、求数字中的未知数 例题2：若三位数能同时被2和3整除，求的值。 答案：、、 解析： 能被2整除：末位5为奇数，矛盾？修正：题目应为“能同时被3和5整除”，则末位5满足5的特征，各位和能被3整除，（8+1=9）、（12）、（15）。 跟踪练习2： 若四位数能同时被2和9整除，且为一位偶数，求的最小值。 答案：，，。 解析： 1.被2整除的特征：末位数字必须是偶数（0、2、4、6、8）。 2.被9整除的特征：各位数字之和能被9整除。该数各位和为，故需能被9整除。 3.求的最小值： 由于、是0~9的整数，的可能值为9或18（若为27则，超出数字范围，舍去）。 若，则；若，则。显然更小。 要使且为偶数，枚举的可能值： 时，（）； 时，（）； 时，（）； 时，（）； 时，（为负数，无效）。 其中、时，四位数为1026，满足条件且最小。 三、整除性质的应用 例题3：已知且，求证。 答案：证明：因为，所以设（为整数），则，即，符合条件，且，故。 跟踪练习3： 已知且，求证。 答案：证明见解析。 解析： 利用整除性质2（和差性）：若且，则。 因为，可设（为整数）。 又因为，可设（为整数）。 联立得：，其中为整数。 故是8的倍数，即。 提升练习 1．从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个？ 【答案】个 【分析】按照四位数、三位数、两位数的方式分类，考虑每一个区间内各位数字和能被4整除的数有多少个，所有的情况相加即为总数。 【详解】分段计算：在1000～4999这4000个数中，数字和被4除余0、1、2、3的各有1000个； 在200～999这800个数中，数字和被4除余0、1、2、3的各有200个； 在20～99、120～199这160个数中，数字和被4除余0、1、2、3的各有40个； 此外，10～19、100～119种分别有2个和4个被4整除； 所以，共有1000＋200＋40＋2＋4＝1246个。 答：有1246个数的各位数字之和能被4整除。 【点睛】本题综合了计数问题与数的整除问题，分类枚举是比较方便的方法。 2．在自然数1～100中，能被或中任一个整除的数有多少个？ 【答案】个 【分析】先分别求出能被3整除的数的个数，能被5整除的数的个数，以及能被3和5同时整除的数的个数，然后按照容斥问题求解。 【详解】 （个） 答：能被3或5中任一个整除的数有 47个。 【点睛】本题考查的是二元容斥问题，这里需要注意能被3或5同时整除与能被3和5同时整除的区别。 3．小牛对小猴说：“对一个自然数进行系列变换：当是奇数时，则加上2007；当是偶数时，则除以2.现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008。”小猴说：“你骗人！不可能出现2008。”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？ 【答案】小猴说得对；见详解 【分析】可以先按照规则进行变换，得到的结果依次是：2004，1002，501，2508，1254，627，2634，1317，3324，1662，831，2838，…并没有发现什么特别的规律，也不存在周期性，那么就需要换个角度来考虑问题。 【详解】2004本身是3的倍数，如果除以若干次2，得到的仍然是3的倍数； 2007是3的倍数，所以加上若干次2007，得到的仍然是3的倍数； 2008不是3的倍数，所以不可能再操作规程中出现； 答：小猴说得对，2008不可能出现。 【点睛】本题实质上考查的是3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4．125□是一个四位数。王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除。”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 【答案】11 【分析】可根据能被9、11、8整除的数的特征进行计算，可得出数学老师先后填入的3个数，然后将3个数字相加即可得到答案。 【详解】因为能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，1＋2＋5＋□＝8＋□，所以□内只能填1； 因为能被11整除的四位数的十位与千位的数字和减去个位与百位的数字和所得的差能被11整除，（1＋5）－（2＋□）＝4－□能被11整除，所以□内只能填4； 因为能被8整除的自然数是最后三位数能被8整除，而25□能被8整除，所以□内只能填6； 1＋4＋6＝11； 答：所填三个数字之和是11。 【点睛】此题主要考查的是能被9、11、8整除的数的特征。 5．某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号．若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．例如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券．试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除． 【答案】证明：号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券．由于9999是奇数，所以m≠n． 由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数． 因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除． 【详解】略 6．将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数．问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？ 【答案】14个 【详解】略 7．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字7、8、9，从中抽出一张、二张、三张，接任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请将其中的质数写出来． 【答案】有五个：7、97、79、89、67 【详解】解：数字卡片9倒过来变成6，而7+8+9=24，6+7+8=21，可知抽三张卡片时，无论按什么顺序排列的三位数都能被3整除，所以它们都不是质数． 从中任取=张卡片，按不同的顺序排列的两位数中有97、67、79、89是质数；从中任意抽取一张卡片得到的一位数中只有7是质数． 所以，所求的质数有7、97、79、89、67五个． 8．已知45整除，求所有满足条件的六位数． 【答案】519930或919935 【详解】解：因为45=5×9，所以根据整除性质（5）：若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除，可知：5整除且9整除．所以y可取0或5．当y=0时，根据9整除及数的整除特征可知x=5．当y=5时，根据9整除及数的整除特征可知x=9．综上所述，满足条件的六位数是519930或919935． 9．四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数的最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，它们的得数分别是172536、568741、620708、845267，结果其中哪一个可能是正确的，为什么？ 【答案】620708；能被11整除 【分析】将原来六位数的个位数看作x，去掉个位数后的五位数看作y，那么原来的六位数10y＋x，新六位数100000x＋y；将原来的六位数与新六位数相加，并将这个式子化简，得出这个得数应该是11的倍数，能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除；据此解答。 【详解】设原来六位数的个位数是x，去掉个位数后的五位数是y，得到原来的六位数10y＋x，新六位数100000x＋y。 10y＋x＋100000x＋y ＝（1＋100000）x＋（10＋1）y ＝100001x＋11y ＝11×（9091x＋y） 所以得数应该是11的倍数 172536： （7＋5＋6）－（1＋2＋3） ＝18－6 ＝12 12不能被11整除 568741： （5＋8＋4）－（6＋7＋1） ＝17－14 ＝3 3不能被11整除 620708： （2＋7＋8）－（6＋0＋0） ＝17－6 ＝11 11能被11整除 845267： （8＋5＋6）－（4＋2＋7） ＝19－13 ＝6 6不能被11整除 答：结果620708是正确的，因为能被11整除。 【点睛】注意借助字母，重点是找出这个数是11的倍数，是解答本题的关键。 10．从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出5个不同的数，组成一个五位数，使它能被3、5、7、13同时整除，这个数最大是多少？ 【答案】94185 【分析】这道题如果从10个数字中选出5个不同的数，组成一个五位数，再逐个判断每个五位数能否同时被3、5、7、13整除，那是非常麻烦的．可以先从整体上考虑，因为3、5、7、13这四个数两两互质，且3×5×7×13=1365，那么我们要找的数就是在五位数中能被1365整除的最大的那个数．那我们只需用一个自然数去与1365相乘，使积尽可能大且是一个五位数即可（注意，五位数中不能出现相同数字）． 【详解】解：3×5×7×13=1365 设1365×a（a是自然数）的积是要求的五位数，可知：1365×a<100000，则a≤73．当a=73时，这个五位数是1365×73=99645，数字重复了，舍去；当a=72时，这个五位数是1365×72=98280，数字重复；当a=71时，这个五位数是1365×71=96915，数字重复；当a=70时，这个五位数是95550，数字重复；当a=69时，这个五位数是94185，符合题目条件．所以，这个数是94185． 【点睛】这道题从整体入手，先用3、5、7、13相乘得1365，在五位数中通过找1365的最大倍数得到解答．最后用枚举的方法时，虽然要计算1365与73、72、71、70、69的积，但比起漫无边际地去找这样的五位数要简便得多． 11．有一个三位数，把它的个位数码移到百位上，百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数，原三位数的2倍恰好比新三位数大1，求原来的三位数． 【答案】316 【详解】设原三位数是，则2（100a＋10b＋c）－（100c＋10a＋b）＝1，化简19（10a＋b）＝98c＋1，经试验，只有c＝6时等式右端能被19整除，由此推出c＝6，a＝3，b＝1．原数为316． 12．已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除．那么最小的一个自然数是多少？（第18届迎春杯） 【答案】1664 【详解】结合连续自然数相差1的情况，假设中间一个是a，那么a被13除余1，被15整除，被17除余16．先满足前2个条件，被15整除且被13除余1． 因为15除以13余2，2×7=14除以13余1，所以该数为15×7=105． 因为加上13×15=195仍然符合前2条，因此该数形如105+195n，我们只需要满足该数被17除余16即可． 105+195n=（102+187n）+（3+8n），所以8n+3被17除余16即可，即8n被17除余13，n=8即可满足要求． 因此a=105+195×8=1665，所以最小一个自然数是1664． 13．从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是多少？ 【答案】1331 【详解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 14．一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？ 【答案】4876391520 【详解】这个十全数能被10整除，个位数字必为0；能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20。设这个十全数为。由于它能被11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被11整除，即被11整除，可能是、、。由于、、、四个数分别为1、3、5、9中的一个，只能是，即。所以、是9和5；、是3和1，这个十全数只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一个。由于它能被7、13、17整除，经检验，只有4876391520符合条件。 15．有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和。请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由。 【答案】750，810，870，930，960 【详解】3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除。3、2、5的最小公倍数是30，所以满足上述三个条件的最小的数是30。3、4、5的最小公倍数是60，所以60的整数倍加上30就可以满足条件。，所以第一个符合题意的数是，最大的一个数是，共计个数，分别为750、810、870、930、960。 1 学科网（北京）股份有限公司 $