第15讲 巧求平面图形的面积（一）：割补、平移、旋转法（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

null 六年级奥数培优讲义：第15讲 巧求平面图形的面积（一）：割补、平移、旋转法 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.割补法 基本概念：将不规则图形通过“分割”（分成几个规则图形）或“补形”（补全为规则图形），转化为可直接用公式计算面积的图形。 核心思路： 分割：总面积 = 各部分规则图形面积之和 补形：所求面积 = 补全后大规则图形面积 - 补上的小规则图形面积 2.平移法 基本概念：将图形中某一部分（如线段、三角形、四边形等）沿直线方向移动，使分散的部分集中或拼合成规则图形，面积不变。 核心思路：通过平移消除图形中的“凹凸”部分，转化为长方形、正方形等规则图形。 3.旋转法 基本概念：将图形中某一部分绕某一点（旋转中心）按一定方向旋转一定角度（通常为90°、180°），使图形重组为规则图形，面积不变。 核心思路：适用于含对称关系或重叠部分的图形，旋转后可拼接成平行四边形、圆形等。 4.基本图形面积公式（需熟练掌握）： 长方形： 正方形： 三角形： 平行四边形： 梯形： 圆：（r为半径） 二、核心题型与技巧 题型1：割补法求组合图形面积 技巧：根据图形特征，将不规则图形分割为2-3个规则图形（如三角形+矩形、梯形+半圆等），分别计算面积后求和；或补全为大规则图形，减去多余部分面积。 例：求“L”形图形面积→分割为两个长方形，或补全为大长方形减去小长方形。 题型2：平移法求“凹凸”图形面积 技巧：将图形中的凸出部分平移到凹陷部分，使图形转化为长方形或正方形。 关键：平移前后图形的总面积不变，需明确平移的方向和距离（通常为图形的边长或高）。 例：求含“阶梯状”边缘的图形面积→平移阶梯部分，拼合成完整长方形。 题型3：旋转法求对称图形面积 技巧：针对含对称中心或对称轴的图形，将分散的阴影部分或不规则部分绕中心旋转，使重叠或分散的区域集中为规则图形（如扇形、三角形）。 常见旋转角度：90°（适用于直角图形）、180°（适用于中心对称图形）。 例：求圆内两个扇形重叠部分的阴影面积→旋转其中一个扇形，使阴影部分合并为一个完整扇形。 三、常见错误提醒 1.割补后面积漏算/多算：分割图形时遗漏部分面积，或补形时多减了补上的面积（如补全长方形后，忘记减去小三角形的面积）。 2.平移方向/距离错误：平移时未沿直线移动，或移动距离计算错误（如将横向平移误算为纵向平移）。 3.旋转中心/角度错误：旋转时未确定正确的旋转中心（如应以图形顶点为中心而非边中点），或旋转角度偏差（如需旋转90°却旋转了60°）。 4.基本公式混淆：误用公式（如三角形面积忘记除以2，梯形公式中“上底+下底”误写为“上底×下底”）。 例题讲解 一、割补法 例题1：求下图组合图形的面积（单位：厘米）。 答案：51平方厘米 解析：用“补形法”或“分割法”。 补形法：将图形补全为大长方形，面积 = ，减去右上角小正方形面积 ，总面积 = 。 跟踪练习1：求下图面积（单位：分米）。 答案：26平方分米 解析：分割法→梯形面积 - 三角形面积。 梯形面积：，三角形面积：，总面积 = （注：此处假设跟踪练习图形数据，实际需根据图形调整）。 二、平移法 例题2：求下图“凹凸”图形的面积（单位：米）。 答案：135平方米 解析：将左侧凹进部分平移到右侧（或上下方向），原图形转化为一个完整的长方形，长 = ，宽 = 10m,减去凹进去的长5m，宽2m的长方形 跟踪练习2：求下图“阶梯形”图形的面积（单位：厘米）。 答案：90平方厘米 解析：将阶梯横向平移，拼合成一个长15cm、宽6cm的长方形，面积 = 。 三、旋转法 例题3：求下图阴影部分面积（单位：厘米）。 答案：平方厘米（约18.24平方厘米） 解析：将每个扇形绕正方形中心旋转90°，四个扇形恰好拼成一个完整的圆（半径8cm），阴影面积 = 圆面积 - 正方形面积 = ？（修正：若为四分之一圆，四个扇形应为一个圆，但若正方形边长=半径，则扇形半径为8cm，圆面积 ，正方形面积64，阴影为重叠部分，实际应为圆面积 - 正方形面积，即 ，具体需根据图形调整） 跟踪练习3：求下图阴影部分面积（单位：分米）。 答案：平方分米（约53.5平方分米） 解析：无需旋转，直接用圆面积 - 三角形面积。圆面积 ，三角形面积 ，阴影面积 = 。 提升练习 1．下图中两个涂色正方形的周长的和是40厘米，整个大正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】100平方厘米 【分析】如下图，通过平移两个涂色正方形的边可以发现，两个涂色正方形的周长之和等于大正方形的周长；根据正方形的周长＝边长×4可知，正方形的边长＝周长÷4，据此求出大正方形的边长；然后根据正方形的面积＝边长×边长，求出大正方形的面积。 【详解】40÷4＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 整个大正方形的面积是100平方厘米。 2．计算下面图形的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】76厘米；344平方厘米 【分析】观察图形，通过平移右上角的短线可得，图形的周长等于长为20厘米，宽为18厘米的长方形的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，计算周长即可；图形的面积等于长为20厘米，宽为18厘米的长方形的面积减去边长为4厘米的正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，计算面积即可。 【详解】（20＋18）×2 ＝38×2 ＝76（厘米） 20×18－4×4 ＝360－16 ＝344（平方厘米） 因此，图形的周长是76厘米，图形的面积是344平方厘米。 3．求下面图形的周长和面积（单位为cm）。 【答案】周长：32cm；面积：49cm2 【分析】 根据题意，可以将图形的边进行平移，变成。这样就变成一个边长是8cm的正方形。再根据正方形的周长＝边长×4，代入算出周长即可。 求面积可以进行如下分割： 变成一个长8cm、宽5cm的长方形和一个边长3cm的正方形。根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入分别计算出面积，再相加。 【详解】8×4＝32（cm） 8×5＝40（cm2） 3×3＝9（cm2） 40＋9＝49（cm2） 所以，这个图形的周长是32cm，面积是49cm2。 4．求下列图形的周长和面积。 【答案】周长54m；面积102m2 【分析】把中间一条横向的线段向上平移，则围成一个长14m、宽9m的长方形，那么上图的周长等于长14m、宽9m的长方形周长加上2条4m的线段长度；上图的面积等于长14m、宽9m的长方形面积减去长为（14－5－3）m、宽为4m的长方形面积，长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽。 【详解】周长：（14＋9）×2＋4×2 ＝23×2＋8 ＝46＋8 ＝54（m） 图形的周长是54m。 面积：14×9－（14－5－3）×4 ＝126－6×4 ＝126－24 ＝102（m2） 图形的面积是102m2。 5．计算涂色部分的面积。（单位：cm）                  【答案】8cm2；100cm2 【分析】将左边涂色梯形的部分旋转到右边没有涂色的部分，整个图形涂色部分刚好为一个三角形的面积，三角形面积＝底×高÷2； 将右边涂色部分移到左边没有涂色的部分，整个图形涂色部分的面积刚好为一个边长为10厘米的正方形的面积，正方形面积＝边长×边长；据此解答。 【详解】                   （1＋2＋1）×4÷2 ＝4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） 10×10＝100（cm2） 6．求下面图形的周长和面积。 【答案】28cm；38 cm2；22cm；22 cm2 【分析】如图，可以把这两个图形平移成这样的两个长方形： 那么第一个长方形的长是8cm、宽是6cm。第二个长方形的长是6cm、宽是（3＋2）cm。再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据求出周长。 长方形的面积＝长×宽，用8cm乘6cm算出左边大长方形的面积。再减去一个5cm、宽2cm的长方形的面积。就是左边图形的面积。 第二个长方形可以分割成一个边长为2cm的正方形和一个长6cm、宽3cm的长方形。正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽。代入公式分别算出面积，再相加就是不规则图形的面积。 【详解】（8＋6）×2 ＝14×2 ＝28（cm） 8×6＝48（cm2） 5×2＝10（cm2） 48－10＝38（cm2） 3＋2＝5（cm） （6＋5）×2 ＝11×2 ＝22（cm） 2×2＝4（cm2） 6×3＝18（cm2） 18＋4＝22（cm2） 所以第一个图形的周长是28cm，面积是38 cm2。第二个图形的周长是22cm，面积是22 cm2。 7．计算图中阴影部分的面积。（单位：米）   【答案】84平方米 【分析】观察图形，图中的空白部分是十字形道路，我们可以把横向和纵向的空白道路分别平移到边缘，这样阴影部分就可以拼成一个新的长方形；原来长方形的长是16米，由于纵向道路宽2米，平移后新长方形的长为16－2＝14米，原来长方形的宽是8米，由于横向道路宽2米，平移后新长方形的宽为8－2＝6米；最后根据“长方形面积＝长×宽” 计算出阴影部分的面积。 【详解】（16－2）×（8－2） ＝14×6 ＝84（平方米） 所以阴影部分的面积是84平方米。 8．计算正方形中阴影部分的面积。 【答案】32平方分米 【分析】将上方的三角形平移到下方，这样就可以判断阴影部分所占的面积是正方形的一半，也就是下面长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 8×4＝32（平方分米） 阴影部分的面积是32平方分米。 9．求下列图形的周长。（单位：厘米） 【答案】86厘米；160厘米；64厘米 【分析】 图形（1），如图：，通过平移，所求图形的周长为长是30厘米，宽是（4＋3＋6）厘米的长方形的周长，利用长方形的周长公式：周长＝（长＋宽）×2，代入数据，求出周长； 图形（2），如图：，通过平移，所求图形的周长＝长是40厘米，宽是34厘米的长方形周长＋6×2，根据长方形周长公式，进行解答； 图形（3），如图：，通过平移，所求图形的周长长是20厘米，宽是12厘米的长方形，根据长方形周长公式，进行解答。 【详解】图形（1）： （30＋4＋3＋6）×2 ＝（34＋3＋6）×2 ＝（37＋6）×2 ＝43×2 ＝86（厘米） 图形（2）： （40＋34）×2＋6×2 ＝74×2＋12 ＝148＋12 ＝160（厘米） 图形（3） （20＋12）×2 ＝32×2 ＝64（厘米） 周长分别是86厘米，160厘米，64厘米。 10．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】48平方厘米 【分析】阴影部分的面积等于上底为6厘米、下底为10厘米、高为6厘米梯形面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据解答即可。 【详解】（6＋10）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） 图中阴影部分的面积48平方厘米。 11．计算下图中阴影部分的面积。（单位：分米） 【答案】7.74平方分米 【分析】两个空白的半圆可组成一个圆，，，，据此解答。 【详解】由分析可知： 阴影面积：6×6－3.14× ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（平方分米） 所以阴影部分的面积为7.74平方分米。 12．两个正方形如图放置，求阴影部分的面积。 【答案】32 【分析】先将原图拼在一起的两个正方形补全成一个大长方形，如下图： 求阴影部分的面积就是用大长方形的面积减去①②③的3个空白三角形面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】大长方形的面积： 三角形①的面积： 三角形②的面积： 三角形③的面积： 阴影部分的面积： 阴影部分的面积32。 13．求图中阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 【答案】21.87平方厘米 【分析】由图可知，整个图形是一个正方形，正方形的边长为6厘米，利用“”表示出整个图形的面积，空白部分是一个半圆，半圆的半径是3厘米，利用“”表示出空白部分的面积，阴影部分的面积＝整个图形的面积－空白部分的面积，据此解答。 【详解】6×6－3.14×32÷2 ＝36－3.14×9÷2 ＝36－28.26÷2 ＝36－14.13 ＝21.87（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是21.87平方厘米。 14．求下面图形阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】15.44cm2 【分析】观察可知，阴影部分的面积=梯形面积－圆的面积的，已知梯形的上底是4，下底是10，高是4，圆的半径是4，根据，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （cm2） 阴影部分的面积是15.44cm2。 15．求阴影部分的面积。 【答案】22dm2 【分析】如题图，阴影部分的面积＝边长为6dm的正方形的面积＋边长为4dm的正方形的面积－底为（6＋4）dm、高为6dm的三角形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可解答。 【详解】6×6＋4×4－（6＋4）×6÷2 ＝36＋16－10×6÷2 ＝36＋16－30 ＝22（dm2） 阴影部分的面积是22dm2。 16．计算下面图形中阴影部分的面积。 【答案】13.5平方厘米 【分析】如下图，把右边的阴影部分移补到如箭头所示的左边空白部分，这样阴影部分合并成一个梯形，梯形的上底是（6－3）厘米，下底是6厘米，高是3厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求出阴影部分的面积。 【详解】（6－3＋6）×3÷2 ＝9×3÷2 ＝13.5（平方厘米） 阴影部分的面积是13.5平方厘米。 17．按要求计算。（单位：厘米） 求阴影部分的面积。 【答案】22平方厘米 【分析】将上面扇形里面的阴影部分通过旋转正好可以拼接到下面扇形空白的部分，则阴影部分的面积就是上底是4厘米，下底是7厘米，高是4厘米梯形的面积。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】（4＋7）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝44÷2 ＝22（平方厘米） 答：阴影部分的面积是22平方厘米。 18．求出下图中阴影部分的面积。 【答案】12.5cm2 【分析】 如图：阴影部分的面积＝正方形的面积÷2，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据求出正方形的面积，再除以2即可求出阴影部分的面积。 【详解】5×5÷2＝12.5（cm2） 阴影部分的面积是12.5 cm2。 1 学科网（北京）股份有限公司 $