第16讲 巧求平面图形的面积（二）：等积变换与一半模型 （知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第16讲 巧求平面图形的面积（二）：等积变换与一半模型 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 等积变换 基本概念：利用图形的平移、旋转、翻折或添加辅助线，将不规则图形转化为规则图形，或通过“等底等高”“同底等高”等条件，将图形面积进行等价替换的方法。核心原理是：图形形状改变，但面积不变。 核心公式与推论： 三角形面积公式： 推论1（等底等高）：等底等高的两个三角形面积相等。 推论2（同底等高）：底边相同，顶点在同一条与底边平行的直线上的三角形面积相等（平行线间距离处处相等，即高相等）。 推论3（等积变形）：三角形的顶点沿与底边平行的直线移动，面积不变；反之，若两个三角形面积相等且底边相同，则顶点在同一条与底边平行的直线上。 2. 一半模型 基本概念：在规则图形（如长方形、平行四边形、梯形等）中，通过连接顶点、中点或分割图形，使阴影部分面积占原图形面积一半的模型。常见于对称图形或含中点的图形中。 核心公式与结论： 长方形/正方形中的一半模型： 连接一条对角线，分成两个面积相等的三角形，每个三角形面积是长方形面积的一半（）。 任意一点与长方形四个顶点连接，形成的四个三角形中，相对两个三角形面积之和等于长方形面积的一半（如图1：）。 平行四边形中的一半模型： 连接一条对角线，分成两个面积相等的三角形，每个三角形面积是平行四边形面积的一半（）。 梯形中的一半模型： 连接两腰中点的线段（中位线）将梯形分成两个小梯形，但面积不一定是一半；若梯形上底与下底之和等于高的2倍，则中位线构成的三角形面积是梯形面积的一半（需结合具体图形）。 任意四边形中的一半模型： 连接一条对角线，取对角线中点，与另外两个顶点连接，形成的两个三角形面积之和等于四边形面积的一半（如图2：，其中为BD中点）。 二、核心题型与技巧 题型1：等积变换 技巧：通过观察图形，寻找“等底等高”或“同底等高”的三角形，将不规则图形面积转化为规则图形面积。 题型2：一半模型 技巧： 若阴影部分由顶点连线或中点连线构成，优先考虑“对角线分一半”或“相对三角形面积和为一半”。 若图形中有多个阴影部分，通过“割补法”将分散的阴影整合为规则图形，再用一半模型计算。 三、常见错误提醒 1.等积变换忽略“等高”或“等底”：如认为“同底的两个三角形面积相等”，但忽略顶点不在同一条平行线上（即高不相等）。 2.一半模型误用：在非长方形/平行四边形中强行套用“对角线分一半”（如梯形对角线分成的两个三角形面积不一定相等）。 3.辅助线添加错误：转化面积时，辅助线未连接关键点（如中点、平行线），导致无法构造等积三角形。 4.面积关系混淆：如将“一半模型”中的“面积和为一半”误认为“单个图形面积为一半”（如长方形中任意一点与顶点连线，单个三角形面积不一定是一半）。 例题讲解 题型1：等积变换 例题1：如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积． 【答案】10 【详解】 连接交于点，并连接．如下图所示， 可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有： ， 因为，所以． 跟踪练习1：如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积． 【答案】28 【详解】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接、． ∵， ∴． 同理，，， ∴(平方厘米)． 题型2：一半模型 例题2：如图，在长方形ABCD中，F是BC边上的中点，H是CD边上的中点，已知长方形ABCD的面积是56平方厘米，求三角形AFH的面积。 【答案】【分析】21平方厘米 【分析】的面积是长方形面积的，即平方厘米；△ADH的面积是长方形面积的，即平方厘米；△FCH的面积是长方形面积的，即平方厘米。所以△AFH的面积为平方厘米。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 跟踪练习2：平行四边形的面积是20平方厘米，求阴影部分的面积。 【答案】10 【分析】①观察图形可知，阴影部分是由几个三角形组成，这些三角形与平行四边形存在特定关系。 ②对于平行四边形内的三角形，我们可以发现，以平行四边形的一条边为底，这些阴影三角形的高之和恰好等于平行四边形这条底边对应的高。 ③根据三角形面积公式，这里阴影部分所有三角形面积之和就相当于以平行四边形的一边为底，以平行四边形的高为高的大三角形的面积。 ④而平行四边形的面积公式是，所以阴影部分面积是平行四边形面积的一半。 【详解】（平方厘米）。 提升练习 1．下图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？ 【答案】48 【详解】把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了三角形ABC和三角形ADC. 对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此面积=4×10÷2＝20. 对三角形 ADC来说，DC是底边，高是8，因此面积=7×8÷2＝28. 四边形ABCD面积=20＋28＝48. 2．如图所示，四边形ABCD是边长为18的正方形，E、F、G分别是AB、BC、CD的三等分点，H是AD上任意一点，求图中的阴影部分面积。 【答案】108 【分析】图中阴影部分由不规则四边形和组成，无法直接求面积，需要运用“分解法”，做辅助线转化为三角形，再根据三角形的底和高与正方形边长的数量关系：三角形面积＝底×高÷2，可知等高的两个三角形，面积比等于底之比，再根据三角形面积和正方形面积公式，知底和高均等于正方形边长的三角形的面积是正方形面积的一半，从而将题目中边的关系转化为面积关系，据此列式求解。 【详解】连接HC、HB，如图所示： 答：图中阴影部分面积为108。 【点睛】本题考查巧求面积，运用“分解法”做辅助线将复杂图形转化为简单图形，并掌握等高模型的解法，明白等高的两个三角形，面积比等于底之比是解题的关键。 3．在下图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积. 【答案】49 【分析】四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积. 【详解】把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是 7×2÷2＝7. 因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2＝3.5. 因为 BE＝8是 CE＝2的4倍，三角形MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是 3.5×4＝14. 长方形ABCD面积=7×（8＋2）=70. 四边形ABMD面积=70-7-14＝49. 4．如图，正方形的面积是，等腰三角形的面积是9，求阴影的面积． 【答案】4 【分析】如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，可以得到PO∥CD，那么三角形DPO的面积等于三角形CPO的面积，可以得到阴影部分的面积等于三角形BCP的面积减去三角形BCO的面积，也就是等腰三角形的面积减去正方形面积的。 【详解】如图所示： 连接AC，交BD于点O，连接PO，可以得到PO∥CD； 【点睛】本题考查的是等积变形。 5．如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求三角形DEF的面积。 【答案】3 【分析】D是BC的中点，DC＝BC，三角形ADC与三角形ABC同高，因此三角形ADC的面积是三角形ABC面积的，E是AC的中点，AE＝AC，三角形ADE与三角形ADC同高，因此三角形ADE的面积是三角形ADC面积的，F是AD的中点，FD＝AD，三角形DEF与三角形ADE同高，因此三角形FDE的面积是三角形ADE面积的，因此三角形DEF的面积是三角形ABC面积的，即可求得三角形DEF的面积。 【详解】24×××＝12××＝6×＝3 答：三角形DEF的面积为3。 【点睛】注意寻找三角形的底和高之间的关系。当三角形同高时，一个三角形的底是另一个三角形底的几分之几，那么这个三角形的面积就是另一个三角形面积的几分之几。 6．图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】48 【详解】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段．把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形．这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等．因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是，阴影部分的面积就是． 7．如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． 【答案】1/30 【详解】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，所以， 并得、是的三等分点，所以，所以，所以，； 又因为，所以． 解法二：延长交于，如右图， 可得，，从而可以确定的点的位置， ，，(鸟头定理)， 可得 8．如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？ 【答案】12 【详解】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48． 那么的面积为． 9．已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积． 【答案】20 【详解】 如果注意到为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到与是平行的．所以可以连接、，如上图． 由于与平行，所以的面积与的面积相等．而的面积为，所以的面积也为20． 10．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 【答案】50 【详解】方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 方法二： 连接CF，那么CF平行BD ， 所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 11．如图，平行四边形ABCD的面积是120平方厘米，F是BC边上靠近B点的四等分点，H是CD边上的中点，连接AF、AH、FH，求三角形AFH的面积。 【答案】52.5平方厘米 【分析】的面积是平行四边形面积的，即平方厘米；△ADH的面积是平行四边形面积的，即平方厘米；△FCH的面积是平行四边形面积的，即平方厘米。所以△AFH的面积为平方厘米。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 12．如图，在长方形ABCD中，E是AB边上的中点，G是AD边上的中点，已知长方形ABCD的面积是60平方厘米，求三角形BEG的面积。 【答案】7.5平方厘米 【分析】因为是AB中点，是AD中点，所以的面积是长方形ABCD面积的，将长方形的总面积看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，用乘法计算；据此解答。 【详解】 （平方厘米） 答：三角形BEG的面积是7.5平方厘米。 14．正方形ABCD的面积是180，E，F，G，H是正方形各边的中点，那么阴影部分的总面积是多少？ 【答案】40 【分析】如下图，E，F，G，H是正方形各边的中点，BE＝AE，AG∥EC，可得出BM＝ML， 又因为ML＝2MO，即BM＝2MO，同理CN＝2NO，可得出S△OCM ＝S△BCO，因为S△BCO＝S□ABCD，这样可以求出△OCM的面积，又因为CN＝2NO，所以S△CNM＝S△OMC，四块阴影的形状大小一样，所以△CNM的面积乘4即等于阴影部分的总面积，据此即可解答。 【详解】因为BE＝AE，AG∥EC，可得出BM＝ML 又因为ML＝2M0，所以BM＝2MO，同理可得CN＝2NO 因为BM＝2MO，所以S△OCM ＝S△BCO 又因为S△BCO＝S□ABCD＝×180＝45 所以S△OCM ＝×45＝15 又因为CN＝2NO，所以S△CNM＝S△OMC＝×15＝10 10×4＝40 阴影部分的总面积是40。 【点睛】同高的两个三角形面积比等于它们底的比，这是解答本题的关键。 15．如图，已知正方形ABCD的边长是6厘米，E，F点分别是BC，CD的中点，求四边形ABGD的面积是多少平方厘米？ 【答案】24平方厘米 【分析】连接CG，如果把△BGE的面积看成一份，那根据E和F是中点，就可以知道△EGC、△FGC、△FGD的面积相等，那△BCF面积就是三份，整个正方形的面积就是12份，由此求解。 【详解】6×6＝36（平方厘米） 把△BGE的面积看成一份，则三角形BCF就是三份，正方形面积就是12份 36÷12＝3（平方厘米） 36－3×4＝24（平方厘米） 答：四边形ABGD的面积是24平方厘米。 16．如图，在面积为20的正方形ABCD内有一点P，使得、、和中有两个三角形的面积分别是2和7。这样的P点共有多少个？写出分析过程。 【答案】4个，分析见详解 【分析】三角形PAB的面积＋三角形PDC面积＝三角形PAD＋三角形PBC，即相对的面的两个三角形面积和是正方形的面积的一半。这四个三角形的面积和20，即相对面的两个三角形面积和是10。其中两个三角形的面积是2和7，和是9，则这两个三角形肯定是相邻的两个三角形的面积。其余三角形的面积是8和3。据此解答即可。 【详解】20÷2＝10 三角形PAB的面积＋三角形PDC面积＝三角形PAD＋三角形PBC＝10 设三角形PAD是2，则三角形PBC＝10－2＝8 设三角形PAD是7，则三角形PBC＝10－7＝3 设三角形PAD是8，则三角形PBC＝10－8＝2 设三角形PAD是3，则三角形PBC＝10－3＝7 三角形PAD的面积有四种。 答：这样的p点共有4个。 【点睛】相对的两个三角形的底是相等的，高连接在一起就是正方形的边长，则相对面的面积和就是整个正方形面积的一半。 17．如图，在梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，和的面积分别是5和15，则梯形ABDC的面积为多少？ 【答案】80 【分析】由于三角形AEO和三角形BEO等底（EO）等高（梯形高的一半），所以，同理，那么空白部分的面积等于40； 设梯形的上底为a，下底为b，高为h 那么梯形面积＝（a＋b）×h÷2； 阴影部分的面积＝a×（h÷2）÷2＋b×（h÷2）÷2＝（a＋b）×h÷2÷2 阴影部分面积恰好是梯形面积的一半，因此空白部分的面积也是梯形面积的一半。 【详解】根据分析，可得： 空白面积： （5＋15）×2 ＝20×2 ＝40 梯形面积：40×2＝80 梯形ABDC的面积是80。 【点睛】解题关键在于明确两个阴影三角形的高都是梯形高的一半。 18．图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】22.5 【详解】，等高，所以面积的比为底的比，有, 所以=(平方厘米)．同理有(平方厘米)， (平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米． 22．如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形 的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是多少平方厘米？ 【答案】1.8 【详解】因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第16讲 巧求平面图形的面积（二）：等积变换与一半模型 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 等积变换 基本概念：利用图形的平移、旋转、翻折或添加辅助线，将不规则图形转化为规则图形，或通过“等底等高”“同底等高”等条件，将图形面积进行等价替换的方法。核心原理是：图形形状改变，但面积不变。 核心公式与推论： 三角形面积公式： 推论1（等底等高）：等底等高的两个三角形面积相等。 推论2（同底等高）：底边相同，顶点在同一条与底边平行的直线上的三角形面积相等（平行线间距离处处相等，即高相等）。 推论3（等积变形）：三角形的顶点沿与底边平行的直线移动，面积不变；反之，若两个三角形面积相等且底边相同，则顶点在同一条与底边平行的直线上。 2. 一半模型 基本概念：在规则图形（如长方形、平行四边形、梯形等）中，通过连接顶点、中点或分割图形，使阴影部分面积占原图形面积一半的模型。常见于对称图形或含中点的图形中。 核心公式与结论： 长方形/正方形中的一半模型： 连接一条对角线，分成两个面积相等的三角形，每个三角形面积是长方形面积的一半（）。 任意一点与长方形四个顶点连接，形成的四个三角形中，相对两个三角形面积之和等于长方形面积的一半（如图1：）。 平行四边形中的一半模型： 连接一条对角线，分成两个面积相等的三角形，每个三角形面积是平行四边形面积的一半（）。 梯形中的一半模型： 连接两腰中点的线段（中位线）将梯形分成两个小梯形，但面积不一定是一半；若梯形上底与下底之和等于高的2倍，则中位线构成的三角形面积是梯形面积的一半（需结合具体图形）。 任意四边形中的一半模型： 连接一条对角线，取对角线中点，与另外两个顶点连接，形成的两个三角形面积之和等于四边形面积的一半（如图2：，其中为BD中点）。 二、核心题型与技巧 题型1：等积变换 技巧：通过观察图形，寻找“等底等高”或“同底等高”的三角形，将不规则图形面积转化为规则图形面积。 题型2：一半模型 技巧： 若阴影部分由顶点连线或中点连线构成，优先考虑“对角线分一半”或“相对三角形面积和为一半”。 若图形中有多个阴影部分，通过“割补法”将分散的阴影整合为规则图形，再用一半模型计算。 三、常见错误提醒 1.等积变换忽略“等高”或“等底”：如认为“同底的两个三角形面积相等”，但忽略顶点不在同一条平行线上（即高不相等）。 2.一半模型误用：在非长方形/平行四边形中强行套用“对角线分一半”（如梯形对角线分成的两个三角形面积不一定相等）。 3.辅助线添加错误：转化面积时，辅助线未连接关键点（如中点、平行线），导致无法构造等积三角形。 4.面积关系混淆：如将“一半模型”中的“面积和为一半”误认为“单个图形面积为一半”（如长方形中任意一点与顶点连线，单个三角形面积不一定是一半）。 例题讲解 题型1：等积变换 例题1：如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积． 跟踪练习1：如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积． 题型2：一半模型 例题2：如图，在长方形ABCD中，F是BC边上的中点，H是CD边上的中点，已知长方形ABCD的面积是56平方厘米，求三角形AFH的面积。 跟踪练习2：平行四边形的面积是20平方厘米，求阴影部分的面积。 提升练习 1．下图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？ 2．如图所示，四边形ABCD是边长为18的正方形，E、F、G分别是AB、BC、CD的三等分点，H是AD上任意一点，求图中的阴影部分面积。 3．在下图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积. 4．如图，正方形的面积是，等腰三角形的面积是9，求阴影的面积． 5．如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求三角形DEF的面积。 6．图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是多少？ 7．如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． 8．如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？ 9．已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积． 10．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 11．如图，平行四边形ABCD的面积是120平方厘米，F是BC边上靠近B点的四等分点，H是CD边上的中点，连接AF、AH、FH，求三角形AFH的面积。 12．如图，在长方形ABCD中，E是AB边上的中点，G是AD边上的中点，已知长方形ABCD的面积是60平方厘米，求三角形BEG的面积。 14．正方形ABCD的面积是180，E，F，G，H是正方形各边的中点，那么阴影部分的总面积是多少？ 15．如图，已知正方形ABCD的边长是6厘米，E，F点分别是BC，CD的中点，求四边形ABGD的面积是多少平方厘米？ 16．如图，在面积为20的正方形ABCD内有一点P，使得、、和中有两个三角形的面积分别是2和7。这样的P点共有多少个？写出分析过程。 17．如图，在梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，和的面积分别是5和15，则梯形ABDC的面积为多少？ 18．图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？ 19．如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形 的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是多少平方厘米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $