第18讲 圆柱与圆锥的表面积和体积（含不规则物体体积）（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第18讲 圆柱与圆锥的表面积和体积（含不规则物体体积） 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.圆柱的表面积与体积 基本概念：圆柱由两个圆形底面和一个曲面侧面组成，表面积是侧面积与两个底面积之和；体积是所占空间的大小。 核心公式： ① 侧面积 = 底面周长 × 高 = （为底面半径，为高） ② 底面积 = ③ 表面积 = 侧面积 + 2×底面积 = （完整圆柱）； 特殊情况（如无盖水桶）：表面积 = 侧面积 + 1×底面积 = ④ 体积 = 底面积 × 高 = 2.圆锥的体积 基本概念：圆锥由一个圆形底面和一个曲面侧面组成，体积是所占空间的大小。 核心公式： ① 体积 = 底面积 × 高 = （为底面半径，为高） 3.不规则物体体积（排水法） 基本概念：通过测量物体浸没在水中后水面上升的体积计算不规则物体体积（适用于完全浸没且水不溢出的情况）。 核心公式： ① 不规则物体体积 = 容器底面积 × 水面上升高度 = （为水面上升高度） 二、核心题型与技巧 题型1：圆柱表面积计算 技巧：区分“完整圆柱”（2个底面积+侧面积）、“无盖/无底圆柱”（1个底面积/0个底面积+侧面积），明确表面积包含的部分。 公式：完整圆柱表面积 = ；无盖圆柱表面积 = 题型2：圆柱体积计算与变形 技巧：已知直径或周长时，先求半径，再用体积公式计算。 公式：，体积 = 题型3：圆锥体积计算与“等积变形” 技巧：牢记圆锥体积需乘；“等积变形”（如熔铸、倒水）时，体积不变（圆柱体积 = 圆锥体积）。 公式：圆锥体积 = ；等积变形： 题型4：圆柱与圆锥的体积关系（等底等高/等积等底/等积等高） 技巧： 等底等高：圆柱体积 = 3×圆锥体积，体积差 = 2×圆锥体积； 等积等底：圆锥高 = 3×圆柱高； 等积等高：圆锥底面积 = 3×圆柱底面积。 公式：等底等高时，， 题型5：不规则物体体积（排水法基础与拓展) 基础：容器为规则形状（长方体、圆柱），物体完全浸没，； 拓展：物体未完全浸没时，（需知露出体积）；水溢出时， 三、常见错误提醒 1.漏算底面积：计算无盖水桶表面积时，误按“侧面积”计算（正确：侧面积+1个底面积）。 2.圆锥体积忘记乘：直接用“底面积×高”计算（正确：底面积×高）。 3.单位不统一：如半径用“cm”、高用“dm”，未换算直接代入公式（需统一单位）。 4.排水法底面积错误：误将“物体底面积”当作“容器底面积”（正确：容器底面积）。 例题讲解 一、圆柱表面积 例题1：计算圆柱的表面积。（单位：cm） 跟踪练习1：一种圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米。做这样的一只水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） 二、圆柱体积 例题2：如图，求空心圆柱的体积。 跟踪练习2：一段长方体木材，长、宽、高分别是4分米、4分米、10分米（如下图）。张师傅要将它加工成一个最大的圆柱，这个最大圆柱的体积是多少立方分米？加工时需要削去多少立方分米的木材？ 三、圆锥体积 例题3：计算下面图形的体积。（单位：分米） 跟踪练习3：孙爷爷的小麦大丰收。麦堆的高1.5米，底面直径6米，每立方米粮食800千克，这堆小麦多少吨？ 四、等底等高圆柱与圆锥体积差 例题4：一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥大24cm³，求圆柱和圆锥体积各是多少？ 跟踪练习4：等底等高的圆柱和圆锥体积之和是48dm³，求圆锥体积。 五、排水法求不规则物体体积 例题5：“数学节”活动期间，小明利用排水法测量一个土豆的体积（如图）。请根据下面的测量步骤和结果，求出这个土豆的体积是多少立方厘米。（取出土豆时，水没有溢出）（单位：厘米） 跟踪练习5：小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是8厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 提升练习 1．求组合图形的体积。 2．求圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 3．求体积。 4．计算下面图形的体积。（单位：cm） 5．一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体的底面积是多少平方厘米？ 6．一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不含瓶颈），现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度是12厘米，倒放时空余部分高6厘米。这种饮料瓶的容积是多少毫升？ 7．用四个完全相同的小圆柱体拼接成一个大圆柱体，表面积减少了300平方厘米，拼成的大圆柱的长是12厘米，求一个小圆柱体的体积是多少立方厘米？ 8．《九章算术》中有如下问题：今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆多少斛？已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.5立方尺。（取3） 9．如图，一个圆锥形钢材高是6厘米，如果将这个钢材从顶点向下垂直切开，纵切面的面积是36平方厘米。原来圆锥形钢材的体积是多少立方厘米？ 10．圆柱形容器的底面直径为10厘米，它里面装有一部分水，水中浸没着一个高为6厘米的圆锥形体。将圆锥形体从水中取出后，水面下降了0.6厘米，这个圆锥形体的底面积是多少平方厘米？ 11．从2023年起我国进行废弃煤矿的回填治理和生态恢复工作。如图是一个可保煤矿矿坑剖面，需要回填土大约多少立方米？ 12．在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 13．如图所示是一个由圆柱和圆锥组成的容器，圆柱高是10厘米，圆锥的高是6厘米，容器里的水深6厘米，将这个容器倒过来如右图放置时，圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米？请先算一算，并在右图中画出水深的情况。 14．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 15．把一个铝球完全浸没在一个从内部量底面半径是8厘米的圆柱形水桶中，水面的高度由原来的5厘米上升到8厘米，这个铝球的体积是多少立方厘米？ 16．在底面是314平方厘米的容器中倒入2升水，再把一块石头放入水中。这时量得容器内水深10厘米。石头的体积是多少立方厘米？ 17．在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是5厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 18．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器，装一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了2厘米。这个圆锥体的铅锤的底面积是多少平方厘米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第18讲 圆柱与圆锥的表面积和体积（含不规则物体体积） 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.圆柱的表面积与体积 基本概念：圆柱由两个圆形底面和一个曲面侧面组成，表面积是侧面积与两个底面积之和；体积是所占空间的大小。 核心公式： ① 侧面积 = 底面周长 × 高 = （为底面半径，为高） ② 底面积 = ③ 表面积 = 侧面积 + 2×底面积 = （完整圆柱）； 特殊情况（如无盖水桶）：表面积 = 侧面积 + 1×底面积 = ④ 体积 = 底面积 × 高 = 2.圆锥的体积 基本概念：圆锥由一个圆形底面和一个曲面侧面组成，体积是所占空间的大小。 核心公式： ① 体积 = 底面积 × 高 = （为底面半径，为高） 3.不规则物体体积（排水法） 基本概念：通过测量物体浸没在水中后水面上升的体积计算不规则物体体积（适用于完全浸没且水不溢出的情况）。 核心公式： ① 不规则物体体积 = 容器底面积 × 水面上升高度 = （为水面上升高度） 二、核心题型与技巧 题型1：圆柱表面积计算 技巧：区分“完整圆柱”（2个底面积+侧面积）、“无盖/无底圆柱”（1个底面积/0个底面积+侧面积），明确表面积包含的部分。 公式：完整圆柱表面积 = ；无盖圆柱表面积 = 题型2：圆柱体积计算与变形 技巧：已知直径或周长时，先求半径，再用体积公式计算。 公式：，体积 = 题型3：圆锥体积计算与“等积变形” 技巧：牢记圆锥体积需乘；“等积变形”（如熔铸、倒水）时，体积不变（圆柱体积 = 圆锥体积）。 公式：圆锥体积 = ；等积变形： 题型4：圆柱与圆锥的体积关系（等底等高/等积等底/等积等高） 技巧： 等底等高：圆柱体积 = 3×圆锥体积，体积差 = 2×圆锥体积； 等积等底：圆锥高 = 3×圆柱高； 等积等高：圆锥底面积 = 3×圆柱底面积。 公式：等底等高时，， 题型5：不规则物体体积（排水法基础与拓展) 基础：容器为规则形状（长方体、圆柱），物体完全浸没，； 拓展：物体未完全浸没时，（需知露出体积）；水溢出时， 三、常见错误提醒 1.漏算底面积：计算无盖水桶表面积时，误按“侧面积”计算（正确：侧面积+1个底面积）。 2.圆锥体积忘记乘：直接用“底面积×高”计算（正确：底面积×高）。 3.单位不统一：如半径用“cm”、高用“dm”，未换算直接代入公式（需统一单位）。 4.排水法底面积错误：误将“物体底面积”当作“容器底面积”（正确：容器底面积）。 例题讲解 一、圆柱表面积 例题1：计算圆柱的表面积。（单位：cm） 【答案】471cm2 【分析】根据圆柱的表面积的计算方法：圆柱的表面积＝2个底面积＋侧面积，再分别根据圆的面积公式S＝πr2及侧面积公式S＝Ch＝πdh，通常π取值3.14，代入数据计算即可。 【详解】3.14×（10÷2）2×2＋3.14×10×10 ＝3.14×52×2＋31.4×10 ＝3.14×25×2＋314 ＝157＋314 ＝471（cm2） 圆柱的表面积是471cm2。 跟踪练习1：一种圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米。做这样的一只水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） 【答案】 50平方分米 【分析】计算无盖圆柱形水桶所需铁皮的面积，即侧面积加上一个底面积。圆柱的侧面积公式为：S＝πdh，底面积公式为S＝πr2；已知圆柱形无盖铁皮水桶的高2.5分米，底面直径是4分米，计算出底面半径为4÷2＝2分米，将数据代入公式计算后，结果按实际情况（进一法）保留到整十平方分米。据此解答。 【详解】4÷2＝2（分米） 3.14×4×2.5＋3.14×22 ＝12.56×2.5＋3.14×4 ＝31.4＋12.56 ＝43.96（平方分米） 43.96≈50 答：做这样的一只水桶至少要用铁皮50平方分米。 二、圆柱体积 例题2：如图，求空心圆柱的体积。 【答案】1413cm3 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，先计算出底面直径是10cm，高是50cm的圆柱的体积，再计算出底面直径是8cm，高是50cm的圆柱的体积，再用直径10cm圆柱的体积－底面直径8cm的圆柱的体积，即可求出空心圆柱的体积。 【详解】3.14×（10÷2）2×50－3.14×（8÷2）2×50 ＝3.14×52×50－3.14×42×50 ＝3.14×25×50－3.14×16×50 ＝78.5×50－50.24×50 ＝3925－2512 ＝1413（cm3） 空心圆柱的体积是1413cm3。 跟踪练习2：一段长方体木材，长、宽、高分别是4分米、4分米、10分米（如下图）。张师傅要将它加工成一个最大的圆柱，这个最大圆柱的体积是多少立方分米？加工时需要削去多少立方分米的木材？ 【答案】125.6立方分米；34.4立方分米 【分析】根据题意可知，这个长方体的底面是一个正方形，加工成一个圆柱，圆柱的底面直径等于长方体的底面正方形的边长；圆柱的高等于长方体的高；根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积；再根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体的体积，再用长方体的体积-圆柱的体积，求出加工时需要削去部分的体积。 【详解】3.14×（4÷2）2×10 ＝3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方分米） 4×4×10－125.6 ＝16×10－125.6 ＝160－125.6 ＝34.4（立方分米） 答：这个最大圆柱的体积是125.6立方分米，加工时需要削去34.4立方分米的木材。 三、圆锥体积 例题3：计算下面图形的体积。（单位：分米） 【答案】87.92立方分米 【分析】由图可知，这个组合体由圆柱和圆锥两部分组成，它们的底面都是以4分米为直径的圆，圆柱的高是5分米，圆锥的高是6分米，“”“”把数据代入公式求出这个组合体的体积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝28×3.14 ＝87.92（立方分米） 所以，该图形的体积是87.92立方分米。 跟踪练习3：孙爷爷的小麦大丰收。麦堆的高1.5米，底面直径6米，每立方米粮食800千克，这堆小麦多少吨？ 【答案】11.304吨 【分析】根据圆锥体积＝Sh，计算出圆锥形小麦堆的体积，用每立方米小麦的质量乘小麦的体积即可求出小麦的质量，单位换算成吨即可。 【详解】800千克＝0.8吨 ×3.14×（6÷2）2×1.5×0.8 ＝×3.14×9×1.5×0.8 ＝11.304（吨） 答：这堆小麦重11.304吨。 四、等底等高圆柱与圆锥体积差 例题4：一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥大24cm³，求圆柱和圆锥体积各是多少？ 答案：圆柱36cm³，圆锥12cm³ 解析：等底等高时，（cm³），则（cm³），（cm³） 跟踪练习4：等底等高的圆柱和圆锥体积之和是48dm³，求圆锥体积。 答案：12dm³ 解析：（dm³），（dm³） 五、排水法求不规则物体体积 例题5：“数学节”活动期间，小明利用排水法测量一个土豆的体积（如图）。请根据下面的测量步骤和结果，求出这个土豆的体积是多少立方厘米。（取出土豆时，水没有溢出）（单位：厘米） 【答案】565.2立方厘米 【分析】根据图可知，土豆的体积等于水面下降部分体积，根据圆柱的体积＝π×半径2×下降的高度，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（12÷2）2×（15－10） ＝3.14×62×5 ＝3.14×36×5 ＝113.04×5 ＝565.2（立方厘米） 答：这个土豆的体积是565.2立方厘米。 跟踪练习5：小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是8厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1004.8毫升 【分析】从图中可知，瓶子正放时，空白部分是一个不规则图形；瓶子倒放时，空白部分正好是一个圆柱形；因为瓶子的容积、水的体积都不变，所以瓶子正放和倒放时的空白部分的容积相等，那么这个瓶子的容积＝水的体积＋倒放时空白部分的容积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，再根据1立方厘米＝1毫升解答即可。 【详解】3.14×（8÷2）2×15＋3.14×（8÷2）2×（30－25） ＝3.14×16×15＋3.14×16×5 ＝3.14×16×（15＋5） ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个瓶子的容积是1004.8毫升。 【点睛】本题考查体积的计算，解题关键是明确瓶子正放和倒放时空白部分的容积是不变的，用倒放时的空白部分替换正放时的空白部分，转化成圆柱体，再利用圆柱的体积（容积）公式求解。 提升练习 1．求组合图形的体积。 【答案】5.338m3 【分析】该组合图形由圆柱和圆锥两部分组成，组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，“”“”把图中的数据代入公式计算，据此解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×1.5＋3.14×（2÷2）2×0.6× ＝3.14×12×1.5＋3.14×12×0.6× ＝3.14×1×1.5＋3.14×1×0.6× ＝3.14×1.5＋3.14×0.6× ＝4.71＋3.14×（0.6×） ＝4.71＋3.14×0.2 ＝4.71＋0.628 ＝5.338（m3） 所以，组合图形的体积是5.338m3。 2．求圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】164.85cm2；157cm3 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积；圆柱的体积＝底面积×高；代入数据计算即可。 【详解】表面积：（5÷2）2×3.14×2＋5×3.14×8 ＝2.52×3.14×2＋15.7×8 ＝6.25×3.14×2＋125.6 ＝19.625×2＋125.6 ＝39.25＋125.6 ＝164.85（cm2） 体积：（5÷2）2×3.14×8 ＝2.52×3.14×8 ＝6.25×3.14×8 ＝19.625×8 ＝157（cm3） 3．求体积。 【答案】3.925dm3 【分析】观察图形可知，图形是一个底面直径为2dm，高为2.5dm的圆柱的一半，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出整个圆柱的体积，再除以2，即是图形的体积。 【详解】3.14×（2÷2）2×2.5÷2 ＝3.14×12×2.5÷2 ＝3.14×1×2.5÷2 ＝3.925（dm3） 图形的体积是3.925dm3。 4．计算下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】3.14cm3；6280cm3 【分析】圆锥体积＝底面积×高÷3；第二个图形的体积＝高15cm的圆柱体积＋高（25－15）cm的圆柱体积的一半，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。 【详解】3.14×12×3÷3 ＝3.14×1×3÷3 ＝3.14（cm3） 3.14×（20÷2）2×15＋3.14×（20÷2）2×（25－15）÷2 ＝3.14×102×15＋3.14×102×10÷2 ＝3.14×100×15＋3.14×100×10÷2 ＝4710＋1570 ＝6280（cm3） 两个图形的体积分别是3.14cm3，6280cm3。 5．一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体的底面积是多少平方厘米？ 【答案】28.26平方厘米 【分析】已知把一个圆锥体铅锤从有水的圆柱形玻璃器皿中取出，水面下降了0.5厘米，那么水下降部分的体积就是圆锥体铅锤的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铅锤的体积。 已知圆锥形铅锤的高是6厘米，根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，代入数据计算，求出这个圆锥体的底面积。 【详解】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷6 ＝169.56÷6 ＝28.26（平方厘米） 答：这个圆锥体的底面积是28.26平方厘米。 6．一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不含瓶颈），现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度是12厘米，倒放时空余部分高6厘米。这种饮料瓶的容积是多少毫升？ 【答案】1413毫升 【分析】饮料瓶正放与倒放空余部分的体积相等，则饮料瓶的容积等于底面直径是10厘米，高是（12＋6）厘米的圆柱的体积。根据圆柱的体积公式：，代入数据计算，最后将体积换算成毫升数即可。 【详解】3.14×（）2×（12＋6） ＝3.14×52×18 ＝3.14×25×18 ＝1413（立方厘米） 1413立方厘米＝1413毫升 答：这种饮料瓶的容积是1413毫升。 7．用四个完全相同的小圆柱体拼接成一个大圆柱体，表面积减少了300平方厘米，拼成的大圆柱的长是12厘米，求一个小圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【答案】150立方厘米 【分析】四个完全相同的小圆柱体拼接成一个大圆柱体，拼接的次数是 4－1＝3 次，每拼接一次，表面积就会减少2个圆柱的底面积，那么拼接3次，表面积一共减少了2×3＝6个圆柱的底面积；已知表面积减少了300平方厘米，也就是6个小圆柱的底面积是300平方厘米，那么一个小圆柱的底面积为300÷6＝50平方厘米；已知拼成的大圆柱的长是12厘米，大圆柱的长是由4个小圆柱的高组成的，所以小圆柱的高为12÷4＝3厘米；最后根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出小圆柱的体积即可。 【详解】2×（4－1） ＝2×3 ＝6（个） 300÷6＝50（平方厘米） 12÷4＝3（厘米） 50×3＝150（立方厘米） 答：一个小圆柱体的体积是150立方厘米。 8．《九章算术》中有如下问题：今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆多少斛？已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.5立方尺。（取3） 【答案】350立方尺；140斛 【分析】底面半圆的弧长为3丈，3丈＝30尺，根据“”求出圆锥的底面半径，圆锥的高为7尺，根据“”求出圆锥的体积，最后除以2就是半圆锥的体积，即这堆大豆的体积；求大豆有多少斛就是求这堆大豆的体积里面有多少个2.5立方尺，用除法计算即可，据此解答。 【详解】3丈＝30尺 底面半径：30÷3＝10（尺） 体积：×3×102×7÷2 ＝×3×100×7÷2 ＝1×100×7÷2 ＝700÷2 ＝350（立方尺） 350÷2.5＝140（斛） 答：这堆大豆的体积是350立方尺，应有大豆140斛。 9．如图，一个圆锥形钢材高是6厘米，如果将这个钢材从顶点向下垂直切开，纵切面的面积是36平方厘米。原来圆锥形钢材的体积是多少立方厘米？ 【答案】226.08立方厘米 【分析】观察可知，纵切面是一个三角形的面积，这个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，根据的逆运算，可求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】（厘米） （厘米） （立方厘米） 答：原来圆锥形钢材的体积是226.08立方厘米。 10．圆柱形容器的底面直径为10厘米，它里面装有一部分水，水中浸没着一个高为6厘米的圆锥形体。将圆锥形体从水中取出后，水面下降了0.6厘米，这个圆锥形体的底面积是多少平方厘米？ 【答案】23.55平方厘米 【分析】当圆锥从水中取出，水面下降的体积等于圆锥的体积，需先根据圆柱体积公式算出下降水的体积（即圆锥体积）。 已知圆柱底面直径为10厘米，半径为10÷2＝5厘米。水面下降高度为0.6厘米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），把数据代入得圆锥体积为：3.14×52×0.6＝3.14×25×0.6＝47.1立方厘米。根据圆锥体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为高），则h＝V÷÷h，已知圆锥高为6厘米，圆锥体积为47.1立方厘米。把数据代入公式计算即可得出圆锥的底面积。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×0.6＝3.14×25×0.6＝47.1（立方厘米） 47.1÷÷6 ＝47.1×3÷6 ＝141.3÷6 ＝23.55（平方厘米） 答：这个圆锥形体的底面积是23.55平方厘米。 11．从2023年起我国进行废弃煤矿的回填治理和生态恢复工作。如图是一个可保煤矿矿坑剖面，需要回填土大约多少立方米？ 【答案】423900立方米 【分析】由图可知，矿坑的形状是圆锥形。已知该圆锥形的底面直径是180米，高是50米，用底面直径长度除以2计算出底面半径长度，然后根据圆锥的体积公式计算出该圆锥形矿坑的容积，即需要回填土的体积。 【详解】×3.14×（180÷2）2×50 ＝×3.14×902×50 ＝×3.14×8100×50 ＝423900（立方米） 答：需要回填土大约423900立方米。 12．在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径4米，高12分米。每立方米沙大约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨数） 【答案】8吨 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出沙堆的体积，再乘每立方米沙的重量，即是这堆沙的总重量，得数根据“四舍五入”法保留整吨数。注意单位的换算：1米＝10分米。 【详解】12分米＝1.2米 ×3.14×（4÷2）2×1.2 ＝×3.14×22×1.2 ＝×3.14×4×1.2 ＝5.024（立方米） 1.5×5.024≈8（吨） 答：这堆沙约重8吨。 13．如图所示是一个由圆柱和圆锥组成的容器，圆柱高是10厘米，圆锥的高是6厘米，容器里的水深6厘米，将这个容器倒过来如右图放置时，圆锥的顶点到水面的距离是多少厘米？请先算一算，并在右图中画出水深的情况。 【答案】10厘米；图见详解 【分析】根据题意，根据等底等高圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由此可知题目中圆柱内6厘米高的液体的体积是这个圆锥的体积的3倍。把圆柱内2厘米高的水倒入高6厘米的圆锥容器内即可装满，则圆柱内水还剩下（6－2）厘米高的液体。再加上圆锥的高就是圆锥的顶点到水面的距离，据此解答即可。 【详解】6－6÷3＋6 ＝6－2＋6 ＝4＋6 ＝10（厘米） 水深如图所示： 答：圆锥的顶点到水面的距离是10厘米。 【点睛】等底等高圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，是解决此题的关键。 14．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）10厘米 （2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米 【分析】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【详解】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 15．把一个铝球完全浸没在一个从内部量底面半径是8厘米的圆柱形水桶中，水面的高度由原来的5厘米上升到8厘米，这个铝球的体积是多少立方厘米？ 【答案】602.88立方厘米 【分析】根据题意可知，水面升高部分的体积，就是铝球的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×82×（8－5） ＝3.14×64×3 ＝200.96×3 ＝602.88（立方厘米） 答：这个铝球的体积是602.88立方厘米。 16．在底面是314平方厘米的容器中倒入2升水，再把一块石头放入水中。这时量得容器内水深10厘米。石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】1140立方厘米 【分析】根据题意，石头的体积＝上升的水的体积。圆柱的体积＝底面积×高，据此用314乘10可以求出水和石头的体积之和，再减去水的体积2升，即可求出石头的体积。 【详解】2升＝2000立方厘米 314×10－2000 ＝3140－2000 ＝1140（立方厘米） 答：石头的体积是1140立方厘米。 17．在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是5厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】60.288立方厘米 【分析】本题可根据排水法求不规则物体（鸡蛋）的体积，鸡蛋的体积等于放入鸡蛋后上升的水的体积，而这部分水的形状是圆柱体，已知底面直径是8厘米可算出半径，放入鸡蛋后水的高度从5厘米上升到了6.2厘米，所以水面上升的高度是6.2－5＝1.2（厘米），最后可根据圆柱体积公式计算，据此解答即可。 【详解】8÷2＝4（厘米） 6.2－5＝1.2（厘米） 3.14×42×1.2 ＝3.14×16×1.2 ＝50.24×1.2 ＝60.288（立方厘米） 答：这枚鸡蛋的体积大约是60.288立方厘米。 18．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器，装一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了2厘米。这个圆锥体的铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】75.36平方厘米 【分析】由题意可知，下降的水的体积就是圆锥的体积，根据圆柱的体积公式，代入数据计算下降的水的体积，即圆锥的体积，再根据的逆运算，用圆锥的体积除以再除以高，即可得解。 【详解】 （平方厘米） 答：这个圆锥体的铅锤的底面积是75.36平方厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $