第17讲 长方体与正方体的表面积和体积（含展开图、染色问题）（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第17讲 长方体与正方体的表面积和体积（含展开图、染色问题） 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.长方体与正方体的基本概念 顶点：长方体和正方体都有8个顶点； 棱：长方体有12条棱（分长、宽、高各4条），正方体有12条棱（所有棱长度相等）； 面：长方体有6个面（相对面面积相等），正方体有6个面（所有面面积相等）。 2.表面积公式 长方体表面积：（：长，：宽，：高）； 正方体表面积：（：棱长）； 无盖/无底表面积：如无盖长方体（鱼缸）表面积（少一个顶面）。 3.体积公式 长方体体积：； 正方体体积：； 统一公式：（适用于长方体和正方体）。 4.展开图相关概念 正方体展开图：共11种类型，分为“1-4-1型”（6种）、“2-3-1型”（3种）、“2-2-2型”（1种）、“3-3型”（1种）； 相对面判断：展开图中，相对面不相邻，且中间隔一个面（如“1-4-1型”中，上下两个“1”是相对面；“Z”字两端的面是相对面）。 5.染色问题公式（棱长为的正方体表面染色，切成棱长为1的小正方体） 3面染色：8个（顶点处，正方体有8个顶点）； 2面染色：个（棱上，每条棱除去2个顶点，共12条棱）； 1面染色：个（面上，每个面除去边缘，共6个面）； 0面染色：个（内部，除去所有表面的小正方体）。 二、核心题型与技巧 题型1：表面积基础计算 技巧： 无盖/无底时，少算一个顶面（或底面）； 拼接时，表面积减少“2×拼接面面积”（两个面重合）； 切割时，表面积增加“2×切面面积”（每切一次增加两个面）。 公式： 拼接后表面积：； 切割后表面积：。 题型2：体积计算 技巧：直接套用体积公式，注意单位统一（1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米）。 题型3：展开图还原与相对面判断 技巧： 排除“田”字形、“凹”字形等无法折成正方体的展开图； 相对面判断：同行/同列隔一个面，或“Z”字两端的面是相对面。 题型4：染色问题中不同染色面数小正方体个数计算 技巧：根据小正方体位置（顶点、棱、面、内部）对应公式计算，为大正方体棱长（小正方体棱长为1）。 三、常见错误提醒 1.表面积漏算/多算面：如无盖长方体误算6个面，或拼接时忘记减去重合面面积（例：两个正方体拼接，表面积减少2个面）。 2.体积与表面积混淆：单位混淆（表面积用“平方”，体积用“立方”），或公式混淆（如用体积公式计算表面积）。 3.展开图相对面判断错误：将相邻面误认为相对面（例：“1-4-1型”中，中间4个面里相邻的两个面是相邻面，非相对面）。 4.染色问题公式记错：如2面染色误记为个（正确应为，忽略正方体有12条棱）。 例题讲解 题型1：表面积基础计算 例题1：计算下面各立体图形的表面积。 【答案】600平方厘米；432平方分米 【分析】对于正方体，根据正方体表面积公式S＝6a2（a为棱长）计算；对于长方体，依据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高）计算，结合题目中正方体棱长、长方体长、宽、高的数据逐步运算，据此解答。 【详解】正方体表面积：正方体棱长a＝10厘米，根据公式S＝6a2，可得： 6×102 ＝6×100 ＝600（平方厘米） 长方体表面积：长方体长a＝6分米，宽b＝6分米，高h＝15分米， 根据公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，可得： （6×6＋6×15＋6×15）×2 ＝（36＋90＋90）×2 ＝216×2 ＝432（平方分米） 答：正方体表面积为600平方厘米，长方体表面积为432平方分米。 跟踪练习1：计算下面各立体图形的表面积。 【答案】264m2；384cm2 【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可。 【详解】（6×2＋6×15＋2×15）×2 ＝（12＋90＋30）×2 ＝132×2 ＝264（m2） 8×8×6＝384（cm2） 长方体的表面积是264m2，正方体的表面积是384cm2。 题型2：体积计算 例题2：计算下面图形的表面积和体积。 【答案】（1）384cm2；512cm3；（2）358dm2；420dm3 【分析】（1）正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长； （2）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】（1）8×8×6＝384（cm2） 8×8×8＝512（cm3） 正方体的表面积和体积分别是384cm2、512cm3。 （2）（12×5＋12×7＋5×7）×2 ＝（60＋84＋35）×2 ＝179×2 ＝358（dm2） 12×5×7＝420（dm3） 长方体的表面积和体积分别是358dm2、420dm3。 跟踪练习2：分别求出下列立体图形的表面积和体积。 【答案】正方体：37.5cm2；15.625cm3 长方体：210cm2；200cm3 【分析】根据正方体的表面积＝6×棱长×棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；长方体的表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），长方体的体积＝长×宽×高；代入数据解答即可。 【详解】2.5×2.5×6 ＝6.25×6 ＝37.5（cm2） 2.5×2.5×2.5 ＝6.25×2.5 ＝15.625（cm3） （8×5＋8×5＋5×5）×2 ＝（40＋40＋25）×2 ＝（80＋25）×2 ＝105×2 ＝210（cm2） 8×5×5 ＝40×5 ＝200（cm3） 正方体的表面积是37.5cm2，体积是15.625cm3； 长方体的表面积是210cm2，体积是200cm3。 题型3：展开图还原与相对面判断 例题3：下面是一个正方体的展示图，与3号相对的是( )号。 【答案】6 【分析】假定3号面为下面. 第一步：4号沿着它与3号面的线折叠就成为右面；5号面折叠后就成了前面；6号面再折叠就成了上面。 第二步：2号面沿着它与3号面的线折叠就成了后面；1号面再折叠后就成了左面。 所以，与3号面相对的是6号面。 【详解】1号和4号是相对面，2号和5号是相对面，3号和6号是相对面。 所以与3号相对的是6号。 跟踪练习3：如图是一个长方体纸盒的表面展开图（单位：厘米），这个纸盒的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 208 192 【分析】由题图可知长方体的长为8厘米，宽为10－4＝6（厘米），高为4厘米。再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，即可求得这个纸盒的表面积和体积。 【详解】由题图可知长方体的长为8厘米，宽为10－4＝6（厘米），高为4厘米 纸盒的表面积： （8×6＋8×4＋6×4）×2 ＝（48＋32＋24）×2 ＝104×2 ＝208（平方厘米） 纸盒的体积： 8×6×4 ＝48×4 ＝192（立方厘米） 题型4：染色问题中不同染色面数小正方体个数计算 例题4：下图是3×4×5正方体，如果将其表面涂成黄色，那么其中一面、两面、三面被涂成黄色以及未被涂色的小正方体各有多少块？ 【答案】一面被涂成黄色的小正方体有22块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块，未被涂色的小正方体有6块 【分析】三面涂色：位于长方体的顶点处，长方体共有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8块。 两面涂色：位于棱上（除去顶点）。 长度为5的棱有4条，每条棱上两面涂色的数量为5－2＝3，共4×3＝12块； 长度为4的棱有4条，每条棱上两面涂色的数量为4－2＝2，共4×2＝8块； 长度为3的棱有4条，每条棱上两面涂色的数量为3－2＝1，共4×1＝4块。 两面涂色的小正方体总数为12＋8＋4＝24块。 一面涂色：位于面的中间（除去棱和顶点）。 5×4的面有2个，每个面一面涂色的数量为（5－2）×（4－2）＝6，共6×2＝12块； 5×3的面有2个，每个面一面涂色的数量为（5－2）×（3－2）＝3，共3×2＝6块； 4×3的面有2个，每个面一面涂色的数量为（4－2）×（3－2）＝2，共2×2＝4块。 一面涂色的小正方体总数为12＋6＋4＝22块。 未被涂色：位于长方体内部，数量为（5－2）×（4－2）×（3－2）＝3×2×1＝6块。 【详解】5－2＝3 4×3＝12块 4－2＝2 4×2＝8块 3－2＝1 4×1＝4块 12＋8＋4＝24块 （5－2）×（4－2）＝6 6×2＝12块 （5－2）×（3－2）＝3 3×2＝6块 （4－2）×（3－2）＝2 2×2＝4块 12＋6＋4＝22块 答：一面被涂成黄色的小正方体有22块，两面被涂成黄色的小正方体有24块，三面被涂成黄色的小正方体有8块，未被涂色的小正方体有6块。 跟踪练习4：将一个边长为3cm正方体，如果将其表面涂成红色，然后切割成边长为1厘米的小正方体，那么未被涂成红色的小正方体各有多少块？ 【答案】1块 【分析】首先，边长为3厘米的正方体切割成边长为1厘米的小正方体，总共有3×3×3＝27个小正方体。 未被涂色的小正方体位于大正方体内部，不接触任何表面。去掉表面一层后，内部正方体的边长为3－2＝1厘米。 因此，未被涂色的小正方体数量为1×1×1＝1块。 【详解】3－2＝1厘米 1×1×1＝1块 答：未被涂成红色的小正方体各有1块。 提升练习 1．如图，将一个长4cm、宽3cm、高3cm的长方体6个面涂上红色，然后把这个长方体切割成棱长为1cm的小正方体，可以分成( )个小正方体，其中，一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，没有涂色的有( )个。 【答案】 36 10 16 2 【分析】分析题意，将长方体切割成棱长为1cm的小正方体，长可以分成4个，宽可以分成3个，高可以分成3个。 易知三面涂色的小正方体都在顶点处，有8个； 两面涂色的小正方体都在棱上，即公式为（长－2）×4＋（宽－2）×4＋（高－2）×4； 一面涂色的小正方体在每个面的中间，即公式为（长－2）×（宽－2）×2＋（长－2）×（高－2）×2＋（宽－2）×（高－2）×2； 没有涂色的在正中间找，即公式为（长－2）×（宽－2）×（高－2）； 据此求解即可。 【详解】（个） （个） （个） （个） 一面涂色： （个） 两面涂色： （个） 没有涂色： （个） 可以分成36个小正方体，其中，一面涂色的有10个，两面涂色的有16个，没有涂色的有2个。 2．用棱长是1cm的小正方体拼成如图的大正方体，把它们的表面涂上颜色，其中，三面涂色的小正方体有( )个。 【答案】8 【分析】用棱长1cm的小正方体拼成大正方体，由图可知每条棱长上都有5个小正方体，即n=5； 根据立体图形的知识可知：三面涂色的是各顶点处的小正方体，正好是8个。 【详解】根据分析可得：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，因为正方体有8个顶点，则三面涂色的小正方体有8个。 3．学校手工社团开展创意包装活动，计划用硬纸板制作衣服包装盒（展开图如图）。已知包装盒有两面是正方形，如图是一件衣服的包装盒展开图，制作这个包装盒至少需要多少纸板？ 【答案】6750平方厘米 【分析】由展开图可知，包装盒有两个面是正方形，所以长和宽相等，都为45厘米。所以高为60－45＝15厘米。长方体表面积公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），把数据代入计算即可。 【详解】包装盒有两个面是正方形，长和宽相等，都为45厘米。 60－45＝15（厘米） （45×45＋45×15＋45×15）×2 ＝（2025＋675＋675）×2 ＝（2700＋675）×2 ＝3375×2 ＝6750（平方厘米） 答：制作这个包装盒至少需要6750平方厘米纸板。 4．一块长方形铁板，长30厘米，宽25厘米，在它的4个角分别剪去一个边长为5厘米的小正方形（如图所示），然后做成一个无盖水箱。这个水箱的容积是多少毫升？（铁板厚度忽略不计） 【答案】1500毫升 【分析】先求出做成无盖水箱后的长、宽、高，再根据长方体容积公式V＝abh（a为长，b为宽，h为高）计算容积，据此解答。 【详解】计算水箱的长：原长方形铁板长30厘米，两个角各剪去一个边长5厘米的小正方形，所以水箱的长为： 30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 计算水箱的宽：原长方形铁板宽25厘米，所以水箱的宽为： 25－5×2 ＝25－10 ＝15（厘米） 计算水箱的高：剪去的小正方形边长就是水箱的高，即5厘米。 计算水箱容积： 20×15×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 因为1立方厘米＝1毫升，所以1500立方厘米＝1500毫升。 答：这个水箱的容积是1500毫升。 5．这是一个长方体的展开图，求这个长方体的体积。 【答案】360cm3 【分析】根据图可知，长方体的长＝（36－3×2）÷2cm，宽是8cm，高是3cm，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】（36－3×2）÷2 ＝（36－6）÷2 ＝30÷2 ＝15（cm） 15×8×3 ＝120×3 ＝360（cm2） 长方体体积是360cm3。 6．把下边的展开图折成一个长方体。（折叠后有汉字的面在外面） (1)如果“间”在下面，那么“( )”在上面。 (2)如果“工”在前面，从左面看是“艺”，那么“( )”在上面。 (3)据图中数据可知，这个长方体的表面积是( )cm2。 【答案】(1)工 (2)传 (3)54 【分析】（1）在通过长方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中隔两面寻找，剩下的两面自然相对。据此可知，“间”的对面是“工”。 （2）在通过长方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中隔两面寻找，剩下的两面自然相对。据此可知，“工”的对面是“间”，“艺”的对面是“统”，则“传”的对面是“民”。 （3）观察可知长方体的长是5cm，宽是3cm，高是1.5cm，根据，代入数据计算即可。 【详解】（1）如果“间”在下面，那么“工”在上面。 （2）如果“工”在前面，从左面看是“艺”，那么“传（或民）”在上面。 （3） （cm2） 据图中数据可知，这个长方体的表面积是54cm2。 7．学校举办了一届魔方大赛，魔方是一个棱长为6厘米的正方体，这个魔方的表面积是多少？如果把魔方切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成多少个？ 【答案】216平方厘米；27个 【分析】正方体的表面积公式S＝6a2，代入棱长计算表面积即可。用大正方体的体积除以小正方体的体积就能得到切成小正方体的个数，根据V＝a3计算解答。 【详解】62×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 63÷23 ＝6×6×6÷（2×2×2） ＝216÷8 ＝27（个） 答：这个魔方的表面积是216平方厘米。如果把魔方切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成27个。 8．李叔叔喜欢养观赏鱼，他请工人师傅做了一个如图无盖的鱼缸。 （1）做一个这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果这个鱼缸装满水，能盛水多少升？ 【答案】（1）180平方分米 （2）216升 【分析】（1）由图可知，该鱼缸是正方体，棱长是60厘米，且鱼缸无盖，所以只需要计算5个面的面积之和，即根据“棱长×棱长×5”即可计算出制作该鱼缸所需要的玻璃面积，最后将平方厘米换算为平方分米（1平方分米＝100平方厘米）。 （2）求盛水体积即求正方体鱼缸的体积，已知该正方体鱼缸的棱长是60厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该鱼缸的体积，最后将立方厘米换算为升（1升＝1立方分米＝1000立方厘米）。 【详解】（1）60×60×5 ＝3600×5 ＝18000（平方厘米） 18000平方厘米＝180平方分米 答：做一个这样的鱼缸至少需要玻璃180平方分米。 （2）60×60×60 ＝3600×60 ＝216000（立方厘米） 216000立方厘米＝216立方分米＝216升 答：能盛水216升。 9．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 【答案】170平方分米 【分析】分析题目，通过平移可知：这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。 【详解】5×5×6＋1×1×4＋2×2×4 ＝25×6＋1×4＋4×4 ＝150＋4＋16 ＝170（平方分米） 答：挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。 10．如图所示，在一个棱长为10厘米的正方体上截取一个长为8厘米、宽为3厘米、高为2厘米的小长方体，那么剩下的几何体的表面积是多少？ 【答案】600平方厘米 【分析】看图可知，在正方体顶点处截取一个小长方体，表面积减少了3个小长方形，里面又出现了同样的3个小长方形，因此表面积不变，还剩原来正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】10×10×6＝600（平方厘米） 答：剩下的几何体的表面积是600平方厘米。 11．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】150平方分米 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】60÷12＝5（分米） 5×5×6＝150（平方分米） 答：至少需要150平方分米的铁皮。 12．如图，在一个棱长为4厘米的正方体的六个面的中心位置各挖去一个底面半径是0.5厘米、深是1厘米的圆柱。这个图形的表面积是多少？ 【答案】114.84平方厘米 【分析】已知正方体的棱长是4厘米，挖去的圆柱的深是1厘米，1＜4，没有挖通，那么6个小圆柱的底面可以向外平移，补给正方体的表面，这样这个图形的表面积＝正方体的表面积＋6个小圆柱的侧面积； 根据正方体的表面积公式S＝6a2，圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，代入数据计算求解。 【详解】4×4×6＋2×3.14×0.5×1×6 ＝96＋18.84 ＝114.84（平方厘米） 答：这个图形的表面积是114.84平方厘米。 13．一个长方体的鱼缸，长10分米，宽8分米，高6分米，水深4.8分米。如果竖直放入一块棱长为5分米的正方体铁制实心造景台在鱼缸底部，缸里的水会溢出多少升？ 【答案】 29升 【分析】已知正方体铁制实心造景台的棱长为5分米，根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”，求出正方体铁制实心造景台的体积；已知长方体鱼缸中没水部分的高度是（6－4.8）分米，根据“长方体的体积＝长×宽×高”，求出长方体鱼缸中没水部分的体积；再用正方体铁制实心造景台的体积减去长方体鱼缸中没水部分的体积，即是会溢出水的体积，并根据“1立方分米＝1升”换算单位即可。 【详解】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 10×8×（6－4.8） ＝10×8×1.2 ＝80×1.2 ＝96（立方分米） 125－96＝29（立方分米） 29立方分米＝29升 答：缸里的水会溢出29升。 14．用几个体积为1立方厘米的小正方体搭了一个立体图形，下面是从不同方向看该立体图形时看到的图形。这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 【答案】5立方厘米 【分析】根据从上面看到的图形看作，这个立体图形的下层有4个小正方体，从前面和右面看到的图形可知，这个立体图形有2层，上层1个小正方体，由此可知，这个立体图形一共有1＋4＝5个小正方体。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出1个小正方体的体积，再乘正方体的个数，即可解答。 【详解】1＋4＝5（个） 1×1×1×5 ＝1×1×5 ＝1×5 ＝5（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是5立方厘米。 15．下图是用一些棱长为1cm的小正方体搭成的物体，它的体积是多少？若把它补成一个较大的正方体，则至少需补多少个棱长为1cm的小正方体？ 【答案】；14个 【分析】不规则立体图形的体积计算可以使用观察法来求体积。棱长是1厘米的小正方体的体积就是1立方厘米，可以分层从上往下来观察，第一层2个，第二层4个，第3层7个，数量之和即为该立方体的体积。 补全成较大的正方体时需要观察每行每列和层高，找到最大的个数，即为较大正方体的棱长。观察可知较大正方体的棱长为3厘米，用正方体的体积计算公式求出体积，再减去原来不规则图形的体积，即为需要添补的体积，也就是需要添补的小正方体的个数。 【详解】 答：它的体积是13，若把它补成一个较大的正方体，则至少需补14个棱长为1cm的小正方体。 16．要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 【答案】 表面积是45平方分米；体积是27立方分米 【分析】要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，因为正方体的棱长相等，因此需要把9分米平均分成3份，即正方体的棱长是9÷3＝3分米；因为该正方体盒子无盖，只有5个面，因此该正方体的表面积＝棱长×棱长×5；最后根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该正方体的体积。 【详解】9÷3＝3（分米） 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 答：这个正方体盒子的表面积是45平方分米。这个正方体盒子的体积是27立方分米。 17．一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】96立方厘米 【分析】一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体，说明长方体有两个面是正方形，新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加的部分就是正方体4个面的面积，据此求出正方体一个面的面积，进而得出正方体棱长，再根据正方体的体积公式V＝a3，求出正方体体积，然后用正方体的体积除以2，求出原来长方体的体积，再把正方体和长方体的体积相加，求出新长方体体积即可。 【详解】64÷4＝16（平方厘米） 16＝4×4 所以正方体棱长是4厘米。 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 64＋64÷2 ＝64＋32 ＝96（立方厘米） 答：新长方体的体积是96立方厘米。 18．赵师傅加工一个棱长为5厘米的正方体钢坯，如果每立方厘米的钢铁重7.8克，这个钢坯的重量是多少克？ 【答案】975克 【分析】已知正方体钢坯的棱长为5厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出钢坯的体积，再乘每立方厘米钢铁的重量，即是这个钢坯的重量。 【详解】5×5×5＝125（立方厘米） 7.8×125＝975（克） 答：这个钢坯的重量是975克。 19．在一个长50厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中（从里面量），放入一个棱长为10厘米的正方体铁块，完全浸没在水中，这时的水深为20厘米。若将铁块从缸中取出后，水的深度是多少？ 【答案】19.5厘米 【分析】一个棱长为10厘米的正方体铁块完全浸没在水中，用正方体铁块的体积除以长方体的底面积，计算出放入铁块后水面上升的高度，再用水深20厘米减去放入铁块后水面上升的高度，所得差即为取出铁块后，水的深度；利用正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】20－10×10×10÷（50×40） ＝20－100×10÷2000 ＝20－1000÷2000 ＝20－0.5 ＝19.5（厘米） 答：将铁块从缸中取出后，水的深度是19.5厘米。 20．为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）12.8厘米 （2）438.4平方厘米 【分析】（1）根据体积的意义可知，把正方体橡皮泥捏成长方体后体积不变，正方体的体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据长方体的体积＝长×宽 ×高可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此代入数据计算即可； （2）根据长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答即可。 【详解】（1）8×8×8÷（10×4） ＝64×8÷40 ＝512÷40 ＝12.8（厘米） 答：捏成的这个长方体底座的高是12.8厘米。 （2）（10×4＋10×12.8＋4×12.8）×2 ＝（40＋128＋51.2）×2 ＝219.2×2 ＝438.4（平方厘米） 答：需要涂色的面积是438.4平方厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第17讲 长方体与正方体的表面积和体积（含展开图、染色问题） 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.长方体与正方体的基本概念 顶点：长方体和正方体都有8个顶点； 棱：长方体有12条棱（分长、宽、高各4条），正方体有12条棱（所有棱长度相等）； 面：长方体有6个面（相对面面积相等），正方体有6个面（所有面面积相等）。 2.表面积公式 长方体表面积：（：长，：宽，：高）； 正方体表面积：（：棱长）； 无盖/无底表面积：如无盖长方体（鱼缸）表面积（少一个顶面）。 3.体积公式 长方体体积：； 正方体体积：； 统一公式：（适用于长方体和正方体）。 4.展开图相关概念 正方体展开图：共11种类型，分为“1-4-1型”（6种）、“2-3-1型”（3种）、“2-2-2型”（1种）、“3-3型”（1种）； 相对面判断：展开图中，相对面不相邻，且中间隔一个面（如“1-4-1型”中，上下两个“1”是相对面；“Z”字两端的面是相对面）。 5.染色问题公式（棱长为的正方体表面染色，切成棱长为1的小正方体） 3面染色：8个（顶点处，正方体有8个顶点）； 2面染色：个（棱上，每条棱除去2个顶点，共12条棱）； 1面染色：个（面上，每个面除去边缘，共6个面）； 0面染色：个（内部，除去所有表面的小正方体）。 二、核心题型与技巧 题型1：表面积基础计算 技巧： 无盖/无底时，少算一个顶面（或底面）； 拼接时，表面积减少“2×拼接面面积”（两个面重合）； 切割时，表面积增加“2×切面面积”（每切一次增加两个面）。 公式： 拼接后表面积：； 切割后表面积：。 题型2：体积计算 技巧：直接套用体积公式，注意单位统一（1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米）。 题型3：展开图还原与相对面判断 技巧： 排除“田”字形、“凹”字形等无法折成正方体的展开图； 相对面判断：同行/同列隔一个面，或“Z”字两端的面是相对面。 题型4：染色问题中不同染色面数小正方体个数计算 技巧：根据小正方体位置（顶点、棱、面、内部）对应公式计算，为大正方体棱长（小正方体棱长为1）。 三、常见错误提醒 1.表面积漏算/多算面：如无盖长方体误算6个面，或拼接时忘记减去重合面面积（例：两个正方体拼接，表面积减少2个面）。 2.体积与表面积混淆：单位混淆（表面积用“平方”，体积用“立方”），或公式混淆（如用体积公式计算表面积）。 3.展开图相对面判断错误：将相邻面误认为相对面（例：“1-4-1型”中，中间4个面里相邻的两个面是相邻面，非相对面）。 4.染色问题公式记错：如2面染色误记为个（正确应为，忽略正方体有12条棱）。 例题讲解 题型1：表面积基础计算 例题1：计算下面各立体图形的表面积。 跟踪练习1：计算下面各立体图形的表面积。 题型2：体积计算 例题2：计算下面图形的表面积和体积。 跟踪练习2：分别求出下列立体图形的表面积和体积。 题型3：展开图还原与相对面判断 例题3：下面是一个正方体的展示图，与3号相对的是( )号。 跟踪练习3：如图是一个长方体纸盒的表面展开图（单位：厘米），这个纸盒的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 题型4：染色问题中不同染色面数小正方体个数计算 例题4：下图是3×4×5正方体，如果将其表面涂成黄色，那么其中一面、两面、三面被涂成黄色以及未被涂色的小正方体各有多少块？ 跟踪练习4：将一个边长为3cm正方体，如果将其表面涂成红色，然后切割成边长为1厘米的小正方体，那么未被涂成红色的小正方体各有多少块？ 提升练习 1．如图，将一个长4cm、宽3cm、高3cm的长方体6个面涂上红色，然后把这个长方体切割成棱长为1cm的小正方体，可以分成( )个小正方体，其中，一面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，没有涂色的有( )个。 2．用棱长是1cm的小正方体拼成如图的大正方体，把它们的表面涂上颜色，其中，三面涂色的小正方体有( )个。 3．学校手工社团开展创意包装活动，计划用硬纸板制作衣服包装盒（展开图如图）。已知包装盒有两面是正方形，如图是一件衣服的包装盒展开图，制作这个包装盒至少需要多少纸板？ 4．一块长方形铁板，长30厘米，宽25厘米，在它的4个角分别剪去一个边长为5厘米的小正方形（如图所示），然后做成一个无盖水箱。这个水箱的容积是多少毫升？（铁板厚度忽略不计） 5．这是一个长方体的展开图，求这个长方体的体积。 6．把下边的展开图折成一个长方体。（折叠后有汉字的面在外面） (1)如果“间”在下面，那么“( )”在上面。 (2)如果“工”在前面，从左面看是“艺”，那么“( )”在上面。 (3)据图中数据可知，这个长方体的表面积是( )cm2。 7．学校举办了一届魔方大赛，魔方是一个棱长为6厘米的正方体，这个魔方的表面积是多少？如果把魔方切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成多少个？ 8．李叔叔喜欢养观赏鱼，他请工人师傅做了一个如图无盖的鱼缸。 （1）做一个这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果这个鱼缸装满水，能盛水多少升？ 9．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？ 10．如图所示，在一个棱长为10厘米的正方体上截取一个长为8厘米、宽为3厘米、高为2厘米的小长方体，那么剩下的几何体的表面积是多少？ 11．用一根60分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，若要在这个框架的表面焊上一层铁皮，至少需要多少平方分米的铁皮？ 12．如图，在一个棱长为4厘米的正方体的六个面的中心位置各挖去一个底面半径是0.5厘米、深是1厘米的圆柱。这个图形的表面积是多少？ 13．一个长方体的鱼缸，长10分米，宽8分米，高6分米，水深4.8分米。如果竖直放入一块棱长为5分米的正方体铁制实心造景台在鱼缸底部，缸里的水会溢出多少升？ 14．用几个体积为1立方厘米的小正方体搭了一个立体图形，下面是从不同方向看该立体图形时看到的图形。这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 15．下图是用一些棱长为1cm的小正方体搭成的物体，它的体积是多少？若把它补成一个较大的正方体，则至少需补多少个棱长为1cm的小正方体？ 16．要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 17．一个正方体的体积是长方体体积的2倍，如果把它们拼摆在一起，正好能拼成一个新的长方体。新长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了64平方厘米。新长方体的体积是多少立方厘米？ 18．赵师傅加工一个棱长为5厘米的正方体钢坯，如果每立方厘米的钢铁重7.8克，这个钢坯的重量是多少克？ 19．在一个长50厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中（从里面量），放入一个棱长为10厘米的正方体铁块，完全浸没在水中，这时的水深为20厘米。若将铁块从缸中取出后，水的深度是多少？ 20．为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $