精品解析：江苏省徐州市丰县2025-2026学年上学期九年级第一次阶段检 (I0月月考)数学试题

2025~2026学年度第一学期第一次质量调研 九年级数学试卷 一、单选题（每题2分，共16分） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，4 C. 1，， D. 1，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式下， 是二次项系数，是一次项系数，是常数项，将一元二次方程化为一般形式是解题的关键； 先将一元二次方程化为一般形式，再进行求解． 【详解】方程化为一般形式得，， 其二次项系数，一次项系数，常数项分别是1，，． 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，首先将方程常数项移到右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，即可求解． 【详解】解：，即， 方程两边同时加4，可得，即． 故选：D． 3. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可． 【详解】解：A、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； B、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； C、这里，，， △， 方程没有实数根，本选项不合题意； D、这里，，， △， 方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，，计算求解，然后判断即可． 【详解】解；由题意知，， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当一元二次方程有两个不同的实数根，则． 5. 已知关于的方程的一个根是 ，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解方程的根，代入计算是解题的关键． 根据题意，把代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是 ， ∴， 解得，， 故选：C ． 6. 二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据，可得函数图象开口向下，结合函数对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而增大，据此求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 函数图象开口向下， 又函数对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故若y随x的增大而增大，则x的取值范围是． 故选：A． 7. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴是y随x的增大而增大， 是y随x的增大而减小， 又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键． 8. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是　　 A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象可知抛物线的对称轴为，从而可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，，找出抛物线位于x轴上方部分x的取值范围即可． 【详解】 解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为，抛物线与x轴一个交点的坐标为， 由抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点坐标为． ， ． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x轴两个交点的坐标是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，分别求解这两个方程即可得到原方程的解． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，. 10. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，的顶点坐标为，根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 11. 一元二次方程的两根为，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由根与系数的关系求出所求即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 12. 若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即无解． 由二次函数的图象与x轴没有交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点， ∴， 解得． 故答案为： ． 13. 小区新增了一家快递店，第一天揽件242件，第三天揽件200件，设该快递店揽件日平均降低率为x，则根据题意可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； 设该快递店揽件日平均降低率为x，根据题意列方程即可． 【详解】解：设该快递店揽件日平均降低率为x，根据题意可得 ． 故答案为：． 14. 已知、是方程的两个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据、是方程的两个根，可得，，把所求式子变形后代入即可求解． 【详解】解：、是方程的两个根， ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 一抛物线和另一抛物线 的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是，则该抛物线的解析式为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数中各项系数的特点是关键． 根据题意得到该抛物线解析式中二次项系数为，结合顶点式即可求解． 【详解】解：∵一抛物线和另一抛物线 的形状和开口方向完全相同， ∴该抛物线解析式中二次项系数为， 又∵顶点坐标为， ∴该抛物线解析式为， 故答案为： ． 16. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的新的抛物线的函数表达式是 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”作答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的新的抛物线的函数表达式是， 故答案为： ． 17. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 17 7 1 ﹣1 1 … 则当x＝4时，y＝_____． 【答案】17 【解析】 【分析】根据表格中的点待定系数法求出二次函数的解析式，再将x＝4代入所求的解析式中即可求出y的值. 【详解】解：将（0，1）、（1，﹣1）、（2，1）代入中 可得方程组， 解得，，， ∴二次函数解析式为， 将代入函数解析式中， 得， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及解析式的求法． 18. 如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点．下列说法:①；②；③；④若是抛物线上两点,则．其中说法正确的是___________ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向可判断a的正负，根据抛物线与y轴的交点可判断c的正负，根据抛物线的对称轴并结合a可判断b的正负，进而可判断①；根据抛物线的对称轴公式可判断②；先根据抛物线的对称轴判断当x=2时y的正负，进一步即可判断③；根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点是，再根据抛物线的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，∴， ∴， ∴，故①正确； 由①知：，∴，故②正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， ∴当x=2时y＞0，把代入，得，故③错误； ∵二次函数图象的对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点是， 由题意知当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故④正确． 综上，说法正确的是：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法，因式分解法是解题的关键． （1）提取公因式，运用因式分解即可求解； （2）运用公式法求解即可； （3）移项，提取公因式，因式分解即可求解； （4）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：， 化为一般式得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 20. 已知关于x的方程． 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； ， 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）直接把x=1代入方程求解a，然后再求出另一个根即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：将代入方程得， ，解得，； 方程为 设另一根为，则，． 略 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 21. 如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长． 【答案】剪去的正方形的边长为1 【解析】 【分析】根据题意设出未知数，根据矩形铁皮的长与宽，以及底面面积列出三组等式解方程组即可． 【详解】设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为﹣x＝（3﹣x）cm， 依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6， 整理得：2x2﹣11x+9＝0， 解得：x1＝1，x2＝， 当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意； 当x＝时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去． 答：剪去的正方形的边长为1． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，三元方程组解法，关键在于设多个未知数，利用代数表示列出方程． 22. 如图，在矩形中，，．点P沿着边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿着边从点D开始向点A开始以的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间．那么当t为何值时，的面积等于？ 【答案】当或时，的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，用含t的表达式表示的面积是解题的关键； 根据题意，用含t的表达式表示的面积，再由的面积等于列方程求解即可． 【详解】解：由题知，，，， ，． 当的面积等于时，， 解方程得，． 当或时，的面积等于． 23. 直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元．通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件．商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？ 【答案】5元或15元 【解析】 【分析】设小商品的单价应降低x元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为 件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，从而可得答案. 【详解】解：设小商品的单价应降低x元， 依题意，得， 整理得：， 解得， 答：小商品的单价应降低5元或15元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程. 24. 先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解一元二次不等式：． 解：①设，解得：，． 所以，抛物线与轴的交点坐标为和． ②画出二次函数的大致图象（如图一所示）． ③由图象知： 当或时，函数图象位于轴上方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：，或． 通过对上述的学习，用类似的方法解一元二次不等式：． 解：①设，解之，得：______， 所以，抛物线与轴的交点坐标为______． ②请在图二中画出二次函数的大致图象． ③由图象知： 当______时，函数图象位于轴下方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：______． 【答案】①，；和； ②画出二次函数的大致图象（如图所示）， ③， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系、二次函数的图象、抛物线与轴的交点坐标、熟练掌握二次函数与不等式的关系是解决问题的关键． ①设，解方程，得出抛物线与轴的交点坐标； ②画出二次函数的大致图象； ③由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即，即可得出结果． 【详解】解：①设，解之，得：，， 所以，抛物线与轴的交点坐标为和， 故答案为：，；和； ②略 ③由图象知： 当时，函数图象位于轴下方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：． 故答案为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第一次质量调研 九年级数学试卷 一、单选题（每题2分，共16分） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，4 C. 1，， D. 1，， 2. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于的一元二次方程有实数根的是 A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则k的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知关于的方程的一个根是 ，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是　　 A. 或 B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 方程的解是______． 10. 二次函数的顶点坐标为______． 11. 一元二次方程的两根为，则_____． 12. 若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 13. 小区新增了一家快递店，第一天揽件242件，第三天揽件200件，设该快递店揽件日平均降低率为x，则根据题意可列方程为_____________． 14. 已知、是方程的两个根，则的值是__________． 15. 一抛物线和另一抛物线 的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是，则该抛物线的解析式为_________________． 16. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的新的抛物线的函数表达式是 ________________． 17. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 17 7 1 ﹣1 1 … 则当x＝4时，y＝_____． 18. 如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点．下列说法:①；②；③；④若是抛物线上两点,则．其中说法正确的是___________ 三、解答题：本题共6小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于x的方程． 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长． 22. 如图，在矩形中，，．点P沿着边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿着边从点D开始向点A开始以的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间．那么当t为何值时，的面积等于？ 23. 直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元．通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件．商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？ 24. 先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解一元二次不等式：． 解：①设，解得：，． 所以，抛物线与轴的交点坐标为和． ②画出二次函数的大致图象（如图一所示）． ③由图象知： 当或时，函数图象位于轴上方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：，或． 通过对上述的学习，用类似的方法解一元二次不等式：． 解：①设，解之，得：______， 所以，抛物线与轴的交点坐标为______． ②请在图二中画出二次函数的大致图象． ③由图象知： 当______时，函数图象位于轴下方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $