精品解析：云南省曲靖市会泽县第二中学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级数学第一次月考试卷 （满分：100分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个相等的实数根， 故选A． 3. 将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 将常数项移到等号右侧后配方即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根列方程求解即可. 【详解】由题意得∆=0， ∴4-4k=0， 解得k=1， 故选：A. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况求未知数的值，正确掌握一元二次方程的根的三种情况：方程有两个不相等的实数根时∆>0，方程有两个相等的实数根时∆=0，方程没有实数根时∆<0. 5. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数形式为， 逐一判断即可解答． 【详解】解：A．是一次函数，不符合题意； B．是二次函数，符合题意； C．，此函数的次数是，不是二次函数，不符合题意． D．，最高次为4，不是二次函数，不符合题意． 故选B． 6. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的解析式为：， 其顶点坐标为：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 7. 二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像和坐标轴交点． 将代入解析式解方程即可． 【详解】解：令，得， 解得或， 所以交点坐标为和． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数图象与系数的关系．关键是掌握二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即)，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即)，对称轴在y轴右侧（左同右异）；当时，对称轴为y轴；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，据此即可求解． 【详解】解：因为抛物线开口向上， 所以； 因为对称轴在y轴右侧， 所以，即； 因为抛物线与y轴交于负半轴， 所以． 故选：D． 9. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，由连续两次降价，得每次降价后价格变为原价的倍，因此两次降价后价格为原价乘以，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元， ∴， 故选：B． 10. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程x2=4x的解 __． 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解． 【详解】解：原方程变为 x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0 解得x1=0，x2=4， 故答案为：x=0或x=4． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键. 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值，属于基础题型，关键在于理解方程的根的概念．直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得，． 故答案为：． 13. 抛物线的对称轴是________． 【答案】直线 【解析】 【分析】此题考查抛物线对称轴的计算公式，掌握公式是解题的关键. 利用对称轴的计算公式解答. 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线. 14. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，熟练掌握图象平移的规律是解决本题的关键． 二次函数图象平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，根据此规则解题即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位， 根据“左加右减”原则，自变量需要减去平移的单位， ∴得到， 再向下平移3个单位， 根据“上加下减”原则，在函数表达式整体上减去平移的单位， 所以得到． 故答案为：． 15. 已知二次函数，当___________时，随的增大而减小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据，得函数图象开口向上，当时，随的增大而减小，即可解答． 【详解】解：∵，对称轴为， ∴函数图象开口向上， 当时，随的增大而减小， 故答案为：. 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 【答案】或或或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用求根公式解一元二次方程即可得到答案； （3）先利用提公式因法分解因式，再解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配常数得：， 整理得：， 开平方得：， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 19. 已知二次函数． （1）把二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； （3）当0≤x≤3时，y的取值范围是______． 【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1 （2） 如图： （3）﹣1≤y≤3 【解析】 【分析】（1）用配方法即可求解； （2）先求出该函数图像上点的坐标，再用描点法画出图象即可； （3）根据函数图象，找出函数图象在x轴下方的时候x是取值范围即可． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴函数的顶点坐标为（2，-1）， 当x=1时，y=0， 当x=0时，y=3， 当x=3时，y=0， 当x=4时，y=3， ∴该函数经过（1，0），（0，3），（2，-1），（3，0），（4，3）； 【小问3详解】 由（2）中函数图象可知，当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3， ∴当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是0≤x≤3． 故答案为：0≤x≤3． 【点睛】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键． 20. 某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】（1） （2）每件商品的售价定为元最合适，最大销售利润为元 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系“每天的销售利润=（销售价−进价）×每天的销售量”列出函数关系式，同时还需熟练掌握二次函数求最值的方法． （1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价−进价）×每天的销售量”列出函数关系式； （2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值． 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 当时，y最大 答：每件商品的售价定为元最合适，最大销售利润为元． 21. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点． （1）求一次函数和二次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． （1）用待定系数法，先将代入，求出a的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出k，b的值． （2）利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 所以二次函数为， 将代入，得， 所以 将和代入得： ，解得， 所以一次函数为； 【小问2详解】 解：直线与x轴交点为D， 令，得， 解得， 所以， 所以． 22. 已知，如图，在中，，，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】（1）2秒 （2）不存在这样的时刻 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）设x秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可； （2）设y秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设x秒后，的面积等于， 由题意得，， ∴， 解得或（不合题意，因为4秒时Q已超出）； 答：点，分别从点A，同时出发，2秒后，的面积等于． 【小问2详解】 解：设x秒后，的长度等于， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，方程无实数解， 答：不存在这样的时刻．使的长度等于． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）点D为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），，，， 【解析】 【分析】题考查了求二次函数解析式，二次函数的最值，等腰三角形的判定和性质． （1）将坐标带入解析式求解方程即可； （2）求出面积表达式配方求最值即可； （3）分类讨论，，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将和代入得： ， 解得， 所以抛物线为． 【小问2详解】 由题可得：， 设，将，代入得： ， 解得， ， 过点D作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，面积最大为． 【小问3详解】 对称轴为，设，， ， ， ： ， 解得； ： ， 解得或； ： ， 解得； 所以P点坐标为，，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学第一次月考试卷 （满分：100分考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 7. 二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程x2=4x的解 __． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则___________． 13. 抛物线的对称轴是________． 14. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为___________． 15. 已知二次函数，当___________时，随的增大而减小． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 19. 已知二次函数． （1）把二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； （3）当0≤x≤3时，y的取值范围是______． 20. 某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 21. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点． （1）求一次函数和二次函数的解析式； （2）求的面积． 22. 已知，如图，在中，，，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． （1）如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）点D为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $