精品解析：2026年广东省肇庆市高要区二模数学试题

2026年初中学业水平检测（二） 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. （ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 3. 几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度 其中液化温度最低的气体是（ ） A. 氦气 B. 氮气 C. 氢气 D. 氧气 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可． 【详解】解：， 液化温度最低的气体是氦气． 故选：A． 4. 维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼类、蛋黄、动物肝脏等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．若一名成人每天摄入的维生素D量约为，则将数据0.000016用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 5. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质和邻补角，进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 7. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数图像与x轴有2个交点 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 8. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 8.7 9 8.6 0.5 如果每个评委打分都高0.2分，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】掌握各统计量在所有数据同时增加同一个常数时的变化规律，明确方差反映数据波动程度的特性即可解题． 【详解】解：∵每个评委打分都增加，即这组所有数据同时增加， ∴这组数据的平均数、众数、中位数均会增加； 又∵方差是衡量数据波动幅度的统计量，所有数据加同一个相同的数，数据间的差不变，波动幅度不变 ， ∴方差不会发生变化． 故选D． 9. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．根据圆内接四边形的性质：对角互补，求出，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. “漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度与流水时间的关系如图③所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲容器的初始水面高度为 B. 甲容器的水面高度为 C. 甲容器的水面高度为 D. 甲容器的水流光 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出一次函数的解析式，根据解析式分别求出、、、时，对应的的值，根据计算结果逐项判断即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 把点和的坐标代入函数关系式， 可得：， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 时甲容器的水面高度为， 当时，可得：， 甲容器的初始水面高度为， 故A选项正确； 故B选项错误； 当时，， 时甲容器的水面高度为， 故C选项正确； 当时，， 时甲容器的水流光， 故D选项正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 12. 计算： __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异分母分式加减法法则计算，得到答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 13. 如图，在矩形中，O为中点，，，则扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的度数，再利用扇形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵O为中点，，， ∴， ∴， ∴， 同法， ∴， ∴扇形的面积为. 14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设两直角边分别为x，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 【详解】解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为x，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 15. 如图，在中，C是的中点，反比例函数在第一象限的图象经过A，C两点，若面积为12，则k的值为 ___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义及三角形的中位线定理，关键是正确作出辅助线，掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．分别过点、点作的垂线，垂足分别为点、点，根据是的中点得到为的中位线，然后设，，，根据，得到，最后根据面积求得，从而求得． 【详解】解：分别过点、点作的垂线，垂足分别为点、点，取的中点E，连接，如图所示， ∵， ∴， 点为的中点，点E为的中点 为的中位线， ∴， ∴由平行线的唯一性可得在同一直线上，即点N和点E重合， 设，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】运用算术平方根，负整数指数幂及特殊角的三角函数值求解即可， 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记法则及定义． 17. 如图，在中 ，，． （1）以延长线上一点O为圆心作圆，使该圆经过点A，C（要求：尺规作 图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）直线与相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）经过A，C两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，因此作出线段的垂直平分线与的延长线的交点O，即得到所求圆的圆心、以点O为圆心，以长为半径作圆即可； （2）连接，由垂直平分线的性质得，再由，，得，，所以，即可证明直线与相切． 【小问1详解】 解：如图所示，作的垂直平分线交的延长线于点O，以O为圆心、长为半径作圆，即为所求； 【小问2详解】 解：直线与相切，理由如下： 连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线与相切． 18. 某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． （1）求A，B玩具的单价； （2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于15000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 【答案】（1）A、B玩具的单价分别为50元、75元 （2）75个 【解析】 【分析】（1）设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元，根据题意，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据题意，列出不等式进行求解即可. 【小问1详解】 解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元； 由题意得：； 解得：， 则B玩具单价为（元）； 答：A、B玩具的单价分别为50元、75元； 【小问2详解】 解：设A玩具购置y个，则B玩具购置个， 由题意可得：， 解得：， 最多购置75个A玩具． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． （1）求证：； （2）从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）选①，四边形是矩形；选②，四边形是菱形；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，进而得到 ，结合，证明，即可证明结论； （2）由（1）易证四边形是平行四边形，选①，根据等腰三角形三线合一可得，即 ，可得四边形是矩形；选②，利用直角三角形的性质，可得，可得四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：在中， ， ∴ ， ∵点E，F分别为的中点， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵即， ∴四边形是平行四边形； ①当时，如图，则是等腰三角形， ∵点E为的中点， ∴，即 ， ∴四边形是矩形； ②当时，如图，则是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务： （1）搬运重物、以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）： 甲型机器人：38，39，41，43，39 乙型机器人：50，48，32，33，34 请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人． （2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好） 功能性 交互性 安全性 采购价格 甲型机器人 10 8 9 8 乙型机器人 8 8 8 10 如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格） 【答案】（1）乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好），详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了极差和算术平均数，掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别求出甲型机器人和乙型机器人的方差和平均数比较即可； （2）分出功能性、交互性、安全性及采购价格的比重，分别求出方差即可． 【小问1详解】 解：①， ， 甲型机器人完成搬运任务时间的极差为， 乙型机器人完成搬运任务时间的极差为， 乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好）； 【小问2详解】 解：我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4， 则， ， ， 按照以上标准采购乙型机器人较合适（答案不唯一） 21. 淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求． 淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足． 人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 （1）当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． （2）父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】（1）； （2） 解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∴水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处． 【解析】 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【小问1详解】 解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，23题14分，共27分） 22. 定义：如题图1，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． （1）已知点，是线段的勾股分割点，若，，求的长． （2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，、分别交于点，．求证：，是线段的勾股分割点． 【答案】（1）3或5 （2）∵四边形是菱形， ，，， 设， ，， ， ∴ ，即， ，则， ， ∴ ，即 ，则， ， ， ， ， ， 、N是线段的勾股分割点 【解析】 【分析】（1）设，则，分类讨论：①当是斜边时，②当是斜边时，③当是斜边时，根据勾股定理进行计算即可求解． （2）菱形的性质，设，根据，，得出，进而根据相似三角形的性质得，，进而根据勾股定理的逆定理进行验证，即可求解． 【小问1详解】 解，， ， 设，则， ①当是斜边时，， ，整理得， ， 原方程无解，即不是斜边； ②当是斜边时，， ， 解得，， ； ③当是斜边时，， ， 解得，， ； 的长为3或5； 【小问2详解】 略 23. 已知：正方形的边长为，点为边上的动点（不与点重合），记，的外接圆与对角线交于点，连接、． （1）如图，证明是等腰直角三角形． （2）与交于点，将沿翻折得到． ①如图，连接．当时，求的值． ②如图，设．求与之间的函数关系式． 【答案】（1）证明：在正方形中，平分， ， 在对应的圆周角中，， 在对应的圆周角中，， ， ， 为等腰直角三角形； （2）①；② 【解析】 【分析】利用正方形的性质可得，利用圆周角定理可得，即得到，即可求证； ①由折叠的性质得，即得，利用圆周角定理得，得到，再根据可得，即得到，进而根据正切的定义即可求解；②由三角形的面积公式可得，由可得，再根据得，进而得到，即得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由折叠可得，， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ②， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平检测（二） 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. （ ） A. 6 B. C. D. 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度 其中液化温度最低的气体是（ ） A. 氦气 B. 氮气 C. 氢气 D. 氧气 4. 维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼类、蛋黄、动物肝脏等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．若一名成人每天摄入的维生素D量约为，则将数据0.000016用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数图像与x轴有2个交点 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 8.7 9 8.6 0.5 如果每个评委打分都高0.2分，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 9. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. “漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度与流水时间的关系如图③所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲容器的初始水面高度为 B. 甲容器的水面高度为 C. 甲容器的水面高度为 D. 甲容器的水流光 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 12. 计算： __________． 13. 如图，在矩形中，O为中点，，，则扇形的面积为__________． 14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________． 15. 如图，在中，C是的中点，反比例函数在第一象限的图象经过A，C两点，若面积为12，则k的值为 ___________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，在中 ，，． （1）以延长线上一点O为圆心作圆，使该圆经过点A，C（要求：尺规作 图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 18. 某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． （1）求A，B玩具的单价； （2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于15000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． （1）求证：； （2）从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 20. 在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点．某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务： （1）搬运重物、以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）： 甲型机器人：38，39，41，43，39 乙型机器人：50，48，32，33，34 请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人． （2）家政服务．以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好） 功能性 交互性 安全性 采购价格 甲型机器人 10 8 9 8 乙型机器人 8 8 8 10 如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由．（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格） 21. 淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求． 淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足． 人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 （1）当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． （2）父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，23题14分，共27分） 22. 定义：如题图1，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． （1）已知点，是线段的勾股分割点，若，，求的长． （2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，、分别交于点，．求证：，是线段的勾股分割点． 23. 已知：正方形的边长为，点为边上的动点（不与点重合），记，的外接圆与对角线交于点，连接、． （1）如图，证明是等腰直角三角形． （2）与交于点，将沿翻折得到． ①如图，连接．当时，求的值． ②如图，设．求与之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $