第四章 第5节三角函数的图象与性质专题练习-2026届高三数学一轮复习

第5节　三角函数的图象与性质 基础练 1.已知α,β为锐角三角形的两个内角,则下列结论正确的是(　　) A.sin α<sin β B.cos α<sin β C.cos α<cos β D.cos α>cos β 【答案】 B 【解析】 因为α,β是锐角三角形的两个内角,所以α+β>,所以0<-β<α<, 所以cos α<cos(-β)=sin β.故选B. 2.函数f(x)=的定义域为(　　) A.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z B.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z C.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z D.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z 【答案】 A 【解析】 对于函数f(x)=,令2sin x+1≥0,即sin x≥-,解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,所以函数的定义域为[-+2kπ,+2kπ],k∈Z.故选A. 3.下列四个函数中,以π为周期,且在区间(π,)上单调递减的是(　　) A.y=|sin x| B.y=cos C.y=-tan x D.y=sin |2x| 【答案】 C 【解析】 因为y=|sin x|的最小正周期为π,当x∈(π,)时,y=|sin x|=-sin x,所以它在(π,)上单调递增,故A错误;y=cos 的最小正周期为4π,故B错误;y=-tan x的最小正周期为π,在区间(π,)上单调递减,故C正确;y=sin |2x|不是周期函数,故D错误.故选C. 4.已知奇函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,那么f(x)的解析式可以为(　　) A.y=sin(3πx) B.y=cos(x+) C.y=sin(x+) D.y=tan(πx) 【答案】 A 【解析】 对于A,函数y=f(x)=sin(3πx)的定义域为R,因为f(-x)=-sin(3πx)=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为f()=-1,所以直线x=是y=sin(3πx)的图象的一条对称轴,故A符合题意;对于B,函数y=f(x)=cos(x+)的定义域为R,因为f()=0,f(-)=1,所以函数y=cos(x+)不是奇函数,故B不符合题意;对于C,函数y=f(x)=sin(x+)的定义域为R,因为f(2)=sin(π+)=-, f(-2)=sin(-π+)=-,所以函数y=sin(x+)不是奇函数,故C不符合题意;对于D,函数y=tan(πx)的图象不是轴对称图形,没有对称轴,故D不符合题意.故选A. 5.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 【答案】 BC 【解析】 A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)的零点,令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)的零点,显然f(x),g(x)的零点不同,A选项错误;B选项,显然f(x)max= g(x)max=1,B选项正确;C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的周期均为=π,C选项正确;D选项,根据正弦函数的性质,f(x)图象的对称轴方程满足2x=kπ+⇔x=+,k∈Z,g(x)图象的对称轴方程满足2x-=kπ+⇔x=+,k∈Z,显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.故选BC. 6.(多选题)(2025·广东惠州模拟)已知函数f(x)=cos2x,则(　　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的图象关于点(-,)对称 C.f(x)的最小值为0 D.f(x)的图象关于直线x=对称 【答案】 BC 【解析】 f(x)=cos2x==cos 2x+,故f(x)的最小正周期为=π,故A错误;当x=-时, 2x=-,此时f(-)=,故f(x)的图象关于点(-,)对称,故B正确;因为f(x)=cos 2x+,所以f(x)的最小值为-=0,故C正确;当x=时,f()=·cos +=,不是f(x)的最值,所以直线x=不是f(x)图象的对称轴,故D错误.故选BC. 7.函数y=的定义域为 　　　　　　　　.  【答案】 {x|x≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z} 【解析】 要使函数有意义,则 即 故函数的定义域为{x|x≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z}. 8.若函数y=tan 3x在区间(m,)上单调递增,则实数m的取值范围为　　　　.  【答案】 [-,) 【解析】 令kπ-<3x<kπ+,k∈Z,解得-<x<+,k∈Z, 令k=0,则其一个单调递增区间为(-,),则实数m的取值范围为[-,). 9.已知函数f(x)=2sin x+cos x在x=x0处取得最大值,则cos x0=　　　　.  【答案】 【解析】 f(x)=2sin x+cos x=sin(x+φ),其中cos φ=,sin φ=, 又当x=x0时,f(x) 取得最大值,所以x0+φ=+2kπ,k∈Z,即x0=+2kπ-φ,k∈Z, 所以cos x0=cos(+2kπ-φ)=cos(-φ)=sin φ=. 10.已知函数f(x)=2cos(2x+)+1. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)求f(x)在[0,]上的值域. 【解】 (1)f(x)=2cos(2x+)+1,令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,-+kπ],k∈Z. (2)f(x)=2cos(2x+)+1,因为x∈[0,],所以2x+∈[,], 可得cos(2x+)∈[-1,],则2cos(2x+)+1∈[-1,2], 即函数f(x)在[0,]上的值域为[-1,2]. 强化练 11.(多选题)已知函数f(x)=2cos(ωx+)(0<ω<6,ω∈N*),满足∀x∈R,f(x)-f()≤0恒成立.则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)在区间(,)上单调递减 C.函数f(x)图象的一个对称中心为(-,0) D.函数f(x-)是奇函数 【答案】 BCD 【解析】 因为∀x∈R,f(x)-f()≤0恒成立,所以f(x)的最大值为f(),所以ω+=2kπ,k∈Z,即ω=6k-1,k∈Z,因为0<ω<6,ω∈N*,所以ω=5,所以f(x)=2cos(5x+). 对于A,函数f(x)的最小正周期T=,故A错误; 对于B,当x∈(,)时,5x+∈(2π,),因为y=cos x在(2π,)上单调递减,所以函数f(x)在区间(,)上单调递减,故B正确; 对于C,因为f(-)=2cos(-+)=2cos(-)=0,所以函数f(x)图象的一个对称中心为(-,0),故C 正确; 对于D,f(x-)=2cos[5(x-)+]=2cos(5x-)=2sin 5x,为奇函数,故D正确. 故选BCD. 12.已知函数y=sin(2x-φ)(0<φ<)在[0,]上单调递增,且该函数在(0,)上有最小值,则φ的取值范围是　　　　　.  【答案】 [,) 【解析】 当x∈[0,]时,2x-φ∈[-φ,-φ], 因为y=sin(2x-φ)(0<φ<)在[0,]上单调递增, 所以-+2kπ≤-φ,且-φ≤+2kπ(k∈Z), 即-2kπ≤φ≤-2kπ,k∈Z, 又0<φ<,取k=0,得到≤φ<. 当x∈(0,)时,2x-φ∈(-φ,-φ), 又0<φ<,所以-<-φ<0, 又该函数在(0,)上有最小值, 所以-φ>,得到0<φ<. 综上所述,≤φ<. 13.已知函数f(x)=sin 2x-2cos2(x+). (1)求函数f(x)图象的对称轴方程; (2)若方程f(x)=-1在区间[0,m]上恰有两个解,求m的取值范围. 【解】 (1)f(x)=sin 2x-2cos2(x+) =sin 2x-[2cos2(x+)-1]-1 =sin 2x-cos(2x+)-1 =sin 2x-cos 2xcos+sin 2xsin-1 =sin 2x-cos 2x-1 =(sin 2x-cos 2x)-1 =sin(2x-)-1, 由2x-=kπ+(k∈Z),可得x=+(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z). (2)由f(x)=sin(2x-)-1=-1,可得sin(2x-)=0, 当x∈[0,m]时,-≤2x-≤2m-, 方程f(x)=-1在区间[0,m]上恰有两个解, 则π≤2m-<2π,解得≤m<, 因此,m的取值范围为[,). 拓展练 14.(多选题)已知(-,0)为函数f(x)=asin 2x+cos 2x图象的一个对称中心,则(　　) A.a= B.函数y=f(x-)为奇函数 C.曲线y=f(x)关于直线x=对称 D.函数y=f(x)在(-,)上单调递增 【答案】 BCD 【解析】 因为(-,0)为函数f(x)=asin 2x+cos 2x图象的一个对称中心, 所以f(-)=asin[2(-)]+cos[2(-)]=0,即-a+=0,解得a=,故A错误; f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+), y=f(x-)=sin (2x-+)=sin 2x,显然为奇函数,故B正确; f()=sin(2×+)=sin=sin=-,是最小值,所以曲线y=f(x)关于直线x=对称, 故C正确; 当x∈(-,)时,2x+∈(-,),所以函数y=f(x)在(-,)上单调递增,故D正确.故选BCD. 15.设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0).从下列三个条件中选择两个作为已知,使函数f(x) 存在. 条件①:函数f(x)的图象经过点(-,2); 条件②:f(x)在区间[-,]上单调递增; 条件③:直线x=是f(x)图象的一条对称轴. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)若对于任意的x∈[,π],都有f(x)≤c,求实数c的取值范围. 【解】 (1)因为f(x)=sin ωx+cos ωx=2(sin ωx+cos ωx)=2sin(ωx+), 若选条件①②:由条件①函数f(x)的图象经过点(-,2),得-+=+2kπ,k∈Z,即ω=-1-12k, k∈Z, 由条件②f(x)在区间[-,]上单调递增,得-(-)≤,即T≥π,又ω>0且T=,即≥π,所以0<ω≤2,此时ω不存在. 若选条件②③:由条件②f(x)在区间[-,]上单调递增,有-(-)≤,即T≥π,又ω>0且T=, 即≥π,所以0<ω≤2, 由条件③直线x=是f(x)图象的一条对称轴,则ω+=+kπ,k∈Z,所以ω=2+12k,k∈Z, 所以ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+),则f(x)的最小正周期T==π, 由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 所以f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z). 若选条件①③:由条件①函数f(x)的图象经过点(-,2),得-+=+2kπ,k∈Z,即ω=-1-12k, k∈Z, 由条件③直线x=是f(x)图象的一条对称轴,得ω+=+kπ,k∈Z,所以ω=2+12k,k∈Z, 此时ω不存在. (2)由(1)可知f(x)=2sin(2x+),因为x∈[,π],所以2x+∈[,], 所以sin(2x+)∈[-1,],f(x)∈[-2,],因为对于任意的x∈[,π],都有f(x)≤c,所以c≥,即实数c的取值范围为[,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5节　三角函数的图象与性质 基础练 1.已知α,β为锐角三角形的两个内角,则下列结论正确的是(　　) A.sin α<sin β B.cos α<sin β C.cos α<cos β D.cos α>cos β 2.函数f(x)=的定义域为(　　) A.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z B.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z C.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z D.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z 3.下列四个函数中,以π为周期,且在区间(π,)上单调递减的是(　　) A.y=|sin x| B.y=cos C.y=-tan x D.y=sin |2x| 4.已知奇函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,那么f(x)的解析式可以为(　　) A.y=sin(3πx) B.y=cos(x+) C.y=sin(x+) D.y=tan(πx) 5.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 6.(多选题)(2025·广东惠州模拟)已知函数f(x)=cos2x,则(　　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的图象关于点(-,)对称 C.f(x)的最小值为0 D.f(x)的图象关于直线x=对称 7.函数y=的定义域为 　　　　　　　　.  8.若函数y=tan 3x在区间(m,)上单调递增,则实数m的取值范围为　　　　.  9.已知函数f(x)=2sin x+cos x在x=x0处取得最大值,则cos x0=　　　　.  10.已知函数f(x)=2cos(2x+)+1. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)求f(x)在[0,]上的值域. 强化练 11.(多选题)已知函数f(x)=2cos(ωx+)(0<ω<6,ω∈N*),满足∀x∈R,f(x)-f()≤0恒成立.则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)在区间(,)上单调递减 C.函数f(x)图象的一个对称中心为(-,0) D.函数f(x-)是奇函数 12.已知函数y=sin(2x-φ)(0<φ<)在[0,]上单调递增,且该函数在(0,)上有最小值,则φ的取值范围是　　　　　.  13.已知函数f(x)=sin 2x-2cos2(x+). (1)求函数f(x)图象的对称轴方程; (2)若方程f(x)=-1在区间[0,m]上恰有两个解,求m的取值范围. 拓展练 14.(多选题)已知(-,0)为函数f(x)=asin 2x+cos 2x图象的一个对称中心,则(　　) A.a= B.函数y=f(x-)为奇函数 C.曲线y=f(x)关于直线x=对称 D.函数y=f(x)在(-,)上单调递增 15.设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0).从下列三个条件中选择两个作为已知,使函数f(x) 存在. 条件①:函数f(x)的图象经过点(-,2); 条件②:f(x)在区间[-,]上单调递增; 条件③:直线x=是f(x)图象的一条对称轴. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)若对于任意的x∈[,π],都有f(x)≤c,求实数c的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $