专题13 反比例函数特殊三角形存在性的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题13 反比例函数中特殊三角形存在性的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形存在性问题 类型二、直角三角形存在性问题 类型三、等腰直角三角形存在性问题 压轴专练 类型一、等腰三角形存在性问题 例1-1．（底边和腰不确定）如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 例1-2．（底边确定）如图，双曲线的图象经过矩形的、边的中点F、E，若且四边形的面积为2． (1)求双曲线的解析式； (2)求点E，B，F的坐标： (3)若点P为x轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 例1-3．（腰确定）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，若． (1)求和的值； (2)点是轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出符合题意的点的坐标． 变式1-1．如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3．． (1)求k，m的值； (2)直接写出当时，不等式的解集是： ； (3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标．​ 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，连接，，，过点作轴，垂足为点，交于点，且为中点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数的图象是否存在一点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点为轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 类型二、直角三角形存在性问题 例2-1．（直角边与斜边不确定）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为． (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； (3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 例2-2．（斜边确定）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 例2-3．（直角边确定）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是轴上一点，且，求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？直接写出点的坐标． 变式2-1．如图，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接； (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积 (3)直接写出时，的取值范围； (4)在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 变式2-2．如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图像交于点． (1)求反比例函数的表达式： (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 例3-1．（底边与腰不确定）综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3-2．（底边确定）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 例3-3．（直角边确定）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、； ①求的最小值； ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 变式3-1．如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-2．如图，函数的图象过点和两点．    (1)求和的值； (2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标； (3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接和，求的面积； (4)在轴上找一点，使的值最大，求满足条件的点的坐标及的最大值． (5)点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请你类比它的学习过程，运用所学知识对函数的图象和性质进行探索，并解决下列问题： (1)该函数的图象大致是 ． A． B． C． D． (2)结合函数图象，关于此函数，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①在各个象限内，y随着x增大而减小； ②图象为轴对称图形； ③函数值始终大于0； ④函数图象是中心对称图形． (3)结合函数图象，写出不等式的解集为 ． (4)若点A、B分别在函数的图象上，A、B的横坐标分别为a、b，其中，且，当是以为底边的等腰三角形时，试探究的大小是否变化？如果不变，请求出它的值；如果变化，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点． ①当时，求点的坐标； ②存在以为底边的等腰三角形吗？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 4．如图，矩形的边分别在轴、轴的正半轴上，．反比例函数的图象经过的中点，交边于点，连接． (1)求的值与点的坐标； (2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是轴上的一点，以点为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标． 5．如图1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的坐标为，反比例函数在第一象限内的图像经过点A，与BC相交于F． (1)若，求反比例函数的关系式． (2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=9，求OA的长和点C的坐标； (3)在（2）的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图2），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P、使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积是的面积的2倍，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，以点D为直角顶点作等腰直角三角形．当顶点F恰好落在直线上时，求M的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足．    (1)求，的值及反比例函数的解析式； (2)若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由； (3)若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标． 8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过，两点，连接，． (1) ， ； (2)求反比例函数的表达式； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 反比例函数中特殊三角形存在性的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形存在性问题 类型二、直角三角形存在性问题 类型三、等腰直角三角形存在性问题 压轴专练 类型一、等腰三角形存在性问题 例1-1．（底边和腰不确定）如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，根据图象即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：把点代入中得：， ∴， 联立得：， 解得：，， ∴点， 由图象可知，当时，或； （3）解：∵点， ∴， 当时，如图： ∴点的坐标为或， 当时，作轴于点，则，如图： ∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时，作轴于点，则，如图： ∵，， ∴点是的中点， ∵点， ∴点，即， 设点，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴点， 综上，点的坐标为或或或． 例1-2．（底边确定）如图，双曲线的图象经过矩形的、边的中点F、E，若且四边形的面积为2． (1)求双曲线的解析式； (2)求点E，B，F的坐标： (3)若点P为x轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质、勾股定理、二次根式的应用，运用数形结合思想是解题的关键． （1）连接，根据线段中点的定义得到，，得出，，则有，再根据反比例函数的性质得到，再结合反比例函数的图象确定的值，即可解答； （2）由得到点的纵坐标为，代入到，得到，得出点的坐标以及，再利用矩形的性质即可求出点、的坐标； （3）根据等腰三角形的定义得到，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点F、E分别是、边的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵双曲线的图象经过点F、E， ∴， ∴， 解得：， 由图象可知，双曲线经过第一象限， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为； （2）解：∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴点的纵坐标为， 到，得， 解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，，； （3）解：∵为以为底边的等腰三角形， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 例1-3．（腰确定）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，若． (1)求和的值； (2)点是轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出符合题意的点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，然后分；两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， ∵轴，， ∴点P的纵坐标为9， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得． （2）解：对于，当时，， ∴， ∴， 当时， ∴D的坐标为或，即或； 当时， 设， 则， 解得或（不符合题意，舍去） ∴D的坐标为， 综上，D的坐标为或或． 变式1-1．如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3．． (1)求k，m的值； (2)直接写出当时，不等式的解集是： ； (3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标．​ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，定义三角形的定义： （1）分别把点A的坐标代入两函数解析式中利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，再分三种情况利用勾股定理进行讨论求解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得：，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：，， ， 由函数图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，不等式的解集为； （3）解：∵点在反比例函数的图象上，且横坐标为3， ∴， ∴， ∵直线是直线平移得到的 ∴可设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设， ∵， ∴， 当以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①时，， 解得：或（舍去）； ②时，， 解得：或（舍去）； ③时，， 解得：（舍去）． 综上：或， ∴点或． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，连接，，，过点作轴，垂足为点，交于点，且为中点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数的图象是否存在一点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，勾股定理求两点距离，等腰三角形的性质，解一元二次方程； （1）根据中点坐标公式先求出点坐标，再代入反比例函数求； （2）由（1）已得：，求出点坐标，最后用面积公式得出，根据为中点，即可求解； （3）根据，利用等腰三角形性质和反比例函数解析式求点坐标，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为中点， ∴ 将点代入得：； （2）解：由（1）已得： ∵轴，垂足为点， ∴，点的纵坐标为3，， 将代入得： ∴ ∴ ∴ 又∵点为中点， ∴的面积为 （3）解：存在点，使得是以为底的等腰三角形 当时 ， 设，，则， 解方程， 解得：或（时与重合舍去）或（舍去）或（舍去）， 此时． 变式1-3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点为轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)或或 【分析】（1）先把代入反比例解析式求得，再把A与B坐标代入一次函数，求得一次函数的解析式； （2）先求出直线与y轴的交点为，从而可得，再利用，求得； （3）先根据点A的坐标求出，再分，两种情况，分别求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入反比例解析式得：，解得： ， ∴， 把A与B坐标代入一次函数， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）设直线与y轴的交点为E， 当时，， ∴， ∴， ∴ ； （3）∵点A的坐标为， ∴， 当时，是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，是以为腰的等腰三角形， ∴， ∴， 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形性质，三角形的面积的计算，正确的求出函数的解析式是解题的关键． 类型二、直角三角形存在性问题 例2-1．（直角边与斜边不确定）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为． (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； (3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)； (2)或或或 (3)或 【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2））根据勾股定理得到，①当O为顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论； （3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，即得出，．设，则，．分类讨论：①以为斜边时，②以为斜边时和③以为斜边时，根据勾股定理分别列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，轴, ∴， ∴， ∴． ∵过B点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ①当O为顶点时，， ∴或； ②当D为顶点时，， ∵四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴点D与C重合， ∴； ③当B为顶点时，，则， ∴， ∴； 综上所述：D的坐标为或或或； （3）解：如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ①以为斜边时，， ∴， 解得， ∴Q或； ②以为斜边时，， ∴， 解得， ∴； ③以为斜边时，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 例2-2．（斜边确定）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)。 【分析】（1）由待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）求出点A的坐标，根据四边形与三角形的面积比求出点坐标，得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可得点坐标； （3）设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 将点代入， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：对于，当时，， ∴点坐标为， 联立与得， ， 解得或（舍去）， 经检验是的解， 当时，， ∴点坐标为， ∵，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵点在第一象限， ∴． （3）解：∵点在直线上， ∴设， ∵是以为斜边的直角三角形，， ∴， 即， 整理得：， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，梯形与三角形面积计算，勾股定理，解一元二次方程等知识点．解题关键是根据面积关系求出点坐标及掌握利用勾股定理列出方程． 例2-3．（直角边确定）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是轴上一点，且，求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为，，或． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，关键是注意分类讨论． 将点代入反比例函数中，求得反比例函数的表达式，可得点坐标，将、两点代入一次函数中，可得一次函数的表达式； 设，即，对于一次函数，令，求得点坐标，因为，，，可得，解得的值，即得点的坐标； 分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）将点代入反比例函数中， 得，， 解得：， 反比例函数， 将点代入反比例函数中， 得，， 解得：，即， 将、两点代入一次函数中， 得，， 解得：，， 一次函数； （2）设，即， 对于一次函数，令，则，即， ，，， ， 解得：， 或； （3） ， 设，过作轴，交轴于点， ， ，即， ， ， ， ，即， 对于一次函数，令，则，即， ， 解得：， ， ， 设，过作轴，交轴于点， ， ，即， ， ， ， ，即， ， 解得：， ， ， 设，过作轴，交轴于点，， ，即，， ， ，，即， ，解得：，， ， 设，过作轴，交轴于点，， ，即，， ，， ，即， ，解得：，， 综上，点的坐标为，，或． 变式2-1．如图，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接； (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积 (3)直接写出时，的取值范围； (4)在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)在轴上存在点或或使为直角三角形． 【分析】（1）联立一次函数和，解出点坐标，代入反比例函数解析式即可求出； （2）联立和解出点坐标，进而设与轴交于点，根据即可求解． （3）结合图象即可得出答案； （4）假设在轴上存在使为直角三角形，用含的代数式表示，然后根据勾股定理分①；②；③三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：依题得 解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）∵   解得：或，即 设与轴交于点， 当时，，即，则, ∴ ； （3）结合图象可得当时，的取值范围是或； （4）如图，假设在轴上存在使为直角三角形， ①，即 解得或； ② 即 解得：； ③即 解得：； 综上所述，在轴上存在点或或使为直角三角形． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式，反比例函数和一次函数综合，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键． 变式2-2．如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①求点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为， (2)①②存在，的坐标为或 【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式中求，确定反比例函数的表达式，把代入反比例函数可得到结论； （2）①设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式，求得点 ，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到坐标，把代入反比例函数中即可得到结论； ②设点，根据勾股定理得到即，可求得，即可确定点坐标． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）①设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为． 当时，；当时，， ∴点，点． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿直线翻折， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； ②存在，理由如下； 设点， 则，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 即， 解得或． 故在轴上存在点，使得是以为斜边的直角三角形， 此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数在第四象限内的图像交于点． (1)求反比例函数的表达式： (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理： （1）将点A代入函数中可得到函数表达式，进而可求得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可； （2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果； （3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，再求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可； 正确利用待定系数法求出相应的函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得到：， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为， 由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像上方， ∴当时，； （3）解：在双曲线上存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形，理由如下： 如图所示，设直线交y轴于点， ， 由一次函数解析式可得， ∵， ∴，，， ∵是以点A为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， 即点P的坐标为， ∴在双曲线上存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形，此时点P的坐标为． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 例3-1．（底边与腰不确定）综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最小值时点的坐标 (3)存在；或或 【分析】（1）先求出，，然后代入反比例函数解析式，得出答案即可； （2）求出直线的解析式为，得出，作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据，得出，说明当最小时，最小，根据两点间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线的解析式为，再求出点P的坐标即可； （3）先求出，再求出直线的解析式为：，得出，，分三种情况：当，时，当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，， ∴A与B关于原点对称， ∵点的横坐标为，点的纵坐标为 ∴点的纵坐标为3，点的横坐标为2， 即，， 把代入得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向上平移4个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示： 则点， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴取得最小值时点P的坐标为． （3）解：∵以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴， ∴， ∵边交轴于点， ∴, ∵是的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，过点N作于点I，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知：点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 例3-2．（底边确定）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 例3-3．（直角边确定）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、； ①求的最小值； ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或N() 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识． （1）求出，用待定系数法可得反比例函数的表达式为，令得的坐标为； （2）①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，由，，可得，，即可得到答案； ②设，，分两种情况：当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，由的等腰直角三角形，证明，可得，即可解得，；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，解得，． 【详解】（1），， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， ， 的最小值是； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ，； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ，； 综上所述，的坐标为，或，． 变式3-1．如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点的坐标为或或 【分析】（1）将和点两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （3）由直线的解析式，求得，，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：函数的图像过点和点， ， 解得：， ，； （2）解：由（1）可知，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， ，， ， 即， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 直线交轴于点，交轴于点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ； ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ； ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， 在和中， ， ， ，， 矩形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 变式3-2．如图，函数的图象过点和两点．    (1)求和的值； (2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标； (3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和的值分别为，； (2)， (3)点或。 【分析】（1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值； （2）设点，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （3）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案． 【详解】（1）解：函数的图像过点和两点， ， 解得， 故和的值分别为，； （2）解：， ， 设直线的解析式为：， 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，    设， ， ， ， 或（不符合题意舍去） ， （3）解：，直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 点在直线上，， ，即， 直线的解析式为：； 当时，， ∴， 当时，， ∴，    根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点； 如图，过做轴于点，可知：，   ， ， 又，，又， ，， 故点到点的平移规律是：向左移个单位，向上移个单位得点坐标， ，且在第二象限，即； ②以为直角边，为直角顶点；同①理得，将点向左移个单位，向上移个单位得点坐标，得．综上所述：点或 【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． 变式3-3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的表达式，最后联立一次函数和反比例函数表达式，即可求出点B的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，用勾股定理即可求解； （3）设，，根据题意，构造全等三角形，进行分类讨论，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将带入得：， 解得： ∴， 将代入得：， ∴反比例函数的表达式为：， 联立， 解得：， ∴， 综上：反比例函数的表达式为：，； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小， ∵， ∴； （3）解：设，， ①在点右侧时，过点作轴于点F，过点M作，交的延长线于点H， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ②在点左侧时， 同理可得， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，将军饮马，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握反比了函数和一次函数的性质，会用待定系数法求解函数表达式，具有分类讨论的思想． 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接和，求的面积； (4)在轴上找一点，使的值最大，求满足条件的点的坐标及的最大值． (5)点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)点的坐标， (5)或或或 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）设直线与轴交于点C，则，再根据列式求解即可； （4）作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点，则点即为所求．此时．求出直线的关系式为，即可求出满足条件的点的坐标，此时，的最大值为； （5）求出．设点M的坐标为，则，，当，则，当时，则， 当时，则，三种情况分别解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入，得：， ∴这个反比例函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， 将、代入，得：，     解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可得，不等式的解集为或； （3）解；如图，设直线与轴交于点C， 令，则，解得： ∴， ∴ ； （4）解：如图2，作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点， 则点即为所求．此时． 设直线的关系式为． ∴， 解得：， ∴直线的关系式为， 令，则， ∴满足条件的点的坐标， 此时，的最大值为； （5）解：， ． 设点M的坐标为，则，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为或； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，等腰三角形的等腰，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请你类比它的学习过程，运用所学知识对函数的图象和性质进行探索，并解决下列问题： (1)该函数的图象大致是 ． A． B． C． D． (2)结合函数图象，关于此函数，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①在各个象限内，y随着x增大而减小； ②图象为轴对称图形； ③函数值始终大于0； ④函数图象是中心对称图形． (3)结合函数图象，写出不等式的解集为 ． (4)若点A、B分别在函数的图象上，A、B的横坐标分别为a、b，其中，且，当是以为底边的等腰三角形时，试探究的大小是否变化？如果不变，请求出它的值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)D (2)②③ (3)或 (4)大小没有变化，它的值为 【分析】本题考查函数的意义，反比例函数的图象和性质，勾股定理的逆定理，特别注意利用图象得出性质，再利用性质解决问题． （1）依据，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大，即可得到函数图象在第一、二象限； （2）根据图象判断即可； （3）先求出的解，再根据函数的增减性确定自变量x的取值范围； （4）由题意，求得，利用等腰三角形的性质即可求得，进一步利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，即． 【详解】（1）解：∵在函数中，， ∴， 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大， ∴函数图象在第一、二象限； 故选：D； （2）解：由函数的图象可知此图象具有以下性质： 函数的图象在一、二象限，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大， 函数的图象关于y对称； 故说法正确的是②③， 故答案为：②③； （3）解：当时，令，即，解得：， 根据函数的图象和性质得，不等式的解集为：或， 故答案为：或； （4）解：∵点A、B分别在函数的图象上，A、B的横坐标分别为a、b， ∴， ∴，， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故当是以为底边的等腰三角形时，的大小没有变化，它的值为． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点． ①当时，求点的坐标； ②存在以为底边的等腰三角形吗？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②存在，． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰三角形的性质，解一元二次方程． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，则，，根据，得到，解得，据此求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可； ②先求出，设直线表达式为，分别求出，，根据等腰三角形的性质求出点C横坐标为，列一元二次方程计算即可． 【详解】（1）解：把点代入得，，解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：①设， 平行于轴， ， ， ， ，解得， ， 点的纵坐标为， 把代入得，解得， 点的坐标为； ②存在，．理由如下： 在中，当时，， ∴， 设直线表达式为， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∵以为底边的等腰三角形， ∴点C横坐标为， ∵点坐标为， ∴， 整理得：， ， ∴， 解得（舍去），， 此时． 4．如图，矩形的边分别在轴、轴的正半轴上，．反比例函数的图象经过的中点，交边于点，连接． (1)求的值与点的坐标； (2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是轴上的一点，以点为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3)或 【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，进而求得的值，根据点在反比例函数图象上，将的横坐标代入解析式即可求解； （2）设，根据勾股定理求得的长，根据等腰三角形的定义，分类讨论即可求解； （3）根据是轴上的一点，设，则，，，根据勾股定理建立方程，分类列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点，的横坐标为， ∴， ∴； （2）解：存在，设， ∵，， ∴，，， 设直线的解析式为，则， ， 解得， ∴， ①当时，， 解得：， ∴， ②当时，， 此方程无解， ③当时，， 解得或， ∵线的解析式为，当时，， ∴,在直线上， 综上所述，或， （3）是轴上的一点，设，则，，， ①当为直角顶点时，， 解得：，则， ②当为直角顶点时，， 解得：，则 ③当为直角顶点时，， 此方程无解， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，勾股定理求两点距离，等腰三角形的定义，掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 5．如图1，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的坐标为，反比例函数在第一象限内的图像经过点A，与BC相交于F． (1)若，求反比例函数的关系式． (2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=9，求OA的长和点C的坐标； (3)在（2）的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图2），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P、使以P、O、A为顶点的三角形是以OA为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)OA＝5， (3)存在，P（4，2） 或P（-1，2） 【分析】（1）把点A坐标代入解析式，即可求解； （2）根据反比函数的比例系数的几何意义可得，从而得到，，进而得到点F的坐标为（6a，2a），可得到，求出a，即可求解； （3）先证得四边形OBFE为平行四边形，可求出点E，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解∶∵点A的坐标为，， ∴点A的坐标为， 把代入得：k=48， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：分别过点A，F，C作x轴的垂线交x轴于点D，E，G，AD交OF于点H． ∵点A，F在反比例函数图像上， ∴ 又， ， ∵△AOF的面积S=9，四边形OACB是平行四边形， ，， ∵点A的坐标为，AC∥x轴， ∴点C的纵坐标为4a， 点F为BC的中点，k=12a2， ∴点F的纵坐标为2a， ∴点F的横坐标为， 点F的坐标为（6a，2a）， ， 解得a＝1， ∴点A（3，4），F（6，2）， OD＝3  AD＝4， OA＝5， ∵， ∴AC=OB＝ ， ∴点，即； （3）解：存在， 根据题意得：∠APO=90°， ∵四边形OACB为平行四边形， ∴OE∥BF，OA=BC， ∵EF∥OB， ∴四边形OBFE为平行四边形， ∴OE=BF， ∵BF=CF， ∴AE=OE=， ∴PE=， 由（2）得：点A（3，4）， ∴点E， ∴ON=，EN=2， 如图，当点P在线段OA的右侧上时，过点P作PM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥x轴于点N， ∵EN⊥x轴，PM⊥x轴， ∴EN∥PM， ∴四边形ENMP为平行四边形， ∴PE=MN=，PM=EN=2， ∴OM=4， ∴点P（4，2）； 如图，当点P在线段OA的作侧上时，过点P作PT⊥x轴于点T，过点E作ES⊥x轴于点S， 同理：四边形PEST为平行四边形， ∴PT=ES=2，TS=PE=，OS=， ∴OT=1， ∴点P（-1，2）； 综上所述，点P的坐标为（4，2）或（-1，2）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，平行四边形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积是的面积的2倍，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，以点D为直角顶点作等腰直角三角形．当顶点F恰好落在直线上时，求M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出C的坐标，然后把C的坐标代入求解即可； （2）在x轴正半轴，D的右侧取点G，使，则可得出，，过G作交反比例函数图象于E，连接，，则，利用待定系数法求出直线解析式为，联立方程组求出公共解即可； （3）设，，分M在D的左侧和右侧两种情况讨论，利用证明，得出，，则可得出关于m，n的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，则，解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， 在x轴正半轴，D的右侧取点G，使， ∴， ∴， 过G作交反比例函数图象于E，连接，， 则， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：设，， ①如图，当M在D的左侧时， 过D作轴，过M作轴，过F作轴，则， ∵以点D为直角顶点作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ②如图，当M在D的右侧时， 过M作轴，过F作轴，则， ∵以点D为直角顶点作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，M的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足．    (1)求，的值及反比例函数的解析式； (2)若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由； (3)若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)矩形，理由见解析 (3)，， 【分析】（1）把和分别代入得：；进而把代入得，即可求解； （2）根据，设的解析式为，依题意得出的坐标为，进而可得解析式为，进而得出，过点作轴于点，则，故和都等腰直角三角形，得出，即可得出结论； （3）①当时，根据图形可得，②当时，由图得，代入反比例数解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：把和分别代入得：； 把代入得， 所求反比例函数解析式为， （2）， 设的解析式为， 又，在轴的正半轴上， 的坐标为， 以点、、、构成的四边形是矩形，理由如下： 解析式为， ， ，，， ， 又 四边形是平行四边形 过点作轴于点，则，故和都等腰直角三角形， ， ， 是矩形    （3）①当时，由图得：， ，则， ，    ②当时，由图得 ，解得：舍去 ， 综上所述：的坐标为，，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，矩形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，分类讨论，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过，两点，连接，． (1) ， ； (2)求反比例函数的表达式； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标 ． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论； （2）先表示出点 ， 坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出 ，再判断出 ，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积； （3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）将点 代入 ，得， ， 直线的解析式为 ， 将 代入，得 ， （2）由（）知，， ， 由平移可得：设点，． 将点， 分别代入 ，得 反比例函数的解析式为 （3）①当 、 时，如图2，过点 作直线 轴，交 轴于点 ．过点 作于点 ，交 轴于点 ．过点 作于点 设点 （其中 ），则 ， ． ， ． 于点E， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 将 代入 ，得 ， 点 ； ②当 、 时，如图3，过点 作直线 轴与点 ，则 ．过点 作 轴于点 ， 交直线 与点E，则于点 ， ． ， ． 于点 ， ， ． 又 ， ， ， ， ． 设 ，则 ， ， 点 ． 将点 代入 ，得 ．解得，， ， 点 综合①②可知：点M的坐标为 或． 【点睛】本题是综合考查反比例函数待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$