精品解析：四川省自贡市荣县中学校2025-2026学年七年级上学期第一次月考数学试题（创新班）

2025年上期第一学月初一创新班数学巩固练习 总分：100分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，点到直线的距离，对顶角定义，解题的关键是理解相关定义．根据垂线段定义，垂线段性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，①说法错误； 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为时，这两条直线互相垂直，②说法正确； 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③说法错误； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，④说法正确． 综上分析可知：说法正确的有2个． 故选B 2. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，内错角相等，能得到，不能判断，不符合题意； B、，同旁内角互补，能得到，不能判断，不符合题意； C、，内错角相等，能判断，符合题意； D、，内错角相等，能得到，不能判断，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是同旁内角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形进行判断即可． 【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，故本选项不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，故本选项不符合题意； C、与是同旁内角，不是内错角，原说法错误，故本选项符合题意； D、与是同旁内角，原说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：A 5. 下列语句中，是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 一个正数的平方大于这个正数 C. 内错角相等，两直线平行 D. 互补的两个角是同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，绝对值，平方，命题的真假，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定、绝对值、平方直接进行判断即可． 【详解】解：A、如果，那么或，原命题是假命题； B、一个正数的平方不一定大于这个正数，如0.1，原命题是假命题； C、内错角相等，两直线平行，是真命题； D、互补的两个角不一定是同旁内角，原命题是假命题； 故选：C． 6. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．由题意根据图形平移的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知B不是平移得到，C不是平移得到，D不是平移得到， A是利用图形的平移得到． 故选：A． 7. 如图，，，则，和的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 8. 如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（ ）度． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作，利用两直线平行内错角相等，可推出，同理，然后利用角平分线的定义可推出，同理可求得，，……，进而得到，即可求得答案． 【详解】解：如图，过作， ， ， ，， ， ； 同理， 和的平分线，交点为， ，， ， 同理， ， …… ， 度， 度． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点______，依据是______． 【答案】 ①. C ②. 垂线段最短 【解析】 【分析】根据“垂线段最短”进行分析判断即可． 【详解】根据题意得：在连接超市O和公路上的四点A、B、C、D的连线中，只有OC⊥， ∴在线段OA、OB、OC和OD中，OC最短， ∴为了使超市距离车站最近，车站应该修建在C点处． 依据是，垂线段最短、 故答案为：C，垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟知“在连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”是解题的关键． 10. 如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°． 【答案】20 【解析】 【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案． 【详解】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°， ∴MN//CD， ∵∠EGB＝100°， ∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°， ∴至少要旋转20°． 【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 11. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 12. 如图，两个直角三角形重在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，解题的关键是熟记各性质并判断出阴影部分面积等于． 先判断出阴影部分面积等于，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，即可得解． 【详解】解：∵两个三角形大小一样， ∴阴影部分面积等于， 由平移的性质得，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：48． 13. 探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则______°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 14. 如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有_____(写出所有正确结论的序号)． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的性质可判断②，如图，延长EG交AB于K, 先求解∠KEG=45°, 从而可判断③④，于是可得答案． 【详解】解：由题意得： ∠GEF=60°,∠GFE=30°,∠EGF=90°=∠MPN,∠PMN=∠PNM=45°, ∴∠MPG=∠EGP=90°, ∴EGPM, 故①符合题意； ∵∠EFG=30°, ∴∠EFN=180°−30°=150°, 故②不符合题意； 如图，延长FG交AB于K, ∵ABCD, ∴∠GKE=∠PNM=45°, ∴∠KEG=90°−45°=45°, ∴∠BEF=180°−45°−60°=75°, ∠AEG=∠PMN=45°, 故③④符合题意； 综上：符合题意的有①③④ 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角板中角度计算问题，掌握以上基础知识是解本题的关键． 三、解答题（每小题5分，共25分） 15. 在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点． （1）请在图中画出平移后的△DEF； （2）分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为 ，位置关系为 ． （3）求△DEF的面积． 【答案】（1） 如图，△DEF即为所求； （2）， （3）7 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质作出B，C的对应点E，F即可； （2）根据平移变换的性质解决问题即可； （3）利用利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点A平移到点D， ∴△ABC先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到△DEF， 【小问2详解】 解：∵△ABC先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到△DEF， ∴点A到点D与点B到点E的平移方向和平移距离相同， ∴ADBE，AD=BE； 故答案为： AD=BE，； 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，网格三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质． 16. 如图，，，，将求的过程填写完整 解：（已知） ___①___（____________②___________） 又，（已知） （_____③_______） ___④___（内错角相等，两直线平行） ___⑤___ （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） （两直线平行，同旁内角互补） 【答案】 ，两直线平行，同位角相等；等量代换；；； 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法和平行线的性质，进行作答即可． 【详解】略 17. 如图，直线相交于点，平分，垂足为． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，垂线的定义，对顶角相等，与余角、补角有关的计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对顶角可得，再根据余角的定义即可求出答案； （2）设，根据垂直和对顶角可得，再根据角平分线可得，最后根据即可求出答案． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 设， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， ， 即． 18. 如图，，平分与相交于F，．求证：． 【答案】 证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义以及平行线的性质定理和判定定理．关键是根据平行线的性质以及角平分线的定义解答．根据平分得，根据，，推出，即可求证； 【详解】略 19. 如图，已知直线，分别与直线交于点，，，分别平分和，且．求证：． 【答案】证明：平分，平分， ，， ， ． 又， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟知平行线的判定是解题的关键． 由角平分线的定义得到，，根据，进而推出，再根据对顶角相等，等量代换即可得出即可证明． 【详解】略 四、解答题（第20、21、22题每小题6分，第23题7分，第24题8分） 20. 如图，已知为上一点，连接交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）利用平行线的性质及等量代换得出，根据同位角相等两直线平行即可得出结果； （2）根据平行线的性质和三角形内角和定理得出，再利用平行线的性质即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ， ， ， 又， ∴的度数为． 21. 近来古风文化盛行，很多人受到影响后也对古风文化产生了兴趣．如图①是古筝的示意图，其支撑架可抽象成如图②所示图形，已知，且平分，平分，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由可得，可得出．再由角平分线的定义可得，，得出，最后由平行线的判定可得结论． 【详解】证明：， ， ． 平分，平分， ，， ， ． 22. 如图，直线和直线相交于点，连接，点，，分别在，，上，连接，，是上一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）先根据同角的补角的相等得到，则，即可证明； （2）得到，由得到，平分得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵，， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ． 又∵， ． 又∵平分， ， ． 23. 【问题情境】 如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数． （1）按小明的思路，求出的度数； 【问题迁移】 （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）， 理由如下：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）当点P在的延长线上时，；当点P在线段上时， 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上，和在线段上，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）略； （3）如图所示，当在的延长线时，由（2）可知，， ， 如图所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． 24. 如图1，直线，平分交于点M． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）如图2，点P为线段延长线上一点，连结，．若，且，求的度数； 【答案】（1） 证明：是的平分线， ， 又， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质与判定，熟练掌握相关知识，并灵活应用是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质，即可求证； （2）设，则，利用平行线的性质，推出，再利用两直线平行，同旁内角互补，列方程求解； （3）如图所示：过点P作交GH的延长线于Q，利用角平分线的定义和平行线的性质推出， 进一步推出，再结合即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 由（1）可知：， ， ， ， 又， ， 即， 解得， ； 【小问3详解】 如图所示：过点P作交GH的延长线于Q， 则， ， 又， ， ， ， ， 又是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 又， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上期第一学月初一创新班数学巩固练习 总分：100分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是同旁内角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 4. 如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 5. 下列语句中，是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 一个正数的平方大于这个正数 C. 内错角相等，两直线平行 D. 互补的两个角是同旁内角 6. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，则，和的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（ ）度． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点______，依据是______． 10. 如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°． 11. 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 12. 如图，两个直角三角形重在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______． 13. 探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则______°． 14. 如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有_____(写出所有正确结论的序号)． 三、解答题（每小题5分，共25分） 15. 在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点． （1）请在图中画出平移后的△DEF； （2）分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为 ，位置关系为 ． （3）求△DEF的面积． 16. 如图，，，，将求的过程填写完整 解：（已知） ___①___（____________②___________） 又，（已知） （_____③_______） ___④___（内错角相等，两直线平行） ___⑤___ （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） （两直线平行，同旁内角互补） 17. 如图，直线相交于点，平分，垂足为． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 18. 如图，，平分与相交于F，．求证：． 19. 如图，已知直线，分别与直线交于点，，，分别平分和，且．求证：． 四、解答题（第20、21、22题每小题6分，第23题7分，第24题8分） 20. 如图，已知为上一点，连接交于点． （1）求证：； （2）若为上一点，，求的度数． 21. 近来古风文化盛行，很多人受到影响后也对古风文化产生了兴趣．如图①是古筝的示意图，其支撑架可抽象成如图②所示图形，已知，且平分，平分，求证：． 22. 如图，直线和直线相交于点，连接，点，，分别在，，上，连接，，是上一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数（用含的式子表示）． 23. 【问题情境】 如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数． （1）按小明的思路，求出的度数； 【问题迁移】 （2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系． 24. 如图1，直线，平分交于点M． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）如图2，点P为线段延长线上一点，连结，．若，且，求的度数； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $