精品解析：山东省德州市第五中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

德城区第五中学2025-2026学年八上第一次月考 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 5，6，10 C. 1，1，3 D. 3，4，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据原理分别计算两条较短边的和与最长边比较，再逐一分析即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等，三角形内角和定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 由题意可知：， ，， ， 故选：D． 3. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果． 【详解】解：设AB与EF交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵, ∴=， 故选：A． ． 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键． 6. 在下列条件：；；；；中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定和三角形内角和定理对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：不能确定为直角三角形，故错误，不符合题意； ，， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形，故错误，不符合题意； ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； ， 设，则， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故正确，符合题意； 说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 7. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解“角边角”的内容是解题的关键． 8. 如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折叠与三角形的内角和定理，折叠得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 9. 如图平分，于C，D在上，，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，， ∴， ∵D在上， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查的是角平分线的性质和垂线段最短的应用，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和垂线段最短是解题关键． 10. 如图，中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线与三角形内角和定理，根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；根据现有条件无法证明，可判断④． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴，故③正确； 根据现有条件无法证明，故④错误； 故选：C． 二、填空题(本大题5小题，每小题4分，共20分) 11. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性. 12. 如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE=_____． 【答案】10° 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70º，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=35º，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90º，可求∠BAD=25º，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=10º. 【详解】解：在△ABC中， ∵∠BAC=180º−∠B−∠C=70º， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE=∠CAE=35º; 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=90º， ∵在△ABD中∠BAD=90º−∠B=25º， ∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=10º. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理. 13. 如图，与相交于点F，与相交于点G，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质进行解答即可．此题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和性质，关键是根据边边边证明三角形全等． 【详解】解：如图： 在与中， ， ， ， ∵ ∴ 即， 故答案为：． 14. 如图，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据中点性质求面积，涉及三角形中线将三角形面积等分的性质，熟练根据这个性质，逐渐找到各个三角形之间面积的关系，代值求解即可得到答案，熟记三角形中线将三角形面积等分，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点分别为的中点， ， 点分别为的中点， ， ， ， ，则， 故答案为：． 15. 如图，已知是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得，…，的平分线与的平分线相交于点，得， _____ (用含α的式子表示)． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形外角的性质可得，再由角平分线的定义可得，据此可推出，则可总结规律，据此可得答案． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ， ……， 以此类推可知，（n为正整数）， ∴， 故答案为：． 三、解答题(本大题满分90分) 16. 尺规作图，并写出依据：(保留作图痕迹，不写作法) （1）已知，求作的角平分线，依据： ； （2）已知，求作，使，依据： ； 【答案】（1） 射线即为所求；； （2） 即为所求；； 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一个角的平分线和作一个角等于已知角，全等三角形的性质与判定，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交射线于，分别以点E和点F为圆心，以大于长的一半为半径画弧，二者交于点N，过点N作射线，由作图方法可得，则可利用证明，则； （2）以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交射线于，作射线，以为圆心，以的长为半径画弧交射线于，再以为圆心，的长为半径画弧交前面弧与，则，则可利用证明，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【答案】(1) 65°；(2) 25° 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°； （2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°． 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°． ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键． 18. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）由垂直可得，再根据三角形内角和定理，得到，进而得出，最后再利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， 是的角平分线， 【小问2详解】 略 19. 如图，点D在上，点E在上，． （1）求证：； （2）若交于点F，求证：． 【答案】（1） 证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2） 证明：在和中， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角边角证明，可得，即可求证； （2）利用角角边证明，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）证明：BCECAD； （2）若AD=25cm，BE=8cm，求DE的长． 【答案】（1） 证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°， ∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE， 在BCE和CAD中， ， ∴BCECAD； （2）DE=17cm． 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明BCECAD； （2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，利用DE=CE-CD，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵BCECAD， ∴AD=CE，BE=CD， ∴DE=CE-CD=AD-BE=25-8=17（cm）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ADC和CEB全等的三个条件． 21. 如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠CAB=90°，且线段BD、CE交于F． （1）求证：△AEC≌△ADB． （2）求∠BFC的度数． 【答案】 （1）证明：， ， 即， 在与中， ， ， （2）90° 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，，从而得出，即可得出． （2）由，所以．再由，可以求的度数． 【详解】解：（1） 略 （2）解：由（1）知，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 22. 下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点A到水平地面的高度？ 项目图纸及解决过程 ①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合； ②记下直杆与地面的夹角； ③使直杆顶端缓慢下滑，直到； ④标记测试直杆的底端点 D，测量 的长度； 项目数据 ．．．．．． 任务∶ （1）线段 的长度，即为点A的高度；并说明他们作法的正确性； （2）若设交于点E，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗？请说明理由． 【答案】（1）， 解：在和中， ， ∴， ∴． 即线段的长度即为线段的长度，即点A的高度． （2） 解：同意小明的观点，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，理解题意并熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由证明，即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动，设运动的时间为t秒． （1）的长为 厘米(用含t的代数式表示)； （2）若以 D、B、P 为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值； （3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动．则点P与点Q会不会相遇？若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在的何处相遇？ 【答案】（1） （2）4或6 （3）经过24秒时间点P与点Q第一次在的边上离C点16厘米相遇 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用： （1）根据题意可得厘米，即可求解； （2）根据题意可得厘米，，点B，C为对应顶点，然后分两种情况：当时，当时，即可求解； （3）当时，两点的速度相同，此时两点不会相遇可得，再结合追击问题，得到关于t的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：厘米， ∵厘米， ∴厘米； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得：厘米， ∵点D为的中点，厘米， ∴厘米，， ∴点B，C为对应顶点， 当时，厘米，， ∴厘米， ∴秒， ∴； 当时，厘米，厘米， ∴秒， ∴； 综上所述，a的值为4或6； 【小问3详解】 解：当时，两点的速度相同，此时两点不会相遇； ∴， 根据题意得：， 解得：， 此时厘米， 即经过24秒时间点P与点Q第一次在的边上离C点16厘米相遇． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德城区第五中学2025-2026学年八上第一次月考 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 5，6，10 C. 1，1，3 D. 3，4，8 2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列条件：；；；；中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 7. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 8. 如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图平分，于C，D在上，，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题(本大题5小题，每小题4分，共20分) 11. 若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是_________． 12. 如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE=_____． 13. 如图，与相交于点F，与相交于点G，若，则_____________． 14. 如图，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为________． 15. 如图，已知是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得，…，的平分线与的平分线相交于点，得， _____ (用含α的式子表示)． 三、解答题(本大题满分90分) 16. 尺规作图，并写出依据：(保留作图痕迹，不写作法) （1）已知，求作的角平分线，依据： ； （2）已知，求作，使，依据： ； 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 18. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）若，垂足为D，，求证：是直角三角形． 19. 如图，点D在上，点E在上，． （1）求证：； （2）若交于点F，求证：． 20. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）证明：BCECAD； （2）若AD=25cm，BE=8cm，求DE的长． 21. 如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠CAB=90°，且线段BD、CE交于F． （1）求证：△AEC≌△ADB． （2）求∠BFC的度数． 22. 下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点A到水平地面的高度？ 项目图纸及解决过程 ①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合； ②记下直杆与地面的夹角； ③使直杆顶端缓慢下滑，直到； ④标记测试直杆的底端点 D，测量 的长度； 项目数据 ．．．．．． 任务∶ （1）线段 的长度，即为点A的高度；并说明他们作法的正确性； （2）若设交于点E，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗？请说明理由． 23. 如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点，如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动，设运动的时间为t秒． （1）的长为 厘米(用含t的代数式表示)； （2）若以 D、B、P 为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值； （3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动．则点P与点Q会不会相遇？若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在的何处相遇？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $