精品解析：山西省长治市长治学院附属太行中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

太行中学2025—2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得. 【详解】由，则有， 化简得，故或； 当时，，，此时与重合，不符； 当时，，，符合要求； 综上所述： 故选：A. 3. 在平面直角坐标系中，直线绕它与轴的交点按顺时针方向旋转所得的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出直线与轴的交点的坐标，再求出把它按顺时针方向旋转所得的直线的斜率，用点斜式求出旋转后直线的方程． 【详解】直线即，与轴的交点为，斜率为，所以倾斜角为. 将其绕点顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以所得直线的斜率为. 由点斜式，所得直线方程为：，即，也就. 故选：C 4. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ） A. 1，3 B. ， C. -2，0 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解. 【详解】，若点与关于直线对称， 则直线与直线垂直，直线的斜率是， 所以，得. 线段的中点在直线上，则，得 故选:B 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 6. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 7. 已知实数满足，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】确定，在圆上，且，题目转化为到直线的距离之和，变换得到，计算得到答案. 【详解】设，，， 故，在圆上，且， 表示到直线的距离之和， 原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，于， ，， 故在圆上，. 故的最大值为. 故选：C. 8. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果. 【详解】设平面的法向量为， 则，即， 令，可得，，则. . 设与平面所成的角为：则. 故到平面的距离为，即四棱锥的高为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线 ，动直线 : ， 则下列结论正确的是（ ） A. 存在k、使得的倾斜角为90° B. 对任意的k，与都有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】对于A，当时，：，符合倾斜角为90°，故A正确； 对于B，：即， 令，解得，故过定点， 而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点，故B正确； 对于C，当时，：，与：重合，故C不正确； 对于D，要使与垂直，则，即，显然这样的k值不存在．故D正确. 故选：ABD. 10. 已知实数，满足，则下列选项成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据不等式，可通过证明进行求解判断； 对于B，设，化为直线，再通过直线与圆的位置关系进行求解判断； 对于C，转化为点到直线距离问题解决； 对于D，转化为两点间距离问题解决. 【详解】对于A，∵ ， ∴，∴，∴， ∴当且仅当时，的最大值为，故A正确； 对于B，设，则，（）， 设，则为直线（除点外）与圆的公共点， ∴直线（除点外）与圆相切或相交， ∴设圆心到直线即的距离为， 则，解得，∴的最小值为，故B正确； 对于C，设圆上一点， 则到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离与半径之和， ∴， ∴，∴， ∴的最大值为，故C错误； 对于D，设圆上一点， 则到圆外一点距离的最小值为圆心到点的距离与半径之差， ∴， ∴，∴的最小值为，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，正三棱柱中，，点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 不存在点P，使得 B. 面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断AB；把放置于同一平面内，计算两点间距离判断C；利用等体积法计算判断D. 【详解】在正三棱柱中，取BC的中点O，连接OA， 则，又底面ABC，则， 又，平面， 所以平面，在平面内作， 以O为原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，，， 设，则，， 设，则， 所以，，则. 对于A，，， 要使，则，解得， 所以当时，存在点P，使得，故A不正确； 对于B，，， 设，则， 所以， 则， 因为，所以当时，取得最小值，故B正确； 对于C，将和沿展开在同一平面内，如图， 连接交于点T，可知，当点P与点T重合时取得最小值， 依题意，，， 则，， 所以， 在中，由余弦定理，得， 则，即的最小值为，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：BD. 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑到此题中条件适合建系，故通过建系后求出空间向量的坐标计算数量积即得. 【详解】 如图，由题意可以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则, 因M为AB的中点，N为PD的中点，故,于是,，则. 故答案为：. 13. 已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程. 【详解】取最小值四边形面积最小直线， 此时直线方程为，与直线联立求出点， 以为直径的圆的方程为，又圆， 两圆方程左右两边相减可得直线的方程为. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，根据列式求解得动点P的轨迹，再代入点到直线的距离公式列不等式即可求解. 【详解】设点，则， 即，所以动点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 要在圆上至少存在两点到直线的距离等于， 则需圆心到直线的距离， 解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】根据对称先求出B点坐标（1）过点B到点A距离最大的直线与直线AB垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C到直线AB的距离，又点C在直线上，可设出C点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C，又直线过点A，利用两点A、C即可求出直线的方程. 【详解】解：设点 则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为 （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即. （2）由条件可知：，的面积为2，则的高为， 又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为. 直线方程，设，则有，即或 又，解得： 或 则直线为：或 【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用.. 方法点睛：（1）设出交点坐标 （2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标. 16. 已知圆C经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点. （1）求圆C的方程； （2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将三点坐标代入圆的一般方程去求解即可得到圆C的方程； （2）以相关点法去求点M的轨迹方程即可解决. 【小问1详解】 设圆C的方程为 则有，解之得 则圆C的方程为 【小问2详解】 设，， 则有，， 由，可得，解之得 由点A在圆C上，得 即 故点M的轨迹方程为. 17. 已知圆C：和定点，直线l：（）. （1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长； （2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长. （2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 圆C：，圆心，半径， 当时，直线l的方程为， 所以圆心C到直线l的距离， 故弦长为. 【小问2详解】 设，则， 由，，得. 化简得， 所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆. 又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点， 所以， 解得， 所以m取值范围是. 18. 如图，平面，，. （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系 (Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行； (Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度. 【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得. 设，则. (Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. (Ⅱ)依题意，， 设为平面BDE的法向量， 则，即， 不妨令z=1，可得， 因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. (Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即. 不妨令y=1，可得. 由题意，有，解得 经检验，符合题意｡ 所以，线段的长为. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. （1）求点的轨迹方程； （2）点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； （3）当点在曲线上运动时，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析，（） （3） 【解析】 【分析】（1）由两直线斜率的关系得到两直线垂直，那么两直线交点就是垂足，由两直线过定点，所以交点轨迹是以两直线定点为直径的圆（注意特殊点不在圆上），由此得到圆的方程； （2）由（1）得出点，设点坐标得到，讨论直线斜率存在，写出直线方程，联立方程组后消元得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得的关系，代入直线方程得到定点坐标；讨论斜率不存在得到两点坐标的关系，由斜率乘积建立等量关系，求得坐标，得到直线，验证该直线同样经过前一种情况求得的定点； （3）因为点在圆上运动，所以由“阿波罗尼斯圆”思想构造一个点使得点，由三角形三边关系得到最大值. 【小问1详解】 当时，，此时，交点为 当时，由，斜率为t， 由，斜率为，综上，. 直线恒过，直线恒过，若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以EF为直径的圆， 又因为当代入方程得到不成立，所以点的轨迹不包含点. 则圆心为EF的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为 【小问2详解】 ，设， 当斜率存在时，直线的方程为，故 将直线方程与圆的方程进行联立， 整理得：， ∴ 将其带入中可得：， 化简得， ∴或， 由于M与A，不重合，则直线的方程为恒过定点（）； 当直线的斜率不存在时， 设，则， 故可得，即则直线，仍恒过定点， 综上可得，则直线恒过定点 【小问3详解】 ，易知R、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取，则，满足. 下面证明任意一点，都满足，即， 即,所以 ，即当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时，等号成立. 即的最小值为 【点睛】方法点睛，题中介绍到了“阿波罗尼斯圆”，本题可以借助这个定理来对线段进行转化，从而变成了两线段和最打问题，就可以借助三角形三边长来得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学2025—2026学年第一学期第一次月考 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 在平面直角坐标系中，直线绕它与轴的交点按顺时针方向旋转所得的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ） A. 1，3 B. ， C. -2，0 D. ， 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，则的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 12 8. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知直线 ，动直线 : ， 则下列结论正确的是（ ） A. 存在k、使得的倾斜角为90° B. 对任意的k，与都有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 10. 已知实数，满足，则下列选项成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 如图，正三棱柱中，，点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 不存在点P，使得 B. 面积的最小值为 C. 的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥体积之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为AB的中点，N为PD的中点.若PA=4，AB=2，则__________. 13. 已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为______. 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 16. 已知圆C经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点. （1）求圆C的方程； （2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M轨迹方程. 17. 已知圆C：和定点，直线l：（）. （1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长； （2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 18. 如图，平面，，. （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点. （1）求点轨迹方程； （2）点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点； （3）当点在曲线上运动时，求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $