精品解析：河南省安阳市林州市2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题B卷

九年级上学期第一次阶段自评（B） 数学 2025.10 （考试范围：1~48页 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程：①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 17 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 若，为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 5. 如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A. 1秒或4秒 B. 2秒或4秒 C. 2秒 D. 1秒 6. 二次函数图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．下列结论：①方程的两个根是，；②；③；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 13. 已知，是关于x的一元二次方程的两根，则 ______． 14. 劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从千克增加到千克，则平均每年增产的百分率为______． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________． 三、解答题 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求的值． 18. 已知关于x的一元二次方程．请完成下列各题． （1）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________________； （2）若该方程有两个不相等的实数根为，且满足，求m的值． 19. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． （1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）怎样围才能使矩形场地的面积为？ （3）当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 20. “荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． （1）当每千克荔枝降价5元时，每天销量可达________千克，每天盈利________元； （2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到336元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 21. 如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． （1）求和的值； （2）结合图像写出关于的不等式的解集； （3）已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 22. 如图，已知二次函数过点，． （1）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； （2）点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 23. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求此抛物线的表达式． （2）是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积． （3）抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次阶段自评（B） 数学 2025.10 （考试范围：1~48页 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程：①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；一般地，形如、、都是常数的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：①当时，不是一元二次方程； ②不是整式方程，也不是一元二次方程； ③不是一元二次方程； ④是一元二次方程； 一元二次方程的个数为个， 故选：A 2. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴， ∴， 故选：C． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 4. 若，为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代入求值，理解一元二次方程解的概念，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据题意可得，，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，为方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C ． 5. 如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A. 1秒或4秒 B. 2秒或4秒 C. 2秒 D. 1秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：D． 6. 二次函数图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移． 根据“上加下减，左加右减”写出平移后的函数解析式，并化为一般式即可． 【详解】解：二次函数图象向右平移个单位，再向上平移个单位， 所得图象的函数表达式是， 整理得， 故选：D． 7. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴和关于对称轴对称 ∴时，y随x增大而减小， ∵ ∴ 故选：D． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意； D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数性质；由题意构建二次函数是解题的关键．设，，则，，于是四边形的周长，根据二次函数性质求解． 【详解】解：令，则， 解得，， 抛物线与轴的交点为，， 设，则，， 令四边形的周长为，则， ， 时，取最大值，为6． 故选：D． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．下列结论：①方程的两个根是，；②；③；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对①进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以①正确； 当x=-1时，y=0，即a-b+c=0；故②正确， ∵x=-=1，即b=-2a， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0， ∴3a+c=0， ∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∴5a＜0， ∴8a+c＜0；故③正确； 当y＞0时，函数图象在x轴的上面， ∴x的取值范围是-1＜x＜3；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一次函数的性质，分两种情况：当，即时，此时为一次函数；当时，此时为二次函数，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数的图象与x轴只有一个交点， ∴当，即时，函数为，此时为一次函数，该函数图象与x轴只有一个交点， 当时，此时为二次函数，令，则，此时， 解得， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，且，再进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ∴且； 故答案为：且． 13. 已知，是关于x的一元二次方程的两根，则 ______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得，，代入，即可解答． 【详解】解：已知，，，， ，， ∴． 故答案为：13． 14. 劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从千克增加到千克，则平均每年增产的百分率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设平均每年的增产率为x，根据该作物的产量两年内从千克增加到千克，即可得出关于x的一元二次方程，解之取正值，即可得出结论． 【详解】解∶设平均每年的增产率为x，依题意得 ， 解得， (舍去) 故答案为∶． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，函数图像上点的坐标特征，熟练掌握函数图形是解题的关键．点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，设的函数表达式为：，求出的函数表达式，即可求出答案． 【详解】解：令，即， 解得， 令，， 故A、B、C的坐标为：， 函数对称轴， 点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，即为所求， 设的函数表达式为：， 将代入， 得， 解得， 的函数表达式为：， 将代入，， 故点P坐标是． 故答案为：． 三、解答题 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求出，从而得证； （）将代入方程得：，然后求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得：， 解得：， ∴的值为． 18. 已知关于x的一元二次方程．请完成下列各题． （1）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________________； （2）若该方程有两个不相等的实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解分式方程，一元二次方程的根与系数关系以及求判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为方程有两个不相等的实数根，所以，把数值代入计算，即可作答． （2）结合根与系数关系得，，因为，所以，解出的值，然后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵， ∴且； 【小问2详解】 解：∵该方程有两个不相等的实数根为， ∴， ∵ ∴ 解得： 经检验：是原分式方程的解，且 ∴． 19. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． （1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）怎样围才能使矩形场地的面积为？ （3）当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】（1）； （2）当为，为时，矩形场地的面积为 （3）当时，矩形场地的面积最大为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题中各量间的数量关系是解答本题的关键． （1）由，可求得矩形场地的宽，根据矩形的面积公式即可求得答案； （2）令，得到一元二次方程，求解可得答案； （3）根据二次函数的性质，即可求得答案． 【小问1详解】 由可知边所用篱笆为， ∴， ∴， 墙的长度不超过， ， ； 【小问2详解】 在中， 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， ， 当为，为时，矩形场地的面积为； 【小问3详解】 ，且， 当时，y取最大值，即矩形场地的面积最大为． 20. “荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． （1）当每千克荔枝降价5元时，每天销量可达________千克，每天盈利________元； （2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到336元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 【答案】（1）30，330 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意，列出算式求解即可； （2）根据题意，假设应降价元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【小问1详解】 解：当每千克荔枝降价5元时，销量为（千克）， 每天盈利为：（元） 所以，每天销量可达千克，每天盈利330元， 故答案为：30，330； 【小问2详解】 解：设应降价元，根据题意得， ， 解得或， 为让顾客得到实惠，取， 所以，每千克应降价4元． 21. 如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． （1）求和的值； （2）结合图像写出关于的不等式的解集； （3）已知点在抛物线上，若针对的不同取值，点的个数始终为2，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴二次函数开口向上， ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 22. 如图，已知二次函数过点，． （1）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； （2）点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的平移法则即可得解； （2）先求出，，得出，结合的面积为4，求出，再结合顶点为，抛物线开口向上，得出点在轴上方，纵坐标为，由此计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴将函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的函数的解析式为，即， 故顶点为， 【小问2详解】 解：存在， 在中，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴， ∵顶点为，抛物线开口向上， ∴点在轴上方，纵坐标为， 在中，当时，，解得或， ∴或． 23. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求此抛物线的表达式． （2）是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积． （3）抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），的面积为 （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）过点Q作x轴的垂线，交于点M，求出直线的解析式，设，则，求出，根据的面积为列关系式，再利用二次函数的性质即可解答； （3）先求出抛物线的对称轴为，设，再求出，由等腰三角形性质，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线中， 得：， 解得： 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，过点Q作x轴的垂线，交于点M， 抛物线中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， 此时，的面积为； 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为， 设， ∴， ①当时， 则， 解得：， 此时，； ②当时， 则， 解得：， ∴点的坐标为或； ③当时， 则，即， 解得：， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，二次函数与问题的问题，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $