精品解析：江苏省徐州市第十中学2025—2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2025—2026学年度第一学期第一次阶段性练习 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 6. 如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 8. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小，其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______． 11. 将二次函数的图像向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________． 12. 某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________． 13. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 15. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 16. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 19. 已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： （1）这个二次函数的解析式是______ ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像； （3）当时，的取值范围为______ ． 20. 【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 21. 某商家销售一种成本为每件元的商品．据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能售出件；若销售单价每涨元，每周销售量就减少件．设销售单价为元，一周的销售量为件． 求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 设一周的销售利润为元，求关于的函数表达式，并求出商家销售该商品的最大利润； 若该商家每周投入此商品的成本不超过元，问销售单价定位多少时，销售该商品一周的利润能达到元． 22. 如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． （1）求抛物线的表达式； （2）通过计算说明石块能否飞越城墙． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第一次阶段性练习 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义，化简为一般形式，是解题的关键． 【详解】解：A、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； B、方程整理为,是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； D、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：B． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 3. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 5. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：C． 6. 如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：B． 7. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答D，最后根据对称性说明C即可． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，故A正确； ∴顶点为， ∴抛物线的开口向下，故B正确； ∴当时，y随着x的增大而减小，故D正确； ∵抛物线对称轴为直线 ∴时，与时的函数值相等，即，故C错误； 故选：C． 8. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小，其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ，故①正确； 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点， ， ，故②错误； 对称轴为直线， ∴当和时的函数值相等，且都小于0， ，故③错误； ④当时，， ∴， 故④正确； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤正确， 正确的有①④⑤，共3个； 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 10. 已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11. 将二次函数的图像向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质，即可求得平移后的抛物线解析式． 【详解】解：根据平移性质可知，平移后的抛物线解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是抛物线平移的性质，左加右减，上加下减，注意加减运算都在自变量一侧． 12. 某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 13. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】令抛物线中， 即， 解得， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 15. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的应用，解题关键是运用数形结合的思想解决问题．由图像判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图像即可求解． 【详解】解：由图像可知二次函数的对称轴是直线， ∵该函数图像与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为， 故答案为：． 16. 已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象（如图所示），当直线与新图象有3个交点时，m的值是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，利用数形结合的思想是解题关键．如图，根据二次函数解析式可求出，，即得出新的函数解析式为，大致画出图象，利用图象可知当直线过点A时和当直线与相切时，直线与新图象有3个交点，据此求解即可． 【详解】解：对于， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴新的函数解析式为． 如图， 当直线过点A时，与新图象有3个交点， ∴， 解得：； 当直线与相切时，直线与新图象有3个交点，即此时一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 综上可知m的值是或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的两个实数根分别为α，β， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19. 已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： （1）这个二次函数的解析式是______ ； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像； （3）当时，的取值范围为______ ． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据，0时的函数值，再结合可知当时，，即可写出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为：， 把点代入得，解得， 抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∵对称轴为，， ∴， 当时，；当时，，开口向上，离对称轴越远函数值越大， 当时，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 20. 【阅读材料】解方程：． 解：设，则原方程可变形为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学中的转化思想． 【问题解决】请运用上述方法解方程：． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中解法是解答的关键．仿照题中解法，设，则原方程可变形为，解方程得，，进而分别解关于x的方程即可解答． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 则 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，，，． 21. 某商家销售一种成本为每件元的商品．据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能售出件；若销售单价每涨元，每周销售量就减少件．设销售单价为元，一周的销售量为件． 求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 设一周的销售利润为元，求关于的函数表达式，并求出商家销售该商品的最大利润； 若该商家每周投入此商品的成本不超过元，问销售单价定位多少时，销售该商品一周的利润能达到元． 【答案】（1）y=880-8x（60≤x≤110）；（2）W=-8x2+1280x-44000，最大利润为7200元；（3）销售单价定位90元时，销售该商品一周的利润能达到元． 【解析】 【分析】（1）根据销售量=400-8（销售单价-60）求得函数解析式即可；（2）根据题意写出w与x之间的函数关系式，把所得的函数关系式化为顶点式，结合二次函数的性质解答即可； （3）令y=6400，求出x的实际取值，结合此商品的成本不超过10000元即可得出答案． 【详解】（1）由题意得： y=400-8（x-60）=880-8x（60≤x≤110）； （2）根据题意可得：W=（x-50）（880-8x）， =-8x2+1280x-44000， =-8（x-80）2+7200， ∴当x=80时，可获得最大利润，最大利润为7200元； （3）由题意得：-8（x-80）2+7200=6400， 解得：x1=70，x2=90， 当x=70时，成本=50×（880-8x）=16000＞10000不符合要求，舍去． 当x=90时，成本=50×（880-8x）=8000＜10000符合要求． ∴销售单价定位90元时，销售该商品一周的利润能达到元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值，准确分析题意，列出w与x之间的二次函数关系式是解题关键． 22. 如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，． （1）求抛物线的表达式； （2）通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】（1） （2）石块不能飞越城墙， 当时，， ∴当到城墙时，石块高度为， ， ∵， ∴石块不能飞越城墙． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 略 23. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，即可求解； （3）设点，根据是以为底的等腰三角形，所以，则，求解即可得出t值，进而求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为：， 对于一次函数， 当时，， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 即抛物线的表达式为： 【小问2详解】 解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小， 理由：的周长为最小， 设直线的表达式为 把，代入得： ，解得 ∴直线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 当时，，即点； 【小问3详解】 解：存在，理由： 设点 ∵直线与y轴的交点为D， 当时，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ， ． ∵， ∴． 即P点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合题目，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $