专题4.2 等差数列的概念与通项公式（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题4.2 等差数列的概念与通项公式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 等差中项】 2 【题型2 等差数列的判定与证明】 3 【题型3 利用等差数列的性质计算】 6 【题型4 等差数列的单调性】 7 【题型5 求等差数列中的最大（小）项】 9 【题型6 等差数列的应用】 10 【题型7 等差数列通项公式的基本量计算】 12 【题型8 等差数列的通项公式】 14 【题型9 利用等差数列通项公式求数列中的项】 16 知识点1 等差数列的概念 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【题型1 等差中项】 【例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等差中项的定义可求得结果. 【解答过程】、的等差中项为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·新疆·阶段练习）方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先利用韦达定理求出方程的两根，再根据等差中项的定义即可得解. 【解答过程】设方程的两根为，则， 所以方程的两根的等差中项为. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若数列是等差数列，且，则（    ） A．22 B．32 C．20 D．10 【答案】A 【解题思路】利用等差中项列式求解即可. 【解答过程】数列是等差数列，则是和的等差中项，有. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【解题思路】运用等差中项概念及性质可解. 【解答过程】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）在数列中，，，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 【答案】B 【解题思路】由已知递推关系式得到，根据等差数列定义可得结果. 【解答过程】由得：，即， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，ACD错误，B正确. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知数列满足 ，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】先证明出充分性成立，再证明出必要性成立，得到答案. 【解答过程】由题意得， 若，则，即， ，即， 由与得， 由与得， 依此类推，可得，故是等差数列，充分性成立， 若是等差数列，不妨设，则， 故，即 因为，所以， 所以，必要性成立， 故“”是“是等差数列”的充要条件. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·河南开封·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【解题思路】（1）根据递推关系可求，； （2）将题设的递推关系整理为后可证明是等差数列，从而可求的通项公式. 【解答过程】（1）依题意，，， 所以，， 所以，. （2）依题意，，， 所以， 所以是首项为，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【解题思路】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【解答过程】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 知识点2 等差数列的性质 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【题型3 利用等差数列的性质计算】 【例3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的性质，可得答案. 【解答过程】因为，解得. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】由等差数列性质列方程组即可求解. 【解答过程】因为四个正数成等差数列，所以，解得． 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【解题思路】利用等差数列下标和的性质得，进而可求. 【解答过程】由，得，即，所以 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二上·重庆·期末）已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【解题思路】由等差数列的性质求解即可. 【解答过程】因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 【题型4 等差数列的单调性】 【例4】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【解答过程】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二·全国·课后作业）已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断. 【解答过程】等差数列的图象所在直线的斜率， 则直线呈下降趋势，故数列单调递减. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【解答过程】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【解答过程】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 【题型5 求等差数列中的最大（小）项】 【例5】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【解题思路】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【解答过程】由题意， ， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】4 【解题思路】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其增减性，求得最小值. 【解答过程】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差， 故为正整数，关于d单减， ，则当时，故取得最小值为4， 故答案为：4. 【变式5-2】（2025·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【答案】196 【解题思路】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可. 【解答过程】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 令，解得， 则数列的最大项为， 所以该数列最大项和最小项之和为． 故答案为：196. 【变式5-3】（24-25高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①；②；③是各项中最大的项；④是中最大的值；⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【解题思路】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果． 【解答过程】等差数列中，，，所以，则． 所以，则． 所以①正确． ②整理得正确． ③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误． ④是中最大的值，正确； ⑤为递增数列．错误，应改为递减数列． 故答案为：①②④． 【题型6 等差数列的应用】 【例6】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】A 【解题思路】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案. 【解答过程】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为壬， 由于，余数为4，故100年后地支为午， 综上：100年后的2122年为壬午年. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【解题思路】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【解答过程】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【解题思路】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【解答过程】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， 且，故公差， 故， 故选：B. 【变式6-3】（24-25高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【解题思路】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【解答过程】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D. 知识点3 等差数列的通项公式 1．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*，m≠n)，则 【题型7 等差数列通项公式的基本量计算】 【例7】（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式求出即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为， 则，解得. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高二上·河南安阳·期末）设等差数列的公差为，若，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，故公差. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·云南昆明·期末）若公差为的等差数列满足，，则n等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】由等差数列的通项公式，建立方程，可得答案. 【解答过程】由题意可得，则，解得. 故选：B. 【变式7-3】（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案 【解答过程】因为，所以, 解得,所以等差数列为正数等差数列，所以 故选：B. 【题型8 等差数列的通项公式】 【例8】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【解答过程】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 【变式8-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式. 【解答过程】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知是等差数列，若，． (1)求的通项公式； (2)证明是等差数列． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，得，结合等差数列的通项公式即得； （2）根据等差数列的定义可证. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，，， 所以， （2）证明：因为 所以是公差为的等差数列. 【变式8-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式解得答案； （2）根据（1）的通项公式，设是数列的第k（k为正整数）项，计算得k为正整数，同理设是数列的第m（m为正整数）项，计算的，m不是正整数，从而得证； 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 【题型9 利用等差数列通项公式求数列中的项】 【例9】（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知数列是等差数列，且，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的公式计算即可. 【解答过程】由等差数列公式得：， 所以， 所以. 故选：A. 【变式9-1】（24-25高二上·山西临汾·期末）在等差数列中，，则（    ） A．16 B．8 C．10 D．14 【答案】A 【解题思路】计算，再根据计算得到答案. 【解答过程】设等差数列的公差为，，所以， 所以. 故选：A. 【变式9-2】（24-25高二上·天津·期末）某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（    ） A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的通项公式计算可得结果. 【解答过程】设该同学每天的运动时长构成等差数列，公差为， 由题意得，， ∴，即该同学第十天的运动时长为55分钟. 故选：C. 【变式9-3】（24-25高二上·四川德阳·期末）等差数列满足，，则（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【解题思路】设等差数列的公差为，先根据条件列方程求出和，再利用等差数列的通项公式求即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由已知可得， 解得， 所以. 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 等差数列的概念与通项公式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 等差中项】 2 【题型2 等差数列的判定与证明】 2 【题型3 利用等差数列的性质计算】 4 【题型4 等差数列的单调性】 4 【题型5 求等差数列中的最大（小）项】 5 【题型6 等差数列的应用】 5 【题型7 等差数列通项公式的基本量计算】 6 【题型8 等差数列的通项公式】 6 【题型9 利用等差数列通项公式求数列中的项】 7 知识点1 等差数列的概念 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【题型1 等差中项】 【例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·新疆·阶段练习）方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若数列是等差数列，且，则（    ） A．22 B．32 C．20 D．10 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【题型2 等差数列的判定与证明】 【例2】（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）在数列中，，，则数列是（    ） A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为的等差数列 D．不是等差数列 【变式2-1】（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知数列满足 ，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（24-25高二上·河南开封·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 知识点2 等差数列的性质 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【题型3 利用等差数列的性质计算】 【例3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 【变式3-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式3-3】（24-25高二上·重庆·期末）已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【题型4 等差数列的单调性】 【例4】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二·全国·课后作业）已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 【变式4-2】（24-25高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型5 求等差数列中的最大（小）项】 【例5】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【变式5-1】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【变式5-2】（2025·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【变式5-3】（24-25高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①；②；③是各项中最大的项；④是中最大的值；⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【题型6 等差数列的应用】 【例6】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【变式6-1】（24-25高二上·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【变式6-2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式6-3】（24-25高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 知识点3 等差数列的通项公式 1．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*，m≠n)，则 【题型7 等差数列通项公式的基本量计算】 【例7】（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 【变式7-1】（24-25高二上·河南安阳·期末）设等差数列的公差为，若，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-2】（24-25高二上·云南昆明·期末）若公差为的等差数列满足，，则n等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式7-3】（24-25高二上·海南·期末）若在等差数列中，．则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【题型8 等差数列的通项公式】 【例8】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知是等差数列，若，． (1)求的通项公式； (2)证明是等差数列． 【变式8-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【题型9 利用等差数列通项公式求数列中的项】 【例9】（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知数列是等差数列，且，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·山西临汾·期末）在等差数列中，，则（    ） A．16 B．8 C．10 D．14 【变式9-2】（24-25高二上·天津·期末）某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（    ） A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟 【变式9-3】（24-25高二上·四川德阳·期末）等差数列满足，，则（    ） A．4 B．3 C． D．2 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $