4.2.1-4.2.2 第2课时 等差数列的性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦等差数列的性质这一核心知识点，系统梳理了“若m+n=p+q则am+an=ap+aq”“子数列仍为等差数列”等关键性质，结合通项公式的一次函数特征（点分布在斜率为d的直线上），承上等差数列定义与通项公式，启下后续求和及综合应用，构建深化理解与解题的知识支架。 通过几何直观（斜率解释公差几何意义）培养数学眼光，借助出租车计费、公司利润变化等实际问题渗透数学建模（用数学语言表达现实世界），例题采用灵活设元法提升推理能力（数学思维），课时分层作业设计助力课后查漏补缺，兼顾不同学生需求，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固强化。

第2课时　等差数列的性质 学习任务 核心素养 1．掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点) 2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点) 1．通过对等差数列性质的学习，培养数学运算素养． 2．借助对等差数列的实际应用，培养数学建模及数学运算素养． 如图，第一层有1个球，第二层有2个球，最上层有16个球，那么，从上面数第二层有几个球？每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？每隔三层呢？ 知识点1　等差数列的图象 等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一系列孤立的点． 1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ [提示]　等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)的直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝． 知识点2　等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (4){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 2．若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？ [提示]　不一定．如非零常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3． 1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　) A．20　　　B．22　　　C．24　　　D．26 C　[∵{an}为等差数列，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120， ∴a4＋a12＝a6＋a10＝2a8， a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120， ∴a8＝24， 则2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8＝24．] 2．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________． 15　[由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12＝15．] 类型1　灵活设元解等差数列 【例1】　已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是否为该数列的项． [思路探究]　前三项可以设为a－d，a，a＋d，也可以直接用“通法”解决． [解]　法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，解得a＝6． 又前三项的乘积为66， ∴6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5． 由于该数列单调递减，∴d＝－5，且首项为11， ∴通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16． 令－5n＋16＝－34，解得n＝10． ∴－34是数列{an}的第10项． 法二：依题意得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减等差数列， ∴d＜0．故a1＝11，d＝－5． ∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16， 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16． 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，解得n＝10． ∴－34是数列{an}的第10项． 　等差数列的设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列． (2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d． (3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d． [跟进训练] 1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． [解]　设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d． 由已知有 整理得 解得a＝1，d＝±． 当d＝时，这5个数分别是－，1，； 当d＝－时，这5个数分别是，1，，－． 综上，这5个数分别是－，1，或，1，，－． 类型2　等差数列的实际应用 【例2】　某公司2024年生产一种数码产品，获利200万元，从2025年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？ [解]　记2024年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司生产此产品将出现亏损． 设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20， 所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n． 由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0，即220－20n＜0，解得n＞11， 即从第12年起，也就是从2035年开始，该公司生产此产品将出现亏损． 　解决等差数列实际问题的基本步骤 (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题； (2)构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3)利用通项公式解决等差数列问题； (4)将所求出的结果回归为实际问题． [跟进训练] 2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往路程为14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费________元． 23.2　[根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．] 类型3　等差数列的性质 【例3】　(1)已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32　 　　B．27　　 　C．24　　 　D．16 (2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________． (1)C　(2)　[(1)法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， 所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24． 法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则am＋an＝ap＋aq． ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7． 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5， ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24． (2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a＝， 则b＝2－＝． 根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，∴这个等差数列的顺序为，c，d，． 则c＝，d＝． ∴m＝ab＝，n＝cd＝． ∴|m－n|＝＝．] [母题探究] 1．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15． [解]　法一：因为a5，a10，a15成等差数列， 所以a5＋a15＝2a10． 所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32． 法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d， 所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝． 所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32． 2．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8． [解]　法一：∵在等差数列{an}中 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， ∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450． 解得a5＝90． ∴a2＋a8＝2a5＝180． 法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．根据an＝a1＋(n－1)d， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450．∴a1＋4d＝90． 而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180． 　等差数列性质的应用技巧 已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：在等差数列{an}中， (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为： 若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak． (2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap． 1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　) A．5　　　　B．8　　　　C．10　　　　D．14 B　[由a3＋a5＝a1＋a7可得a7＝10－2＝8．] 2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 A　[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5．] 3．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 A　[∵a2＋a8＝2a5，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3．方程中Δ＝(a4＋a6)2－4×10＝(2a5)2－40＝(2×3)2－40＝－4＜0．∴方程无实根．] 4．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________． 1或2　[∵a，b，c成等差数列， ∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)20． ∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2．] 5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解]　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．又四个数成递增等差数列，所以d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 等差数列有哪些常见的性质？ [提示]　(1) an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． (2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq． 特别地：①若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak． ②若{an}为有穷等差数列，则与首末两项“等距”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (3)下标(项的序号)成等差数列，且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．如a1，a3，a5，…组成公差为2d的等差数列；a3，a8，a13，…，a5n－2，…组成公差为5d的等差数列． 课时分层作业(二十三)　等差数列的性质 一、选择题 1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(　　) A．－1　　　B．－2　　　C．－3　　　D．－4 C　[由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6，d＝－3．] 2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　[∵2an＝an－1＋an＋1， ∴{an}是等差数列， 由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9， ∴a3＋a4＝3＋4＝7．] 3．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝(　　) A．39 B．20 C．19.5 D．33 D　[由等差数列的性质，得 a1＋a4＋a7＝3a4＝45， a2＋a5＋a8＝3a5＝39， a3＋a6＋a9＝3a6． 又3a5×2＝3a4＋3a6， 解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33．] 4．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第一个月起利润成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 B　[设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{an}，公差为d，则a2＝2 500，a5＝4 000． 由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500． 由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7．] 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位)，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．这个问题中，甲所得为(　　) A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 B　[根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， ① a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， ② 联立①②得a＝1，d＝－，则甲所得为1－2×＝钱．] 二、填空题 6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________． 132　[在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33．∴a45＝33＋3×33＝132．] 7．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________． 2 ℃　－11 ℃　－37 ℃　[用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n． ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．] 8．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________． 18　[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17， ∴a7＝． 又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77， ∴a9＝7． 故d＝＝＝． ∵ak＝a9＋(k－9)d＝13， ∴13－7＝(k－9)×， ∴k＝18．] 三、解答题 9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28．求数列{an}的通项公式． [解]　法一：设{an}的首项为a1，公差为d， 则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d． 代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±． 当d＝时，a1＝－，an＝n－； 当d＝－时，a1＝，an＝－n＋． 法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12， ∴a8＝4． a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28， ∴16－25d2＝7， ∴d＝±． 当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝n－； 当d＝－时，an＝－n＋． 法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12， ∴a8＝4，∴ ∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根， ∴或 由a3＝1，a13＝7，得d＝＝， ∴an＝a3＋(n－3)d＝n－． 同理，由a3＝7，a13＝1， 得an＝－n＋． 10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． [解]　法一：设这三个数为a，b，c(a<b<c)，则由题意得 解得 ∴这三个数为4，6，8． 法二：设这三个数为a－d，a，a＋d， 由已知得 由①得a＝6，代入②得d＝±2， ∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数为4，6，8． 11．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的量为(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 C　[易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a1，公差为d(d＞0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝．故最小一份的量为个，故选C．] 12．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________． 15　[不妨设A＝120°，c<b，b＞0， 则a＝b＋4，c＝b－4， 于是cos 120°＝＝－， 解得b＝10， 所以S△ABC＝bc sin 120°＝15．] 13．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a3＋b3＝________，an＋bn＝________． 100　100　[设两个等差数列的公差分别为d1，d2，∴a2＝a1＋d1，b2＝b1＋d2，∴a2＋b2＝a1＋b1＋d1＋d2， 即100＝100＋d1＋d2，∴d1＋d2＝0．∴a3＋b3＝a1＋b1＝100，∵d1＋d2＝0，∴{an＋bn}是常数列，即an＋bn＝100．] 14．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________． 　[n－m＝3d1，d1＝(n－m)． 又n－m＝4d2，d2＝(n－m)． ∴＝＝．] 15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场平均出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 甲　　　　　　　　乙 请根据提供的信息，回答下列问题： (1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)哪一年的规模最大？请说明理由． [解]　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10． 从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn． (1)由a1＝1，a6＝2， 得 ∴⇒a2＝1.2； 由b1＝30，b6＝10， 得 ∴⇒b2＝26． ∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2． ∴第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只． (2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． (3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8(1n6，n∈N*)， bn＝30＋(n－1)×(－4) ＝－4n＋34(1n6，n∈N*)， ∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1n6，n∈N*)． ∵对称轴为n＝，∴当n＝2时，cn最大． 即第2年的规模最大． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $