专题14 双曲线的几何性质（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题14双曲线的几何性质 题型一：由双曲线的方程求几何性质 题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程 题型三：双曲线的渐近线问题 题型四：双曲线的离心率问题（定值） 题型五：双曲线的离心率问题（最值或范围） 题型六：根据双曲线的离心率求参数 题型七：直线与双曲线的位置关系 题型八：弦长问题 题型九：三角形面积问题 题型十：中点弦和点差法 题型一：由双曲线的方程求几何性质 1．满足双曲线的是（    ） A．焦距是2 B．离心率是 C．渐近线是 D．实轴是4 【答案】D 【分析】根据双曲线方程确定焦距、离心率、渐近线、实轴，即可得. 【详解】由双曲线，则、、， 所以焦距为，离心率为，渐近线斜率为，实轴长为4. 故选：D 2．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定. 【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为. 由双曲线的方程可得：,. 双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误； 因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误； 因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确； 因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误. 故选：C. 3．已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，得，要由，解得，故当时，即可得到答案. 【详解】设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得 ，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是． 故选：D. 4．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式. 【详解】点在上，则，且或， 因，则，， 则， 解得，故或. 故选：B 5．（多选）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ACD 【分析】由有，逐项验证即可求解. 【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 6．（多选）已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【答案】BD 【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 因为，所以它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：BD 题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程 7．若双曲线与双曲线的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“共渐双曲线”.设为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线与双曲线为“共渐双曲线”，且双曲线的焦距为16，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合双曲线定义，可得，，结合，可得，即得渐近线，进而可得，结合焦距即可求解. 【详解】 由题意：， 设为双曲线的左焦点，由双曲线的定义，故， 由于， 化为，故， 则进而可得， 故双曲线的渐近线方程为， 因此的渐近线方程为，即， 由于焦距为，解得， 故的方程为. 故选：C 8．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线方程为，将代入，求出，可求双曲线的标准方程． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为， 将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 故选：D． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据可得，根据点在渐近线上可得，求出后可得标准方程. 【详解】设半焦距为， 因为，故， 故，而渐近线方程为，故， 而，故，故双曲线的标准方程为：. 故答案为： 10．已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】抓住共渐近线即渐近线斜率一样，焦点与有关，结合可解. 【详解】设双曲线的半焦距为，直线过双曲线的焦点，所以双曲线的右焦点为， 所以.因为的渐近线方程为，所以. 结合，解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 11．（1）求满足下列条件的双曲线的标准方程： ①双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为4； ②双曲线与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据渐近线得到，根据距离得到，进而得到答案．②设双曲线方程为，，代入点坐标，计算得到答案； （2）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程． 【详解】（1）①已知双曲线的焦点在轴上， 所以可设的标准方程为， 又的渐近线方程为，所以，即， 由的两顶点之间的距离为4，得，所以，． 故双曲线的标准方程为； ②因为与双曲线 有共同的渐近线， 所以可设为：，， 因为过点，则，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设椭圆方程为，则 经过两点，， ，，， 椭圆方程为． 12．根据条件分别求双曲线的标准方程： (1)与双曲线有共同渐近线，且过点； (2)与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线为直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求出结果； （2）先利用椭圆的方程得出双曲线的焦点，得出，再利用条件得到，即可求出结果. 【详解】（1）由题可设所求双曲线方程为， 由题意可知，解得, 故所求双曲线的标准方程为. （2）由椭圆，可得椭圆两焦点为， 设双曲线方程为， 所以双曲线的两焦点为，得到， 又为双曲线的一条渐近线，所以，即， 又，解得， 所以双曲线C的方程为. 题型三：双曲线的渐近线问题 13．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据渐近线的求法可直接求解. 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得． 故选：D. 14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线的方程和得P点坐标，再由P点在C上求出即可由渐近线的定义得解. 【详解】设，因为，，所以直线的方程为， 又，所以，得， 又点P在直线上，所以，则，所以, 所以，解得，故所求渐近线斜率为.    故选：C 15．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】求出右焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】因为，所以， 可得右焦点坐标为，其中一条渐近线方程为， 右焦点到其渐近线的距离为. 故选：B. 16．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上， 所以，，所以，即. 又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以， 即，解得或（舍）. 故选：C. 16．已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线离心率及之间的关系，求出即可得解. 【详解】∵，则， ∴， 所以双曲线渐近线方程为． 故选：D. 题型四：双曲线的离心率问题（定值） 17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义表示出线段长，根据勾股定理，可得答案. 【详解】 由题意得，而后根据题意可知，， 在中，得， 从而，即. 故答案为：. 18．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设直线方程，然后将的坐标表示出来，进而根据已知条件可以得到的关系，然后将点代入双曲线方程，化简即可求得离心率. 【详解】依题意，设直线方程为，则. 因为，, 所以为的中点，那么. 所以. 又，所以，解得①. 将点代入双曲线方程得：②. 将①代入②得，方程两边同时除以， 得到，解得. 又，所以. 故选：B. 19．已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合双曲线的定义及得，再由和余弦定理得到齐次式，即可得离心率. 【详解】设，则， 所以，则， 由，则，故， 综上，， 由，则， 所以，可得， 所以. 故选：C 20．已知、分别是双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点，满足，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意得出，结合平面向量数量积的运算性质、双曲线的定义可得出，然后利用余弦定理可得出、的等量关系，由此可求得双曲线的离心率的值. 【详解】显然点是线段的中点，则， 即， 因，， 解得， 由余弦定理可得 ， 即，故，即， 则. 故答案为：. 21．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则该双曲线的离心率 . 【答案】/ 【分析】取为渐近线上一点，易知，设，结合和余弦定理得到，进而有，结合双曲线参数关系得到齐次式，即可得离心率. 【详解】如图，不妨取为渐近线上一点，由直径所对的圆周角为直角， 所以，又为的中点，则， 因为，设，则， 因为，所以， 在和中， 所以，所以， 则为锐角，，即，则， 所以. 故答案为： 题型五：双曲线的离心率问题（最值或范围） 22．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出的范围，进而可得出答案. 【详解】解：设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为， 则， 双曲线的半实轴长为，则， 又双曲线的离心率的取值范围为， 所以，所以， 所以，即该椭圆的焦距的取值范围是. 故选：B. 23．已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围． 【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得， 此时，所以， 解得，所以， 当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意. 综上，解得. 故选：A． 24．已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出再根据(点为坐标原点)的面积为2，即得，解不等式即得解. 【详解】解：取双曲线的渐近线为，即的方程为， 直线的方程为， 联立，解得 ，即， 又 解得 的取值范围为 故选：D. 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法：（1）公式法（求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（由已知得到关于的方程，解方程即得解）.要根据已知条件选择合适的方法求解. 25．已知c是双曲线(，)的半焦距，离心率为，则的最大值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线半焦距化简，接着根据基本不等式求最值即可. 【详解】因为c是双曲线(，)的半焦距， 所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线简单的几何性质，比如顶点，焦点，焦距，实轴长，虚轴长等等需要熟记. 26．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由双曲线的离心率为3和，求得，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线的离心率为3，即，即， 又由，可得， 所以， 当且仅当，即时，“”成立. 故选：D. 【点睛】使用基本不等式解答问题的策略： 1、利用基本不等式求最值时，要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件； 2、若多次使用基本不等式时，容易忽视等号的条件的一致性，导致错解； 3、巧用“拆”“拼”“凑”：在使用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件. 27．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围． 【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的， 则椭圆与双曲线共焦点，设，则，， ，， ， ， 设，则， 解得，即， 又，且， ， 故的取值范围是． 故答案为： 28．已知点F为双曲线的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先根据（点O为坐标原点）的面积为2找到，再根据，找到，最后联立求解a的取值范围即可. 【详解】由题意可知：点F到渐近线的距离等于， 从而即， 又，所以， 则，又， 所以，解得. 故答案为：. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 题型六：根据双曲线的离心率求参数 29．已知双曲线C：的离心率，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用离心率公式计算即可. 【详解】若曲线C：表示双曲线，且， 则双曲线标准方程为，， 则，即. 故选：A. 30．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线标准方程及离心率公式求解. 【详解】因为双曲线方程为， 所以，，， 因为离心率为，所以， 解得：，所以. 故选：C. 31．已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即,解得或,又因为,即. 故选：A 32．（多选）若双曲线的离心率是2，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据双曲线的解析式，确定取值范围，分和两种情况结合双曲线离心率列出方程解得即可. 【详解】因为双曲线方程为，所以有， 解得或；双曲线离心率为 若，则有，，双曲线离心率为， 即，解得； 若，则有，，双曲线离心率为， 即，解得；所以或. 故选：BC 33．已知双曲线的离心率为，则 ． 【答案】或 【分析】直接利用双曲线的方程，求出，，，利用离心率公式求解即可． 【详解】解：双曲线， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ，即，解得， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ， 可得，即，可得． 故答案为：或． 34．已知双曲线的离心率，圆与双曲线E的渐近线相切，则 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式得，根据离心率公式求得，等量关系，即可求解． 【详解】解：由题可知双曲线其中一条渐近线方程，即， 因为其与圆相切， 故可得：①， 又，所以， 因为，所以②， ②代入①得， 则． 故答案为：． 35．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断椭圆与双曲线共焦点，再由结合求解可得. 【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为， 由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点， 设，则， ，设，则，解得，即， 又，且，故的取值范围是. 故答案为： 题型七：直线与双曲线的位置关系 36．若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线和直线方程过原点得出的范围． 【详解】解：双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线有两个不同的交点， 又直线过原点，则 则的取值范围是. 故选：B． 37．若双曲线与直线不相交，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线的渐近线即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线与直线不相交， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 38．若直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】由直线恒过定点，直线不可能与双曲线相切，只能直线平行与渐近线. 【详解】由于直线恒过定点，所以直线不可能与双曲线相切．要满足有且只有一个交点，直线必须平行于双曲线的渐近线，渐近线方程为，所以， 解得 故答案为： 39．若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一）. 【分析】由题，若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则渐近线比直线更陡，即，求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】若直线与双曲线的右支只有一个公共点， 则，解得：. 故的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 40．直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【详解】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，    又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 41．直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【详解】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时； 当直线与渐近线不平行时，此时， 联立，整理可得， 因此，解得. 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或 42．已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）双曲线离心率（为双曲线的半焦距），焦点到渐近线（即）的距离，且.再根据已知条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程. （2）将直线方程代入双曲线方程，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，结合直线与双曲线左支交于不同两点的条件来确定的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的离心率，可得，即. 又因为焦点到渐近线的距离为， 根据点到直线距离公式，而，所以，则. 由且，，可得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得. 因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以. 由，解得. 对于，即，解得. 由，（结合），所以，解得. 由，解得，即或. 综合以上条件，取交集得. 则实数k的取值范围为. 题型八：弦长问题 43．已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据斜率乘积得，再代入即可得其曲线方程； （2）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到的表达式即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意，故．解得． 将代入得，所以， 故双曲线的方程为． （2）过点的直线（与轴不重合），故设直线． 设，联立，整理得：， 且， 故， 故． 即， 则， 即， 解得或，即或： 故的方程为：或． 44．双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过作直线与双曲线交于点，若弦的长为42，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据点在双曲线上，结合双曲线定义得出，结合焦点坐标得出双曲线方程； （2）先设直线方程，再联立方程组应用弦长公式结合韦达定理计算求参即可得出直线方程. 【详解】（1）因为双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上， 所以 ． 所以，，． 所以双曲线的方程为． （2）若直线的斜率为0，则长度为6，不符合题意． 当直线斜率不为0时，设直线，与双曲线联立，得． 当时，恒成立， 设，， 因为的长为42，， 所以，解得或． 所以直线的方程为或．    45．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可. （2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可. 【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以， 化简得：.所以的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； 设，，直线方程为， 与联立得：， 由且，解得且， 由韦达定理得， 因为线段中点在第一象限，且纵坐标为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线为，所以， 所以. 46．已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)求双曲线C的方程． (2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用点差法求直线的斜率，并求解直线方程，与双曲线方程联立，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得椭圆的焦点为，， 设双曲线方程为， 则，∴， 解得， 双曲线方程; （2）把，分别代入双曲线，两式相减，得 ， 把，，代入，得， ，直线的方程为，即 把代入，消去y得， . 47．已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线关系可求得，由此可得双曲线方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得的值. 【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为，设焦点坐标为， 焦点到渐近线的距离， 又离心率，，解得：， 双曲线的方程为：. （2）由得：， 则，解得：且， 设，则，， ， 即，解得：或，均满足且， 或. 48．已知双曲线C的渐近线为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入可求得，整理可得结果； （2）联立直线与双曲线的方程，设，，故可得，，利用列等式可求得，然后利用弦长公式求即可 【详解】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：， 又双曲线过点， 双曲线的方程为： （2）设，，联立，化为． ∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为． ∴，（*） ∵，∴．∴， 又，，∴， 把（*）代入上式得，化为．满足．∴． 由弦长公式可得 49．已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为， (1)求双曲线C的离心率e (2)若直线与C相交于不同的两点A，B，且，求双曲线C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线C的渐近线方程结合即可求出双曲线C的离心率； （2）联立直线与双曲线C的方程，由弦长公式代入求解即可. 【详解】（1）可设双曲线C的方程为，则其渐近线方程为， 所以， 所以离心率； （2）设，则由得， 所以， 因为， 所以，得， 故双曲线C的方程为． 题型九：三角形面积问题 50．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为 (1)求C的方程; (2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据余弦定理和面积公式列方程求解即可； （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示的面积即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 在中，由，得， 由，解得， 又由余弦定理得，， 化简得，即， ，从而， 所以，双曲线方程为. （2） 设直线l的方程为，与双曲线相交于，， 联立化简可得， 由，可得， ，， 所以，， 设点到直线l的距离为d，则， 故，解得 故l的方程为. 51．已知双曲线，点在双曲线上，且其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程 【答案】(1) (2)与 【分析】（1）根据题意得到关于双曲线参数的方程组，解之即可得解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理与弦长公式将的面积化为关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为双曲线，点在双曲线上，且其离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去,得， 则且，即且， 设，则， 又， 即，则， 整理得，即， 又，所以，解得， 所以直线的方程为与. 52．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线实轴长得到，代入，求出，得到双曲线方程； （2）写出直线的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，求出点到直线的距离，从而求出三角形面积. 【详解】（1）由已知双曲线的实轴长为，即得， 所以双曲线方程为， 又双曲线过点，则，解得， 则双曲线方程； （2）由已知直线，即， 联立直线与双曲线，即， 得，， 且，， 则弦长 又为双曲线的左焦点，， 所以点的坐标为， 点到直线的距离为， 所以的面积， 所以的面积为. 53．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到、、的方程组，求出、即可得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由两点均在的左支求出，再由，利用换元法及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线为， 故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为； （2）依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为， 设，， 由，可得， 由得， 所以，， 则， ， 因为两点均在的左支上，所以，解得，即， 所以 ， 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以. 54．已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)直线的方程为或. 【分析】（1）根据双曲线的离心率得双曲线的渐近线方程，再根据顶点到渐近线的距离求得的值，从而得的值，即可得双曲线的方程； （2）由题可设直线，，则，联立直线与双曲线方程得交点坐标关系，再根据四边形的面积求得的值，即可得直线的方程. 【详解】（1）双曲线的离心率为，则， 所以，故双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的顶点到渐近线的距离为，则， 故， 所以双曲线的方程为； （2）已知直线过原点，与交于两点，与交于两点， 则关于原点对称，关于原点对称， 由题可设直线，，则， 联立， 则且， 得或 ， 所以， 点到直线的距离为， 所以四边形的面积， 则，整理得， 解得或，所以或， 所以直线的方程为或. 55．双曲线左右焦点分别为，，若双曲线经过点，且离心率 (1)求双曲线的方程； (2)过作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求的面积为坐标原点） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）先求出直线的方程，求出原点到直线的距离，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，进而可得出答案. 【详解】（1）因为双曲线经过点， 所以，解得，则双曲线的方程为 （2）由（1）知，所以直线的方程为， 即，此时原点到直线的距离 不妨设，联立，消去并整理得， 此时，由韦达定理得 所以 则的面积 【点睛】 题型十：中点弦和点差法 56．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，由点差法分析得到，然后将各个选项代入等式后求得，然后得到直线方程，验证直线方程与曲线是否存在交点即可. 【详解】设，，则中点坐标为 ∴，则， ∴， A选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点不存在，舍去； B选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点不存在，舍去. C选项知，则，则直线，则整理得，此时，这样的点存在. A选项知，则，则直线，因为，所以直线是曲线的一条渐近线，故这样的点不存在，舍去. 故选：C. 57．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得. 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 58．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 59．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、，由，利用点差法求解. 【详解】解：设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 60．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设得到和，解出，即可求解； （2）设弦的两端分别为，，利用点差法得到，再利用条件，可得，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的焦点为， ， 所以，则①， 又双曲线的渐近线为，所以，即②，由①②，解得， 所以双曲线的方程为． （2）设弦的两端分别为，． 则有，两式作差得，整理得到， 因为弦中点为，所以， 故直线的斜率， 则所求直线方程为，即． 61．已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，过点作直线交轨迹于两点. (1)求的轨迹方程； (2)若恰为弦的中点，求直线的方程. 【答案】(1)，（）． (2) 【分析】（1）设，根据斜率公式可得，化简即可得出答案． （2）根据点差法即可作差化简，求解斜率，由点斜式求解直线方程即可得出答案． 【详解】（1）设， 由题意知，，， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为，（）． （2）设,，,， ,且， 所以， 所以，故 所以， 所以直线的方程为，即． 62．已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解； （2）由点差法求解直线方程． 【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点， ∴，． 由，两式相减可得， ， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14双曲线的几何性质 题型一：由双曲线的方程求几何性质 题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程 题型三：双曲线的渐近线问题 题型四：双曲线的离心率问题（定值） 题型五：双曲线的离心率问题（最值或范围） 题型六：根据双曲线的离心率求参数 题型七：直线与双曲线的位置关系 题型八：弦长问题 题型九：三角形面积问题 题型十：中点弦和点差法 题型一：由双曲线的方程求几何性质 1．满足双曲线的是（    ） A．焦距是2 B．离心率是 C．渐近线是 D．实轴是4 2．双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 3．已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 6．（多选）已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 题型二：根据双曲线几何性质求其标准方程 7．若双曲线与双曲线的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“共渐双曲线”.设为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线与双曲线为“共渐双曲线”，且双曲线的焦距为16，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 10．已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为 . 11．（1）求满足下列条件的双曲线的标准方程： ①双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为4； ②双曲线与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，． 12．根据条件分别求双曲线的标准方程： (1)与双曲线有共同渐近线，且过点； (2)与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线为直线. 题型三：双曲线的渐近线问题 13．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 15．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．6 C． D． 16．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 16．已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：双曲线的离心率问题（定值） 17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（   ） A．5 B． C．4 D． 18．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．已知、分别是双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点，满足，，则双曲线的离心率为 ． 21．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则该双曲线的离心率 . 题型五：双曲线的离心率问题（最值或范围） 22．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．已知c是双曲线(，)的半焦距，离心率为，则的最大值是（    ） A． B． C． D．2 26．若双曲线的离心率为3，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 27．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ． 28．已知点F为双曲线的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率，则a的取值范围为 ． 题型六：根据双曲线的离心率求参数 29．已知双曲线C：的离心率，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 30．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 31．已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 32．（多选）若双曲线的离心率是2，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 33．已知双曲线的离心率为，则 ． 34．已知双曲线的离心率，圆与双曲线E的渐近线相切，则 ． 35．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 . 题型七：直线与双曲线的位置关系 36．若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 37．若双曲线与直线不相交，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 38．若直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是 ． 39．若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的一个取值为 . 40．直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 41．直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 42．已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 题型八：弦长问题 43．已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 44．双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过作直线与双曲线交于点，若弦的长为42，求直线的方程． 45．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 46．已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)求双曲线C的方程． (2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 47．已知双曲线，焦点到渐近线的距离为，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点，若，求的值． 48．已知双曲线C的渐近线为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 49．已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为， (1)求双曲线C的离心率e (2)若直线与C相交于不同的两点A，B，且，求双曲线C的方程． 题型九：三角形面积问题 50．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为 (1)求C的方程; (2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. 51．已知双曲线，点在双曲线上，且其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程 52．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求的面积. 53．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 54．已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程. 55．双曲线左右焦点分别为，，若双曲线经过点，且离心率 (1)求双曲线的方程； (2)过作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求的面积为坐标原点） 题型十：中点弦和点差法 56．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（   ） A． B． C． D． 57．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 58．过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 59．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 60．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程． 61．已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，过点作直线交轨迹于两点. (1)求的轨迹方程； (2)若恰为弦的中点，求直线的方程. 62．已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $