专题12 椭圆的几何性质（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题12 椭圆的几何性质 题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质 题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程 题型三：求椭圆的离心率的值 题型四：求椭圆的离心率的最值或范围 题型五：根据椭圆离心率求参数 题型六：直线与椭圆的位置关系 题型七：直线与椭圆相切 题型八：弦长 题型九：中点弦和点差法 题型十：椭圆中三角形面积问题 题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质 1．已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】设的左焦点为，先得半焦距的值，从而由离心率得的值，根据椭圆的定义可得所求. 【详解】设的左焦点为，半焦距为， 由题意得，又离心率，所以， 由椭圆的定义得：， 所以， 当点为线段的延长线与的交点时取等号， 故的最大值为. 故选：D. 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为 ． 【答案】2 【分析】根据椭圆的定义及三角形不等式求出，再根据椭圆的方程即可得到，进而即可得到C的焦距． 【详解】由椭圆的定义知，， 所以的周长为， 则，当且仅当M，A，三点共线时，等号成立， 所以，解得， 由椭圆方程可知，则，所以． 故答案为：2． 3．短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，求出长半轴长，再由周长为求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程 4．点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可知可知，由椭圆性质以及余弦定理计算可得需满足，再对选项逐一检验即可得出结论. 【详解】如下图： 不妨设椭圆的方程为，椭圆的上顶点为. 因为椭圆上存在点，使得，所以需； 在中，由余弦定理得， 又，化简得. 同理可得，椭圆焦点在轴上时，也有，经检验可知选项B满足. 故选：B. 5．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件求得所求椭圆的、值，即可得到其标准方程. 【详解】椭圆可化为， 可知椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆方程， 则，又，即，所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 故选：B． 6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 7．已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率公式以及椭圆经过的点，结合椭圆中的关系即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故椭圆方程为， 故选：A 8．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，在上，轴，，写出一个的方程为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据椭圆可知，，结合条件得，，再勾股定理化简得，满足此关系的椭圆方程即可． 【详解】易知，因为轴，所以． 由得，则． 由勾股定理得，即，， 解得．令，则，故满足题意的一个C的方程为． 故答案为：. 9．（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得. （2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求解. 【详解】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 10．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)经过两点和； (3)经过两点. (4)过点且与椭圆有相同焦点. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意可得，然后利用椭圆的定义得到，进而即可求解； （2）椭圆的方程为（，，），将点的坐标代入，解方程组即可求解； （3）椭圆的方程为（，，），将点的坐标代入，解方程组即可求解； （4）根据题意可知椭圆的焦点坐标为，设所求方程为， 将点代入得即可求解. 【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得，可得，所以. 又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为（，，）.将两点的坐标代入方程， 得，解得， 故所求椭圆的标准方程为. （3）设所求的椭圆方程为． 把两点代入， 得：，解得， ∴椭圆方程为． （4）依题意，知椭圆的焦点坐标为. 设所求方程为， 将点代入得，所以， 则所求椭圆的标准方程为. 题型三：求椭圆的离心率的值 11．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由椭圆的定义可得， 所以，， 因为,由余弦定理可得 所以， 整理可得，所以，即. 故选：A. 12．已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求出椭圆离心率. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上，    如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：D 13．椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过作x轴的垂线，再结合得出点的坐标，最后应用点在椭圆上，解齐次方程，求出离心率. 【详解】   先过作x轴的垂线，垂足为， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为，所以， 所以，因为点P在椭圆上，所以， 所以，所以，化简得， 所以，所以， 因为，所以. 故选：D. 14．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆C在第一象限交于点M，若，则椭圆C的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得，再结合直线的倾斜角表示出点坐标，根据点在椭圆上，可得关于的齐次式，整理可得椭圆的离心率. 【详解】如图：    ∵，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴，设直线的倾斜角为，， 则，则，， 则，， 将点M的坐标代入椭圆方程，整理得， 解得或（舍），∴. 故选：D. 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个的齐次式，求解离心率. 【详解】    因为，所以三点共线， 又   ，所以  为直角三角形， 记 ，则 ， 由椭圆定义和对称性可得 ， 则有，解得或（舍去）， 则， 记 ，则 ， 在中，由余弦定理得 ，整理得 ， 则椭圆C的离心率为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：椭圆过焦点的三角形问题，关键是充分利用椭圆定义，结合余弦定理、勾股定理得到关于的齐次式，然后可求离心率. 16．已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【详解】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 17．如图，已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线与E交于点M，N两点，垂直平分，若，则的离心率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得平分，从而求出，从而得到，再由椭圆的定义得到，即可求出、，再在中利用余弦定理求出、的关系，即可得解. 【详解】因为垂直平分，所以，，且平分， 所以，所以. 由椭圆的定义知， 在中，， 所以，解得. 由椭圆的定义得， 在中，由余弦定理得， 即，化简得，所以. 故选：B. 题型四：求椭圆的离心率的最值或范围 18．已知，分别是椭圆的左、右焦点，若该椭圆上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果. 【详解】设，， 则由，可得，所以①． 又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②， 由方程组①②可得，因为， 所以，即，解得． ∴该椭圆的离心率的取值范围是． 故答案为：． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意作图，根据圆的切线性质以及勾股定理，可建立方程，根据焦半径的取值范围以及题干中的不等式，通过化简整理，代入离心率，可得答案. 【详解】如下图所示：易知， 又焦半径的最小值为，且恒成立， 则，又，所以， 整理可得，即，可得，即， 又，解得，又半径，则，解得， 所以. 故答案为： 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的一条切线，切点为T，且的最小值不小于，则椭圆的离心率e的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据切线性质和勾股定理可得，利用椭圆的性质可得的最小值为，由题意得的最小值不小于，即可得出离心率满足的不等式，再利用，则，又得出离心率满足的不等式，联立即可解出. 【详解】    连接，． 因为，的最小值为， 所以的最小值为， 依题意，有，即， 所以，即，所以， 所以，所以，① 又，则，所以，所以，② 由①②，得． 故答案为：. 21．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆的定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】连接，，由题意可得四边形为矩形，利用已知可得，利用椭圆的几何性质与勾股定理可得，可得，结合题意可得有，可求椭圆C的离心率的取值范围. 【详解】连接，，由题意得，， 所以四边形为矩形，所以，故， 又，由勾股定理得， 即， 则，故， 即，即，解得， 又点P在直线上，且，所以，即， 所以，，解得， 综上，椭圆C的离心率的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用已知得到，进而利用椭圆的几何性质与勾股定理可得，进而计算即可，需注意. 23．已知椭圆的焦距为2c，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式，可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点， 可知点在椭圆内部， 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得，. 故答案为：. 题型五：根据椭圆离心率求参数 24．设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 25．如果椭圆的离心率为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：因为椭圆的离心率为， 当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得， 当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得． 或. 故选：B． 26．已知椭圆E：的离心率的取值范围是，其左右焦点分别是，，若P为椭圆上位于y轴右侧的一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设，由椭圆的定义求得，结合，整理得，进而得到，即可求解. 【详解】由题意，点P是椭圆上位于y轴右侧的一点，可得， 设，则， 由椭圆的定义可知，因此， 又因为是右焦点，所以，即，整理得， 所以，解得， 即. 故选：D.          27．已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理列式，结合椭圆的定义以及基本不等式求得的最大值. 【详解】设， ， 在三角形中，由余弦定理得： . 由于，所以的最大值为. 故选：A 28．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程分别写出离心率，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 29．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 . 【答案】或 【分析】根据题意，分类讨论和两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的离心率为，易知， 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为. 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，得，满足题意， 此时，所以椭圆的长轴长为. 故答案为：或. 30．已知椭圆的离心率，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可知.分别讨论椭圆的焦点在轴与轴上，分别将、带入不等式，即可求出m的取值范围. 【详解】椭圆的标准方程为． 因为，，所以． 当椭圆的焦点在x轴上时，，，则； 当椭圆的焦点在y轴上时，，，则． 所以实数m的取值范围是． 故答案为：. 题型六：直线与椭圆的位置关系 31．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系. 【详解】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离. 故选：C 32．直线与椭圆的交点个数为（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据椭圆的方程求得其右顶点为，上顶点为，结合直线的截距式方程，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得， 则椭圆的右顶点为，上顶点为， 又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点. 故选：C. 33．（多选）无论k为何值，直线和椭圆交点情况有可能为（    ） A．没有公共点 B．一个公共点 C．两个公共点 D．无法确定 【答案】BC 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，然后分直线的斜率为零与直线的斜率不为零讨论，即可得到结果. 【详解】因为过定点，且椭圆的上顶点也为， 所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点， 当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点， 故选：BC． 34．直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数． 【详解】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 35．直线和曲线的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据直线过点且在椭圆内部可得出结论. 【详解】曲线为：可得 直线恒过，由知定点在椭圆内部， 所以直线与椭圆的位置关系为相交. 故答案为：相交. 题型七：直线与椭圆相切 36．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案. 【详解】设与l：平行的直线为：， 当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值， 联立与可得，， 由，可得， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为. 故选：A 37．已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】/ 【分析】找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线，利用平行线的距离公式求距离的最大值. 【详解】要使点到直线的距离最大，只要找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线， 令与平行且与椭圆相切的直线为， 联立，消去整理得， 由，即，解得或， 对于直线，与直线的距离为， 对于直线，与直线的距离为， 所以点到直线的距离最大值为. 故答案为：. 38．长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】首先分别设三点的坐标，即，，，再根据坐标间的关系，，即可求解；利用数形结合，转化为平行线间的距离，即可求解. 【详解】设，， 由题意可知，，即， 又由，得，化简为； 如图，向椭圆平移直线，设平移直线为， 当直线与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最近； 联立，得， 此时，得，由图可知，正的舍去， 直线与之间的距离， 即点到直线的距离的最小值为. 故答案为：； 39．已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为 . 【答案】/ 【分析】求出与直线平行的直线方程，离直线较远的直线与的距离即为所求． 【详解】设直线y＝x＋m与椭圆相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0， ∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±， 切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－， ∴所求最大距离为d＝＝. 故答案为： 题型八：弦长 40．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【详解】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 41．已知直线与椭圆交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据直线与椭圆都关于原点对称则的可得到，若，，即可解出，求得椭圆的标准方程，将直线的方程与椭圆的方程联立求解即可. 【详解】由对称性可得，，， 所以，，， 所以椭圆方程为，，解得，，． 故答案为：. 42．已知直线与椭圆相交于M，N两点，则MN的长为 ． 【答案】/ 【分析】联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求解即可. 【详解】由消去，得，解得， 所以. 故答案为： 43．已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 44．已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用轨迹法，结合条件列式，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 45．已知离心率为的椭圆的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交C于M，N两点． (1)求C的方程； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）由题先求出所在直线方程为，联立椭圆方程与直线方程，由韦达定理和弦长公式即可求得的值. 【详解】（1）由题得，解得. ∴椭圆的标准方程为：. （2）由（1）知椭圆的右焦点坐标为，∴所在直线方程为. 联立方程组，消去并整理得. 设，，则，， . 题型九：中点弦和点差法 46．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程. 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，设， 则，两式相减得， 而，因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A 47．已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离心率先求出参数a，再利用点差法求出直线的斜率，即可得到答案. 【详解】由题设，，即，可得， 过的直线与椭圆交于且满足，则为线段的中点， 所以，，又，， 则，即， 所以， 故直线的方程为，即. 故选：C. 48．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故选：A 49．已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】设点、，由题意可得， 若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，两式相减得， 即 0，所以 所以，即直线的斜率为. 故选：A. 50．已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的中点坐标利用点差法求得，再由计算可得答案. 【详解】设椭圆方程为， 易知直线的斜率为； 设，则，所以，； 易知，两式相减可得； 即，可得， 又，可得，所以； 即椭圆的方程为. 故选：A 51．已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，线段中点的坐标为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为的中点坐标为，设，代入椭圆方程相减，利用，，求出直线的斜率，得出等量关系，再由关系，即可求解. 【详解】设，，过点的直线交椭圆于，两点， 若的中点坐标为，所以直线的斜率， ，代入椭圆方程得， 两式相减得， 即， 也即， 所以， 又， 所以， 所求的椭圆方程为. 故选：D. 52．若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ． 【答案】/0.4 【分析】利用点差法得，再代入M点坐标即可得答案. 【详解】易知，，设椭圆中心为O， 不妨设坐标为，则， 两式作差可得：， 设，OM的斜率， 则，解得． 故答案为：. 53．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解. 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为： 题型十：椭圆中三角形面积问题 54．已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且过点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆定义列方程求得参数a，由a、b、c关系求得b. （2）写出直线方程，联立椭圆与直线方程，由弦长公式及点线距离求得高，即可求得面积. 【详解】（1）由椭圆定义得，∴，又，得， ∴椭圆E的标准方程为：； （2）过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线方程为， 由，得． 设，，有，， ∴， 又点P到直线AB的距离，∴面积． 55．已知椭圆经过． (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程中，求出，的值，可求出椭圆的方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，，设直线与轴交于点，利用进行求解． 【详解】（1）椭圆经过，将两点坐标代入椭圆方程中，得，解得：，， 即椭圆的方程为； （2）记，，可设的方程为， 由，消去得，解得， 直线与轴交于点，则 . 56．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的方程. (2)若过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据离心率和焦距就可得到，再根据可求得. (2)根据题意设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，求出两根之和，两根之积，再表示出三角形的面积，代入两根之和，两根之积，即可求出结果. 【详解】（1）因为椭圆离心率为，焦距，则解得，所以椭圆方程为. （2）已知椭圆方程，左焦点为，若倾斜角为，则斜率为，过左焦点且倾斜角为的直线方程为： 设点的坐标分别为，则 联立方程组得，， 所以， 所以. 所以的面积为. 57．已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若P是椭圆C上一点，是椭圆的两个焦点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中的关系进行求解即可； （2）根据椭圆的定义，结合余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意椭圆的离心率， ∴椭圆C的方程为， 又点在椭圆上，∴，解得， ∴椭圆C的方程为； （2）由椭圆定义知，① 由余弦定理知， 即②， 联立①②得， 58．已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意可列出方程，化简，即可得答案； （2）设直线方程并联立迹的方程，可得根与系数的关系式，进而表示出的面积的表达式，利用导数可求得其最值，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）因为点到点的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）由题意可知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为． 联立，得．直线l过点F，必有， 由韦达定理可得，， 所以的面积， ． 令，则，所以． 令，则在上单调递减， 所以，即面积的最大值为． 因为，所以不存在直线，使得面积为． 59．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，P是C上一点，且的最大值为． (1)求C的方程； (2)已知Q为C的上顶点，过点Q的直线l交C于另一点M，若与的面积相等，求l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据焦距以及当最大时的关系，可以得到关于的方程组，由此可得椭圆方程； （2）根据三角形面积相等可以确定点所在直线方程，再根据直线方程与椭圆方程联立求出点的坐标，再根据点的坐标即可确定直线的方程. 【详解】（1）由得，① 又当最大时，点P位于C的上顶点或下顶点， 此时②， 联立①②解得：，， 所以C的方程为． （2）因为，为公共边， 所以点到的距离等于点M到的距离， 由（1）得，，， 则直线的方程为． 又点到的距离， 故点M到的距离为，所以点M在与平行且到的距离为的直线上， 可设直线方程为， 则，解得或， 故点M在直线或上． ①若点M在直线上， 又点M在椭圆C上，联立，消去得， 由，得直线与C无公共点， 故此时不存在满足题意的点M． ②若点M在直线上， 又点M在椭圆C上，联立，消去得， 解得或，则或． 又直线l过点，故直线l的方程为或． 综上，l的方程为或． 60．过椭圆的焦点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值． 【答案】 【分析】将看作与组合而成，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理表示的面积并利用基本不等式求得最终结果. 【详解】椭圆焦点，由于椭圆的对称性，不妨设过焦点，当斜率不存在时，不存在． 设直线方程为，，，联立， 消去，得，则，， 将看作与组合而成，是公共边，它们在公共边上的高长为． ，其中． ． 当且仅当即时，取等号， 即当直线为时，得到的面积最大值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 椭圆的几何性质 题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质 题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程 题型三：求椭圆的离心率的值 题型四：求椭圆的离心率的最值或范围 题型五：根据椭圆离心率求参数 题型六：直线与椭圆的位置关系 题型七：直线与椭圆相切 题型八：弦长 题型九：中点弦和点差法 题型十：椭圆中三角形面积问题 题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质 1．已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 2．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为 ． 3．短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程 4．点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 5．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，在上，轴，，写出一个的方程为 ． 9．（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 10．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)经过两点和； (3)经过两点. (4)过点且与椭圆有相同焦点. 题型三：求椭圆的离心率的值 11．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 13．椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆C在第一象限交于点M，若，则椭圆C的离心率（    ） A． B． C． D． 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．如图，已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线与E交于点M，N两点，垂直平分，若，则的离心率等于（   ） A． B． C． D． 题型四：求椭圆的离心率的最值或范围 18．已知，分别是椭圆的左、右焦点，若该椭圆上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的一条切线，切点为T，且的最小值不小于，则椭圆的离心率e的取值范围是 ． 21．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 ． 22．已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 23．已知椭圆的焦距为2c，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围是 . 题型五：根据椭圆离心率求参数 24．设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 25．如果椭圆的离心率为，则（    ） A． B．或 C． D．或 26．已知椭圆E：的离心率的取值范围是，其左右焦点分别是，，若P为椭圆上位于y轴右侧的一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．已知，为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 29．若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 . 30．已知椭圆的离心率，则实数m的取值范围是 ． 题型六：直线与椭圆的位置关系 31．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 32．直线与椭圆的交点个数为（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 33．（多选）无论k为何值，直线和椭圆交点情况有可能为（    ） A．没有公共点 B．一个公共点 C．两个公共点 D．无法确定 34．直线与椭圆的公共点个数为 ． 35．直线和曲线的位置关系为 . 题型七：直线与椭圆相切 36．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 37．已知是椭圆上动点，则点到直线的距离的最大值为 . 38．长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 . 39．已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为 . 题型八：弦长 40．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 41．已知直线与椭圆交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若，，则 ． 42．已知直线与椭圆相交于M，N两点，则MN的长为 ． 43．已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 44．已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 45．已知离心率为的椭圆的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交C于M，N两点． (1)求C的方程； (2)求. 题型九：中点弦和点差法 46．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 47．已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 48．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 49．已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 50．已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 51．已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，线段中点的坐标为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 52．若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ． 53．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 题型十：椭圆中三角形面积问题 54．已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且过点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线与椭圆E交于A，B两点，求的面积． 55．已知椭圆经过． (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积． 56．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的方程. (2)若过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求的面积. 57．已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若P是椭圆C上一点，是椭圆的两个焦点，且，求的面积. 58．已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 59．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，P是C上一点，且的最大值为． (1)求C的方程； (2)已知Q为C的上顶点，过点Q的直线l交C于另一点M，若与的面积相等，求l的方程． 60．过椭圆的焦点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $