专题02 圆锥曲线（专项训练）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以20类细分题型系统覆盖圆锥曲线核心内容，通过定义应用、方程求解到综合问题的递进设计，培养抽象概念理解与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆|4题型/每题型5-7题|聚焦定义应用、方程求解、离心率及范围|从定义到几何性质，构建“定义-方程-性质”推理链条| |双曲线|4题型/每题型5题|突出渐近线与离心率关系、参数求解|延续椭圆研究思路，强化与椭圆的差异对比| |抛物线|4题型/每题型5-6题|重点考查定义求最值、焦点弦问题|以定义为核心，结合几何性质解决距离与位置关系| |综合应用|8题型/每题型5-6题|涵盖位置关系、弦长、面积、定点定值等|整合三类曲线知识，培养复杂问题的模型应用能力|

专题02 圆锥曲线 常考题型·精准突破 题型01 椭圆的定义及应用 1． 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 2． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 3． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 4． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 5． 【答案】B 【分析】先根据椭圆定义和余弦定理求出，再根据面积公式求出答案. 【详解】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B 6． 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D 7． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 题型02 求椭圆的方程 1． 【答案】C 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】因为椭圆的长轴长是焦距的3倍，所以，即， 又因为经过点，且焦点在轴上，所以，， 所以，所以椭圆的标准方程为：， 故选:C． 2． 【答案】B 【分析】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 3． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 4． 【答案】B 【分析】根据题设列式求出即可得椭圆的方程； 【详解】设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：， 又因为点在椭圆上，故，解得， 则. 所以椭圆标准方程为：. 故选：B. 5． 【答案】A 【分析】根据双曲线可以得出双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上，且椭圆与双曲线有相同焦点，设标准方程为，将点代入椭圆方程，最后计算结果 【详解】双曲线方程为，有 双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上， 设其标准方程为，因为椭圆与双曲线同焦点，所以. 将点代入椭圆方程， 解得，又因为， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 6． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 题型03 求椭圆的焦距与轴 1． 【答案】B 【详解】由椭圆方程为，可得，，且； ； 又，. ，焦点在轴上，可得焦点坐标为； 椭圆的一个焦点F坐标为. 2． 【答案】D 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且， 则，则其焦距为. 3． 【答案】C 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 4． 【答案】D 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 5． 【答案】D 【分析】设，根据已知条件及椭圆的定义有，，且，再应用勾股定理列方程求参数值，即可得. 【详解】根据，设，则，，， 因为，所以， 在中，有，即①， 在中，，即②， 所以，则，而，故③， ③代入①可得，所以，故， 所以椭圆的长轴长为. 6． 【答案】B 【分析】讨论焦点所在位置，结合椭圆的定义求出. 【详解】因为椭圆， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由,得舍去， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由得， 故椭圆的长轴长为． 故选：B． 题型04 求椭圆的离心率及范围 1． 【答案】A 【分析】由点的坐标，得到直线的方程，利用与圆相切得到关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】由于椭圆的右顶点为，上顶点为， 所以，，故直线的方程为即， 若直线与圆：相切， 则， 化简得， 两边除以，得 ， 设，那么，解得 ，或（舍去）， 所以，，，. 2． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 3． 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以.    4． 【答案】A 【分析】设，易得为锐角，且；由正弦定理可得，进而求得；结合余弦函数性质得到；利用几何关系及二倍角公式求得，代入求得；结合可求得，即可求解. 【详解】记椭圆的上顶点为，，由，得，所以为锐角， 中，由正弦定理，知，所以， 易知，所以，且， 又， 所以，解得或（舍去）. 又，故，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 5． 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进一步计算离心率的范围. 【详解】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即，得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 6． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 题型05 双曲线的定义及应用 1． 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 3． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 4． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 5． 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 题型06 求双曲线的方程 1． 【答案】B 【分析】根据题意得焦点坐标为，焦距为，设双曲线为，再由渐近线得双曲线的关系式，结合双曲线的即可求解． 【详解】根据题意得焦点坐标为，则双曲线焦距为， 设双曲线为， 又渐近线方程为， ，解得， ． 故选：B． 2． 【分析】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 3． 【答案】A 【分析】利用双曲线渐近线方程，结合待定系数法即可求解. 【详解】由双曲线的渐近线方程为，可得， 再由过点可得：， 代入得：， 则，所以双曲线的方程为， 故选：A. 4． 【答案】B 【分析】由题意得，，，求出，的值，即可得答案. 【详解】由题意得，，， ，，， 故双曲线的标准方程为. 故选：B. 5． 【答案】B 【分析】利用等轴双曲线的标准方程，结合代入法进行求解即可. 【详解】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 题型07 根据双曲线方程求参数 1． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【详解】由表示双曲线，得，解得或 故选：D 2． 【答案】D 【分析】由双曲线方程的结构得到，求解即可. 【详解】由方程表示双曲线， 可得， 解得或， 故选：D 3． 【答案】C 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得， 解得. 故选：C 4． 【答案】C 【分析】由二次方程表示双曲线的条件列不等式求参数范围即可. 【详解】由题意可得 ， 解得或 所以的取值范围是， 故选：C. 5． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 题型08 双曲线的渐近线与离心率 1． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 2． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 3． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质求解即可. 【详解】因为双曲线的，，所以，. 又因为双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 4． 【答案】D 【分析】根据离心率公式及的关系，可得的值，代入渐近线方程，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 5． 【答案】A 【详解】双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为,，解得： 题型09 抛物线的定义 1． 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 2． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 3． 【答案】A 【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点在抛物线上，，则， 又抛物线：的焦点，故． 4． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义列方程，由此求得的值. 【详解】根据抛物线的定义，是其准线， 因为的准线方程为， 所以，解得. 5． 【答案】C 【详解】 抛物线C：的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，到准线的距离， 所以． 6． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 题型10 利用抛物线的定义求最值 1． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【详解】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 2． 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 3． 【答案】B 【分析】设点到准线的距离为，则点到准线的距离为，根据题意，转化为，结合，即可求解. 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点为，准线方程为， 设点到准线的距离为，则点到直线的距离为， 过点作和的垂线，垂足为，如图所示， 由抛物线的定义，可得， 因为，，可得， 所以，即的最小值是. 故选：B. 4． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 5． 【答案】C 【分析】将的最小值转化为到焦点与点P的距离和的最小值问题，数形结合可得最小值. 【详解】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为， 所以， 的最小值，即的最小值， 如图， ，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立， 而的最小值为点到直线：的距离， 所以的最小值为. 故选：C. 题型11 求抛物线的方程 1． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 2． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 3． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 4． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 5． 【答案】C 【分析】根据所求圆与直线相切、与已知圆外切及相对位置关系，列出方程化简即可. 【详解】由题意可知，所求圆的圆心在直线左侧，即. 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与直线相切，得， 已知圆的圆心为，半径为1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即，得. 平方后整理得， 故轨迹方程为，是抛物线． 故选：C． 题型12 抛物线的焦点弦问题 1． 【答案】B 【分析】抛物线方程求得弦长，进而可求正数的值. 【详解】由抛物线可得焦点坐标为， 当时，，所以， 又因为过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，所以， 所以. 故选：B. 2． 【答案】D 【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，代入运算即可得结果. 【详解】由抛物线方程可知， 因为直线AB过焦点， 则， 即，所以. 故选：D. 3． 【答案】B 【分析】根据抛物线焦点坐标求得判断A；根据焦点弦长公式求解判断B；设直线的方程为，与抛物线联立，韦达定理判断D；利用求得判断C. 【详解】因为抛物线的焦点，所以，所以，故A错误； 抛物线为，焦点为， 因为抛物线的准线为，则，， 所以，故B正确； 设直线的方程为，与抛物线联立， 消去可得，可得，，故D错误； 因为，所以， 所以，所以，故C错误. 故选：B 4． 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 5． 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 6． 【答案】ABD 【分析】本题考查抛物线的基本性质、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理计算相关量即可判断各选项. 【详解】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 题型13 直线与圆锥曲线位置关系的判断 1． 【答案】C 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 2． 【答案】A 【分析】充分性分析：当时，将代入抛物线的方程，利用判别式说明充分性成立；必要性分析：将直线代入抛物线，得到，分和两种情况讨论，说明必要性不成立，从而得到结论. 【详解】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 3． 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 4． 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 5． 【答案】4 【分析】结合图形，将直线分成斜率不存在和存在两种情况考虑，在斜率存在时，再考虑所得方程的二次项系数为0的情况，最后结合根的判别式为0考虑相切的情况即得. 【详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线恰只经过双曲线的右顶点，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程， 整理得：， 当时，即时，代入方程解得或， 即直线与双曲线只有1个交点为； 直线与双曲线只有1个交点为，均符合题意； 当时，由，解得， 此时直线与双曲线相切于点，符合题意. 综上，过点与双曲线有且只有一个交点的直线共有4条. 故答案为：4. 题型14 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数 1． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，将直线方程与椭圆方程联立，令即可求出答案. 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立得， 即， 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得或， 又且，所以的取值范围是. 故选：D. 2． 【答案】D 【分析】对曲线方程进行分类讨论得或，直线过定点，再联立曲线方程和直线方程求解. 【详解】由题知当时，曲线方程为，当时，曲线方程为.因为时，取值与无关，所以直线恒过点. ∵如图所示,时曲线分别对应椭圆位于轴和轴上方的曲线，时曲线分别对应双曲线位于轴下方的曲线，且双曲线的渐近线方程为， ∴由图知，要使直线和曲线有两个不同交点,斜率应满足时， D正确， 故选：D. 3． 【答案】A 【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 4． 【答案】C 【分析】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 5． 【答案】B 【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，的值，从而得到直线AB的斜率k值. 【详解】作出抛物线的准线l：，设A、B在l上的射影分别是C、D， 连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E. ∵，∴设， 由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得. 因此，Rt△ABE中，，， 则直线AB的斜率， 故选：B. 题型15 直线与圆锥曲线的弦长问题 1． 【答案】C 【详解】双曲线，则. ，得. 双曲线右焦点为，故抛物线焦点，即. 则抛物线方程为. 设，中点横坐标，得. 由抛物线焦点弦长公式. 代入得. 2． 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 代入，可得， 又因为，解得，所以， 又因为，所以，，设，所以， 则. 故选：D. 3． 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 4． 【答案】B 【分析】由题意可知双曲线，则可求出其右焦点为,讨论直线和双曲线交于右支时，和双曲线交于左右两支时，分别求出过右焦点的最短距离，即可判断. 【详解】由题意可知双曲线，可知， 根据，则可求出其右焦点为, 直线和双曲线交于右支时，则弦长的最小值为通径长， 则通径长，即垂直于轴时，此时存在一条直线使， 直线和双曲线交于左右两支时，此时弦长的最小值为， 因为，所以可知存在两条直线使得，且这两条直线关于轴对称， 综上可知总共有条直线使得. 故选： 5． 【答案】C 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 6． 【答案】C 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【详解】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C 题型16 面积与周长问题 1． 【答案】C 【分析】对于A，由椭圆方程可判断选项正误；对于B，由椭圆的定义结合椭圆方程可判断选项正误；对于C，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】由题可得. 对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确； 对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确； 对于C，设，因，则， 注意到， 则， 注意到，则，即最小值为1，故C错误； 对于D，的面积，注意到，则，故D正确. 故选：C 2． 【答案】C 【分析】先设出方程，再根据题意求出，最后根据四边形面积公式运算求解即可. 【详解】设椭圆的方程为，由题意知，其中， 令，得，所以， 又，所以，所以， 所以四边形的面积为. 故选：C. 3． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 4． 【答案】D 【分析】由题意可得，再表示出四边形面积，可得，则可由的倾斜角求出该点坐标，结合渐近线方程即可求出的值. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限， 显然的倾斜角为的倾斜角为，故， 又，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积 ，所以， 设，由的倾斜角为，得， 于是由，得， 又，所以，解得. 5． 【答案】B 【分析】由题意可知，准线：，设，则，利用，可得到，再由的面积为，可解得的值. 【详解】由题意可得，准线：，设，    将代入中得，则， ,,, 因为， 所以，化简得，即， 因为， 所以. 6． 【答案】A 【分析】因为等腰梯形关于抛物线的对称轴对称，所以可设出A、B、C、D四点的坐标，利用抛物线方程和边长条件建立关系.又已知梯形的边长和面积，所以先根据等腰梯形面积公式，结合上下底长度，求出梯形的高.因为四个顶点在抛物线上，所以将顶点坐标代入抛物线方程，结合梯形的高的数值，建立关于p的方程求解. 【详解】四边形为等腰梯形，根据抛物线的对称性可知，轴，轴，不妨设在轴上方，如图所示， 因为，所以，所以，所以， 所以等腰梯形的高为，又因为四边形的面积为9， 所以4），解得. 故选:A. 题型17 圆锥曲线的实际问题 1． 【答案】C 【分析】对于A，由椭圆方程可判断选项正误；对于B，由椭圆的定义结合椭圆方程可判断选项正误；对于C，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】由题可得. 对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确； 对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确； 对于C，设，因，则， 注意到， 则， 注意到，则，即最小值为1，故C错误； 对于D，的面积，注意到，则，故D正确. 故选：C 2． 【答案】C 【分析】先设出方程，再根据题意求出，最后根据四边形面积公式运算求解即可. 【详解】设椭圆的方程为，由题意知，其中， 令，得，所以， 又，所以，所以， 所以四边形的面积为. 故选：C. 3． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 4． 【答案】D 【分析】由题意可得，再表示出四边形面积，可得，则可由的倾斜角求出该点坐标，结合渐近线方程即可求出的值. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限， 显然的倾斜角为的倾斜角为，故， 又，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积 ，所以， 设，由的倾斜角为，得， 于是由，得， 又，所以，解得. 5． 【答案】B 【分析】由题意可知，准线：，设，则，利用，可得到，再由的面积为，可解得的值. 【详解】由题意可得，准线：，设，    将代入中得，则， ,,, 因为， 所以，化简得，即， 因为， 所以. 6． 【答案】A 【分析】因为等腰梯形关于抛物线的对称轴对称，所以可设出A、B、C、D四点的坐标，利用抛物线方程和边长条件建立关系.又已知梯形的边长和面积，所以先根据等腰梯形面积公式，结合上下底长度，求出梯形的高.因为四个顶点在抛物线上，所以将顶点坐标代入抛物线方程，结合梯形的高的数值，建立关于p的方程求解. 【详解】四边形为等腰梯形，根据抛物线的对称性可知，轴，轴，不妨设在轴上方，如图所示， 因为，所以，所以，所以， 所以等腰梯形的高为，又因为四边形的面积为9， 所以4），解得. 故选:A. 题型18 最值与范围问题 1． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和三角形内切圆半径公式，将内切圆半径转化为含三角形面积的函数，通过分析椭圆上点的纵坐标最大值，求得三角形面积的最大值，进而得到内切圆半径的最大值. 【详解】由椭圆方程，得，故， ，即，两焦点距离. 三角形内切圆半径满足公式（为三角形面积，为三角形周长，为内切圆半径），即. 对椭圆上任意点，有， 因此的周长，代入得 ，即求的最大值等价于求面积的最大值. 已知（为点的纵坐标）， 椭圆上点的纵坐标满足，当在椭圆短轴顶点时取最大值， 此时，代入得：. 因此内切圆半径最大值为. 2． 【答案】A 【分析】根据题意可求得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围. 【详解】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 3． 【答案】(1). (2)1 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，结合标准方程，可得答案； （2）根据角平分线性质，结合双曲线的概念可得各线段长，可得动点的轨迹，利用圆上点到定直线的距离性质，可得答案. 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，得， 又，分别为双曲线C的左、右焦点， 所以，所以， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意，延长，且与交于一点，如图所示. 由于，且为的平分线，所以， 且M点为线段的中点.不妨假设点P在双曲线C的右支上， 由于，故， 由于O，M分别为，的中点，所以， 故点M的轨迹是以原点为圆心，4为半径的圆，轨迹方程为， 点M到直线的距离的最小值为原点到直线的距离减去半径4， 即.    4． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 5． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出值即得. （2）设点，求出圆的方程，进而求出点纵坐标关系，再利用两点间距离公式列出函数关系并求出范围. 【详解】（1）依题意，直线的方程为，由消去得， 设直线与抛物线的交点为，则， 由直线被截得的弦长为，得， 因此，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线的焦点，设， 由以为圆心过点的圆方程为， 当时，，而，， 则，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 题型19 定点定值与定直线问题 1． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 2． 【答案】(1) (2) （ⅰ）； （ⅱ）当直线AB的斜率为0时，其与x轴重合，直线AQ也与x轴重合，此时直线AQ被圆E截得的弦长即为圆E的直径. 当直线AB与x轴不重合时，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，即证明即可． 设AB的方程为， 由得， 设，，则①，②． 由题意知，所以，． 要证， 即证， 即， 将①②式代入，可得左边＝右边，等式成立． 因此原命题得证． 【分析】(1)利用半焦距与离心率得到，再求出； (2)（ⅰ）求出A的横坐标，求解； （ⅱ）分直线AB的斜率为0和直线AB与x轴不重合两种情况，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，证明即可． 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意知，所以， 因为离心率为，所以，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，， 当B与C的下顶点重合时，，此时直线AB的方程为， 由得，解得或0， 因为点B的横坐标为0，所以点A的横坐标为， 所以． （ⅱ）略 3． 【答案】(1) (2)①或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②略 4． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 5． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由如下： 设，因为点在直线上， 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以，    则， ， ，     要验证，即验证：， 化简得：．     联立，消去可得，               因为，且，                   所以， 所以和同号，即． 因为 ，                          则，即． 【分析】（1）由题意得，可得，即可求解； （2）当时，设，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，， 结合弦长公式求得，再求出点到直线的距离，进而求解面积； （3）先表示出，再结合题设求解即可. 【详解】（1）由题意，，则， 所以的方程为． （2）设， 当时，直线的方程为，即． 联立，消去可得，     根据韦达定理，，， 则， 点到直线的距离， 所以的面积． （3）略 题型20 轨迹方程问题 1． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 2． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 3． 【答案】 【分析】先根据阿波罗尼斯圆的性质得到三角形相似，进而得到比值和相应值． 【详解】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 4． 【答案】 【分析】先设点的坐标，由在上得到纵坐标参数关系，结合直线的方程代入消参，即可得到点的轨迹方程. 【详解】设点，其中，则点的坐标为， 由题意，直线的方程为 ①， 因为点在上，将点的横坐标代入①，得 ②， 又因为直线的方程为，将②代入得， 又因为点在上，所以， 即的轨迹方程为. 5． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 6． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】A 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 2． 【答案】B 【分析】由条件先判断四边形为梯形，设出直线的方程，与椭圆方程联立求出，列出梯形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值. 【详解】由和可得，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因，故可设直线的方程为， 将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得， 所以， 由可知四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑， 令，则，则，则， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 【点睛】对于形如的根式，可以利用三角换元处理. 3． 【答案】C 【分析】设，利用已知条件求出，再联立椭圆方程结合即可求出. 【详解】，故点位于线段的中点，设，则， ，又，，化简得， 又M为椭圆上一点，，联立得，即， 此方程有解，则，化简得，即恒成立， 方程的两个根为和， 又，，，解得. 则C的离心率的取值范围是. 4． 【答案】ABD 【分析】A B由三角形的性质可得；C利用反证法并结合椭圆的定义可得；D设，由角平分线定理和椭圆的定义可得. 【详解】， 因为，是的平分线，则由三线合一可知， 故A正确； 由A选项可知，点是线段的中点， 因为是线段的中点，所以在中有，故B正确； 假设是下顶点，则由椭圆的定义可知，，， 因为，所以， 得，， 因为，所以， 则，，则， 显然不满足，故不存在点，使得点与的下顶点重合，故C错误； 设，则， 由角平分线定理可得，，则， 则， 则，，则，故D正确.    5． 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 6． 【答案】BCD 【分析】先由双曲线的定义及圆的切线长定理得，从而可得，进而可判断A错误；对B由向量的坐标运算可得，从而可判断渐近线方程；对C在焦点三角形中用余弦定理可得离心率；对D由勾股定理及双曲线的定义可得. 【详解】 设双曲线焦点 ，设的内切圆与相切于. 因为点在右支上，故. 根据三角形内切圆切线长相等：， 所以， 即. 设 ，则，得，即 . 选项A，因为到轴距离为，不一定等于，故A错误； 选项B，由 ，所以， 故，又，得，即​， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确； 选项C，由题意 ，，，， 由余弦定理：， 代入上述值得，， ，所以，，因此​​ ，C正确； 选项D，设，由，得， 又，所以 ，得​， 故​周长为 ，故D正确. 7． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 8． 【答案】 【分析】根据渐近线及已知可得，由题设，设，结合三角形内角的性质及三角恒等变换得，且，，即可得. 【详解】双曲线的渐近线为， 已知渐近线为，故，即， 所以，则，即， 由题设，设，则， 因此， 故，又， 故， 因此， 由几何意义得，， 因此， 所以. 9． 【答案】(1)动点的轨迹方程为， 当，轨迹是焦点在轴上的双曲线，且点和不在曲线上； 当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上； 当，轨迹是圆，且点和不在曲线上； 当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上； (2)（i）定值为5； （ii）的取值范围为. 【分析】（1）设动点,依题意有,由此能求出动点的轨迹方程,并能指出随变化时方程所表示的曲线的形状; （2）（i）设直线的方程为，由得，由此利用韦达定理和等比数列条件先求出，再结合椭圆方程消元，用韦达定理证明为定值； （ii）用弦长公式和三角形面积公式，把面积转化为关于的函数，通过换元结合判别式求面积范围. 【详解】（1）设动点，依题意有，所以动点的轨迹方程为， 当，轨迹是焦点在轴上的双曲线，且点和不在曲线上； 当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上； 当，轨迹是圆，且点和不在曲线上； 当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上； （2）设直线的方程为， 由,解得， 由韦达定理有:，且, 构成等比数列, ，即, 由韦达定理代入得，因为，若，则三点共线，所以， 则上式化简为，, （i）此时直线方程为，将代入韦达定理得， ， 因为，所以代入得， 故定值为5. （ii）当时，，即. 故， 由判别式，即，令， 则，当时，；当或时，， 则的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线 常考题型·精准突破 题型01 椭圆的定义及应用（重） 题型11 求抛物线的方程 题型02 求椭圆的方程 题型12 抛物线的焦点弦问题 题型03 求椭圆的焦距与轴 题型13 直线与圆锥曲线位置关系的判断 题型04 求椭圆的离心率及范围（重） 题型14 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数（难） 题型05 双曲线的定义及应用 题型15 直线与圆锥曲线的弦长问题 题型06 求双曲线的方程 题型16 面积与周长问题（高频） 题型07 根据双曲线方程求参数 题型17 圆锥曲线的实际问题 题型08 双曲线的渐近线与离心率（重） 题型18 最值与范围问题（重） 题型09 抛物线的定义 题型19 定点定值与定直线问题（难） 题型10 利用抛物线的定义求最值 题型20 轨迹方程问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 椭圆的定义及应用 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 3．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 7．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 题型02 求椭圆的方程 1．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建三明·期中）已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型03 求椭圆的焦距与轴 1．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 3．（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 5．（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 题型04 求椭圆的离心率及范围 1．（25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 题型05 双曲线的定义及应用 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型06 求双曲线的方程 1．（25-26高二上·广东梅州·期末）某双曲线与椭圆有公共焦点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京顺义·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型07 根据双曲线方程求参数 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 题型08 双曲线的渐近线与离心率 1．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D．2026 题型09 抛物线的定义 1．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2026·陕西渭南·三模）已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 4．（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．（2026·福建厦门·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 题型10 利用抛物线的定义求最值 1．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 3．（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知点与抛物线上一点，若点到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 5．（25-26高二上·江西萍乡·期末）设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 题型11 求抛物线的方程 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 题型12 抛物线的焦点弦问题 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，则正数的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段检测）若A、B为抛物线上不同于一个象限上的两个点，为抛物线的焦点，连接AB，若AB过焦点且，若的横坐标为的横坐标为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 5．（多选）（25-26高二下·西藏昌都·期末）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 6．（多选）（25-26高二下·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 题型13 直线与圆锥曲线位置关系的判断 1．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 2．（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 3．（25-26高二·全国·寒假作业）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为____________________. 5．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条． 题型14 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数 1．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，有，则直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 【 题型15 直线与圆锥曲线的弦长问题 1．（25-26高二下·河南许昌·期中）双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为5，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）直线过双曲线的右焦点且与交于，，，则有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 5．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 题型16 面积与周长问题 1．（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的值为（    ） A．3 B． C． D．4 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型17 圆锥曲线的实际问题 1．（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的值为（    ） A．3 B． C． D．4 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型18 最值与范围问题 1．（25-26高三下·江苏淮安·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，则的内切圆半径最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 3．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，，分别为双曲线C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)P是双曲线C上异于左、右顶点的一点，过作平分线的垂线，垂足为M，求点M到直线的距离的最小值. 4．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 5．（25-26高二上·广西南宁·期末）设抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线被截得的弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围． 题型19 定点定值与定直线问题 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 2．（25-26高二下·海南·期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． (1)求C的方程． (2)设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 3．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 4．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 5．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 题型20 轨迹方程问题 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 4．（2026·广东广州·三模）如图，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点．与相交于点，则的轨迹方程为____________． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 6．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·浙江杭州·二模）设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．2 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，过点作的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为，延长交的延长线于点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．存在点，使得点与的下顶点重合 D．的取值范围是 5．（多选）（25-26高二下·广东潮州·期末）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 6．（多选）（25-26高二下·四川凉山·期末）已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 7．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 8．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知双曲线的渐近线方程为，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设，，则________． 9．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知定点和，动点满足直线与的斜率之积为定值． (1)求动点的轨迹方程，并指出随变化时方程所表示的曲线的形状； (2)若，设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为、（其中），的面积为，若依次成等比数列， （ⅰ）求证为定值； （ⅱ）求的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线 常考题型·精准突破 题型01 椭圆的定义及应用（重） 题型11 求抛物线的方程 题型02 求椭圆的方程 题型12 抛物线的焦点弦问题 题型03 求椭圆的焦距与轴 题型13 直线与圆锥曲线位置关系的判断 题型04 求椭圆的离心率及范围（重） 题型14 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数（难） 题型05 双曲线的定义及应用 题型15 直线与圆锥曲线的弦长问题 题型06 求双曲线的方程 题型16 面积与周长问题（高频） 题型07 根据双曲线方程求参数 题型17 圆锥曲线的实际问题 题型08 双曲线的渐近线与离心率（重） 题型18 最值与范围问题（重） 题型09 抛物线的定义 题型19 定点定值与定直线问题（难） 题型10 利用抛物线的定义求最值 题型20 轨迹方程问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 椭圆的定义及应用 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 2．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 3．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 4．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 5．（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆定义和余弦定理求出，再根据面积公式求出答案. 【详解】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B 6．（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D 7．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 题型02 求椭圆的方程 1．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】因为椭圆的长轴长是焦距的3倍，所以，即， 又因为经过点，且焦点在轴上，所以，， 所以，所以椭圆的标准方程为：， 故选:C． 2．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 3．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 4．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设列式求出即可得椭圆的方程； 【详解】设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：， 又因为点在椭圆上，故，解得， 则. 所以椭圆标准方程为：. 故选：B. 5．（25-26高二上·福建三明·期中）已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线可以得出双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上，且椭圆与双曲线有相同焦点，设标准方程为，将点代入椭圆方程，最后计算结果 【详解】双曲线方程为，有 双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上， 设其标准方程为，因为椭圆与双曲线同焦点，所以. 将点代入椭圆方程， 解得，又因为， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 6．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 题型03 求椭圆的焦距与轴 1．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程为，可得，，且； ； 又，. ，焦点在轴上，可得焦点坐标为； 椭圆的一个焦点F坐标为. 2．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知椭圆，则其焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且， 则，则其焦距为. 3．（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 5．（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据已知条件及椭圆的定义有，，且，再应用勾股定理列方程求参数值，即可得. 【详解】根据，设，则，，， 因为，所以， 在中，有，即①， 在中，，即②， 所以，则，而，故③， ③代入①可得，所以，故， 所以椭圆的长轴长为. 6．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】讨论焦点所在位置，结合椭圆的定义求出. 【详解】因为椭圆， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由,得舍去， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由得， 故椭圆的长轴长为． 故选：B． 题型04 求椭圆的离心率及范围 1．（25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标，得到直线的方程，利用与圆相切得到关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】由于椭圆的右顶点为，上顶点为， 所以，，故直线的方程为即， 若直线与圆：相切， 则， 化简得， 两边除以，得 ， 设，那么，解得 ，或（舍去）， 所以，，，. 2．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 3．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以.    4．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，易得为锐角，且；由正弦定理可得，进而求得；结合余弦函数性质得到；利用几何关系及二倍角公式求得，代入求得；结合可求得，即可求解. 【详解】记椭圆的上顶点为，，由，得，所以为锐角， 中，由正弦定理，知，所以， 易知，所以，且， 又， 所以，解得或（舍去）. 又，故，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进一步计算离心率的范围. 【详解】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即，得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 题型05 双曲线的定义及应用 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 3．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 4．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 5．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 题型06 求双曲线的方程 1．（25-26高二上·广东梅州·期末）某双曲线与椭圆有公共焦点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得焦点坐标为，焦距为，设双曲线为，再由渐近线得双曲线的关系式，结合双曲线的即可求解． 【详解】根据题意得焦点坐标为，则双曲线焦距为， 设双曲线为， 又渐近线方程为， ，解得， ． 故选：B． 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 3．（25-26高三上·北京顺义·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线渐近线方程，结合待定系数法即可求解. 【详解】由双曲线的渐近线方程为，可得， 再由过点可得：， 代入得：， 则，所以双曲线的方程为， 故选：A. 4．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，，求出，的值，即可得答案. 【详解】由题意得，，， ，，， 故双曲线的标准方程为. 故选：B. 5．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等轴双曲线的标准方程，结合代入法进行求解即可. 【详解】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 题型07 根据双曲线方程求参数 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【详解】由表示双曲线，得，解得或 故选：D 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由双曲线方程的结构得到，求解即可. 【详解】由方程表示双曲线， 可得， 解得或， 故选：D 3．（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得， 解得. 故选：C 4．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次方程表示双曲线的条件列不等式求参数范围即可. 【详解】由题意可得 ， 解得或 所以的取值范围是， 故选：C. 5．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 题型08 双曲线的渐近线与离心率 1．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 2．（25-26高二下·广东潮州·期末）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质求解即可. 【详解】因为双曲线的，，所以，. 又因为双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率公式及的关系，可得的值，代入渐近线方程，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 5．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则（   ） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】双曲线的焦点在轴上，则渐近线方程为,，解得： 题型09 抛物线的定义 1．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 2．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 3．（2026·陕西渭南·三模）已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点在抛物线上，，则， 又抛物线：的焦点，故． 4．（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义列方程，由此求得的值. 【详解】根据抛物线的定义，是其准线， 因为的准线方程为， 所以，解得. 5．（2026·福建厦门·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 抛物线C：的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，到准线的距离， 所以． 6．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 题型10 利用抛物线的定义求最值 1．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【详解】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 3．（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知点与抛物线上一点，若点到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点到准线的距离为，则点到准线的距离为，根据题意，转化为，结合，即可求解. 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点为，准线方程为， 设点到准线的距离为，则点到直线的距离为， 过点作和的垂线，垂足为，如图所示， 由抛物线的定义，可得， 因为，，可得， 所以，即的最小值是. 故选：B. 4．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 5．（25-26高二上·江西萍乡·期末）设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】将的最小值转化为到焦点与点P的距离和的最小值问题，数形结合可得最小值. 【详解】由抛物线C的方程，知其焦点为，准线方程为， 所以， 的最小值，即的最小值， 如图， ，当且仅当与抛物线交于，即三点共线时等号成立， 而的最小值为点到直线：的距离， 所以的最小值为. 故选：C. 题型11 求抛物线的方程 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 3．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 4．（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 5．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据所求圆与直线相切、与已知圆外切及相对位置关系，列出方程化简即可. 【详解】由题意可知，所求圆的圆心在直线左侧，即. 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与直线相切，得， 已知圆的圆心为，半径为1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即，得. 平方后整理得， 故轨迹方程为，是抛物线． 故选：C． 题型12 抛物线的焦点弦问题 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，则正数的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】抛物线方程求得弦长，进而可求正数的值. 【详解】由抛物线可得焦点坐标为， 当时，，所以， 又因为过抛物线的焦点且垂直于轴的弦长度为2，所以， 所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段检测）若A、B为抛物线上不同于一个象限上的两个点，为抛物线的焦点，连接AB，若AB过焦点且，若的横坐标为的横坐标为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，代入运算即可得结果. 【详解】由抛物线方程可知， 因为直线AB过焦点， 则， 即，所以. 故选：D. 3．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线焦点坐标求得判断A；根据焦点弦长公式求解判断B；设直线的方程为，与抛物线联立，韦达定理判断D；利用求得判断C. 【详解】因为抛物线的焦点，所以，所以，故A错误； 抛物线为，焦点为， 因为抛物线的准线为，则，， 所以，故B正确； 设直线的方程为，与抛物线联立， 消去可得，可得，，故D错误； 因为，所以， 所以，所以，故C错误. 故选：B 4．（多选）（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 5．（多选）（25-26高二下·西藏昌都·期末）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 6．（多选）（25-26高二下·广西梧州·期末）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 【答案】ABD 【分析】本题考查抛物线的基本性质、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理计算相关量即可判断各选项. 【详解】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 题型13 直线与圆锥曲线位置关系的判断 1．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】充分性分析：当时，将代入抛物线的方程，利用判别式说明充分性成立；必要性分析：将直线代入抛物线，得到，分和两种情况讨论，说明必要性不成立，从而得到结论. 【详解】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 3．（25-26高二·全国·寒假作业）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 4．双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为____________________. 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 5．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有______条． 【答案】4 【分析】结合图形，将直线分成斜率不存在和存在两种情况考虑，在斜率存在时，再考虑所得方程的二次项系数为0的情况，最后结合根的判别式为0考虑相切的情况即得. 【详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线恰只经过双曲线的右顶点，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程， 整理得：， 当时，即时，代入方程解得或， 即直线与双曲线只有1个交点为； 直线与双曲线只有1个交点为，均符合题意； 当时，由，解得， 此时直线与双曲线相切于点，符合题意. 综上，过点与双曲线有且只有一个交点的直线共有4条. 故答案为：4. 题型14 由直线与圆锥曲线的位置关系求参数 1．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，将直线方程与椭圆方程联立，令即可求出答案. 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立得， 即， 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得或， 又且，所以的取值范围是. 故选：D. 2．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对曲线方程进行分类讨论得或，直线过定点，再联立曲线方程和直线方程求解. 【详解】由题知当时，曲线方程为，当时，曲线方程为.因为时，取值与无关，所以直线恒过点. ∵如图所示,时曲线分别对应椭圆位于轴和轴上方的曲线，时曲线分别对应双曲线位于轴下方的曲线，且双曲线的渐近线方程为， ∴由图知，要使直线和曲线有两个不同交点,斜率应满足时， D正确， 故选：D. 3．（25-26高二下·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，有，则直线的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，的值，从而得到直线AB的斜率k值. 【详解】作出抛物线的准线l：，设A、B在l上的射影分别是C、D， 连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E. ∵，∴设， 由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得. 因此，Rt△ABE中，，， 则直线AB的斜率， 故选：B. 题型15 直线与圆锥曲线的弦长问题 1．（25-26高二下·河南许昌·期中）双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为5，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】双曲线，则. ，得. 双曲线右焦点为，故抛物线焦点，即. 则抛物线方程为. 设，中点横坐标，得. 由抛物线焦点弦长公式. 代入得. 2．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 代入，可得， 又因为，解得，所以， 又因为，所以，，设，所以， 则. 故选：D. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）直线过双曲线的右焦点且与交于，，，则有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【分析】由题意可知双曲线，则可求出其右焦点为,讨论直线和双曲线交于右支时，和双曲线交于左右两支时，分别求出过右焦点的最短距离，即可判断. 【详解】由题意可知双曲线，可知， 根据，则可求出其右焦点为, 直线和双曲线交于右支时，则弦长的最小值为通径长， 则通径长，即垂直于轴时，此时存在一条直线使， 直线和双曲线交于左右两支时，此时弦长的最小值为， 因为，所以可知存在两条直线使得，且这两条直线关于轴对称， 综上可知总共有条直线使得. 故选： 5．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 6．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【详解】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C 题型16 面积与周长问题 1．（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】C 【分析】对于A，由椭圆方程可判断选项正误；对于B，由椭圆的定义结合椭圆方程可判断选项正误；对于C，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】由题可得. 对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确； 对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确； 对于C，设，因，则， 注意到， 则， 注意到，则，即最小值为1，故C错误； 对于D，的面积，注意到，则，故D正确. 故选：C 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出方程，再根据题意求出，最后根据四边形面积公式运算求解即可. 【详解】设椭圆的方程为，由题意知，其中， 令，得，所以， 又，所以，所以， 所以四边形的面积为. 故选：C. 3．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 4．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的值为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由题意可得，再表示出四边形面积，可得，则可由的倾斜角求出该点坐标，结合渐近线方程即可求出的值. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限， 显然的倾斜角为的倾斜角为，故， 又，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积 ，所以， 设，由的倾斜角为，得， 于是由，得， 又，所以，解得. 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可知，准线：，设，则，利用，可得到，再由的面积为，可解得的值. 【详解】由题意可得，准线：，设，    将代入中得，则， ,,, 因为， 所以，化简得，即， 因为， 所以. 6．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】因为等腰梯形关于抛物线的对称轴对称，所以可设出A、B、C、D四点的坐标，利用抛物线方程和边长条件建立关系.又已知梯形的边长和面积，所以先根据等腰梯形面积公式，结合上下底长度，求出梯形的高.因为四个顶点在抛物线上，所以将顶点坐标代入抛物线方程，结合梯形的高的数值，建立关于p的方程求解. 【详解】四边形为等腰梯形，根据抛物线的对称性可知，轴，轴，不妨设在轴上方，如图所示， 因为，所以，所以，所以， 所以等腰梯形的高为，又因为四边形的面积为9， 所以4），解得. 故选:A. 题型17 圆锥曲线的实际问题 1．（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】C 【分析】对于A，由椭圆方程可判断选项正误；对于B，由椭圆的定义结合椭圆方程可判断选项正误；对于C，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】由题可得. 对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确； 对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确； 对于C，设，因，则， 注意到， 则， 注意到，则，即最小值为1，故C错误； 对于D，的面积，注意到，则，故D正确. 故选：C 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）一种电影放映灯的反射镜面是椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.如图，过对称轴的平面截椭圆面得到的曲线是椭圆（椭圆中心为原点，对称轴为轴，轴）的一部分，其中为椭圆的左顶点，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个焦点处.若是椭圆过的一条弦，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出方程，再根据题意求出，最后根据四边形面积公式运算求解即可. 【详解】设椭圆的方程为，由题意知，其中， 令，得，所以， 又，所以，所以， 所以四边形的面积为. 故选：C. 3．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 4．（25-26高三下·辽宁·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的值为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由题意可得，再表示出四边形面积，可得，则可由的倾斜角求出该点坐标，结合渐近线方程即可求出的值. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限， 显然的倾斜角为的倾斜角为，故， 又，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积 ，所以， 设，由的倾斜角为，得， 于是由，得， 又，所以，解得. 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可知，准线：，设，则，利用，可得到，再由的面积为，可解得的值. 【详解】由题意可得，准线：，设，    将代入中得，则， ,,, 因为， 所以，化简得，即， 因为， 所以. 6．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知等腰梯形的四个顶点均在抛物线上，其中，并且，若四边形的面积为9，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】因为等腰梯形关于抛物线的对称轴对称，所以可设出A、B、C、D四点的坐标，利用抛物线方程和边长条件建立关系.又已知梯形的边长和面积，所以先根据等腰梯形面积公式，结合上下底长度，求出梯形的高.因为四个顶点在抛物线上，所以将顶点坐标代入抛物线方程，结合梯形的高的数值，建立关于p的方程求解. 【详解】四边形为等腰梯形，根据抛物线的对称性可知，轴，轴，不妨设在轴上方，如图所示， 因为，所以，所以，所以， 所以等腰梯形的高为，又因为四边形的面积为9， 所以4），解得. 故选:A. 题型18 最值与范围问题 1．（25-26高三下·江苏淮安·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，则的内切圆半径最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和三角形内切圆半径公式，将内切圆半径转化为含三角形面积的函数，通过分析椭圆上点的纵坐标最大值，求得三角形面积的最大值，进而得到内切圆半径的最大值. 【详解】由椭圆方程，得，故， ，即，两焦点距离. 三角形内切圆半径满足公式（为三角形面积，为三角形周长，为内切圆半径），即. 对椭圆上任意点，有， 因此的周长，代入得 ，即求的最大值等价于求面积的最大值. 已知（为点的纵坐标）， 椭圆上点的纵坐标满足，当在椭圆短轴顶点时取最大值， 此时，代入得：. 因此内切圆半径最大值为. 2．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】根据题意可求得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围. 【详解】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 3．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，，分别为双曲线C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)P是双曲线C上异于左、右顶点的一点，过作平分线的垂线，垂足为M，求点M到直线的距离的最小值. 【答案】(1). (2)1 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，结合标准方程，可得答案； （2）根据角平分线性质，结合双曲线的概念可得各线段长，可得动点的轨迹，利用圆上点到定直线的距离性质，可得答案. 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，得， 又，分别为双曲线C的左、右焦点， 所以，所以， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意，延长，且与交于一点，如图所示. 由于，且为的平分线，所以， 且M点为线段的中点.不妨假设点P在双曲线C的右支上， 由于，故， 由于O，M分别为，的中点，所以， 故点M的轨迹是以原点为圆心，4为半径的圆，轨迹方程为， 点M到直线的距离的最小值为原点到直线的距离减去半径4， 即.    4．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 5．（25-26高二上·广西南宁·期末）设抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线被截得的弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出值即得. （2）设点，求出圆的方程，进而求出点纵坐标关系，再利用两点间距离公式列出函数关系并求出范围. 【详解】（1）依题意，直线的方程为，由消去得， 设直线与抛物线的交点为，则， 由直线被截得的弦长为，得， 因此，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线的焦点，设， 由以为圆心过点的圆方程为， 当时，，而，， 则，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 题型19 定点定值与定直线问题 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 2．（25-26高二下·海南·期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． (1)求C的方程． (2)设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 【答案】(1) (2) （ⅰ）； （ⅱ）当直线AB的斜率为0时，其与x轴重合，直线AQ也与x轴重合，此时直线AQ被圆E截得的弦长即为圆E的直径. 当直线AB与x轴不重合时，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，即证明即可． 设AB的方程为， 由得， 设，，则①，②． 由题意知，所以，． 要证， 即证， 即， 将①②式代入，可得左边＝右边，等式成立． 因此原命题得证． 【分析】(1)利用半焦距与离心率得到，再求出； (2)（ⅰ）求出A的横坐标，求解； （ⅱ）分直线AB的斜率为0和直线AB与x轴不重合两种情况，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，证明即可． 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意知，所以， 因为离心率为，所以，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，， 当B与C的下顶点重合时，，此时直线AB的方程为， 由得，解得或0， 因为点B的横坐标为0，所以点A的横坐标为， 所以． （ⅱ）略 3．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)①或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②略 4．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 5．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与x轴交于点Q，与直线交于点P． (1)求的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)是否存在实数，使等式成立，若存在，求的值并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由如下： 设，因为点在直线上， 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以，    则， ， ，     要验证，即验证：， 化简得：．     联立，消去可得，               因为，且，                   所以， 所以和同号，即． 因为 ，                          则，即． 【分析】（1）由题意得，可得，即可求解； （2）当时，设，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，， 结合弦长公式求得，再求出点到直线的距离，进而求解面积； （3）先表示出，再结合题设求解即可. 【详解】（1）由题意，，则， 所以的方程为． （2）设， 当时，直线的方程为，即． 联立，消去可得，     根据韦达定理，，， 则， 点到直线的距离， 所以的面积． （3）略 题型20 轨迹方程问题 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 2．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据阿波罗尼斯圆的性质得到三角形相似，进而得到比值和相应值． 【详解】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 4．（2026·广东广州·三模）如图，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点．与相交于点，则的轨迹方程为____________． 【答案】 【分析】先设点的坐标，由在上得到纵坐标参数关系，结合直线的方程代入消参，即可得到点的轨迹方程. 【详解】设点，其中，则点的坐标为， 由题意，直线的方程为 ①， 因为点在上，将点的横坐标代入①，得 ②， 又因为直线的方程为，将②代入得， 又因为点在上，所以， 即的轨迹方程为. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 6．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 2．（2026·浙江杭州·二模）设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】由条件先判断四边形为梯形，设出直线的方程，与椭圆方程联立求出，列出梯形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值. 【详解】由和可得，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因，故可设直线的方程为， 将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得， 所以， 由可知四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑， 令，则，则，则， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 【点睛】对于形如的根式，可以利用三角换元处理. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用已知条件求出，再联立椭圆方程结合即可求出. 【详解】，故点位于线段的中点，设，则， ，又，，化简得， 又M为椭圆上一点，，联立得，即， 此方程有解，则，化简得，即恒成立， 方程的两个根为和， 又，，，解得. 则C的离心率的取值范围是. 4．（多选）（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，过点作的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为，延长交的延长线于点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．存在点，使得点与的下顶点重合 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】A B由三角形的性质可得；C利用反证法并结合椭圆的定义可得；D设，由角平分线定理和椭圆的定义可得. 【详解】， 因为，是的平分线，则由三线合一可知， 故A正确； 由A选项可知，点是线段的中点， 因为是线段的中点，所以在中有，故B正确； 假设是下顶点，则由椭圆的定义可知，，， 因为，所以， 得，， 因为，所以， 则，，则， 显然不满足，故不存在点，使得点与的下顶点重合，故C错误； 设，则， 由角平分线定理可得，，则， 则， 则，，则，故D正确.    5．（多选）（25-26高二下·广东潮州·期末）抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 6．（多选）（25-26高二下·四川凉山·期末）已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 【答案】BCD 【分析】先由双曲线的定义及圆的切线长定理得，从而可得，进而可判断A错误；对B由向量的坐标运算可得，从而可判断渐近线方程；对C在焦点三角形中用余弦定理可得离心率；对D由勾股定理及双曲线的定义可得. 【详解】 设双曲线焦点 ，设的内切圆与相切于. 因为点在右支上，故. 根据三角形内切圆切线长相等：， 所以， 即. 设 ，则，得，即 . 选项A，因为到轴距离为，不一定等于，故A错误； 选项B，由 ，所以， 故，又，得，即​， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确； 选项C，由题意 ，，，， 由余弦定理：， 代入上述值得，， ，所以，，因此​​ ，C正确； 选项D，设，由，得， 又，所以 ，得​， 故​周长为 ，故D正确. 7．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 8．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知双曲线的渐近线方程为，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设，，则________． 【答案】 【分析】根据渐近线及已知可得，由题设，设，结合三角形内角的性质及三角恒等变换得，且，，即可得. 【详解】双曲线的渐近线为， 已知渐近线为，故，即， 所以，则，即， 由题设，设，则， 因此， 故，又， 故， 因此， 由几何意义得，， 因此， 所以. 9．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知定点和，动点满足直线与的斜率之积为定值． (1)求动点的轨迹方程，并指出随变化时方程所表示的曲线的形状； (2)若，设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为、（其中），的面积为，若依次成等比数列， （ⅰ）求证为定值； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1)动点的轨迹方程为， 当，轨迹是焦点在轴上的双曲线，且点和不在曲线上； 当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上； 当，轨迹是圆，且点和不在曲线上； 当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上； (2)（i）定值为5； （ii）的取值范围为. 【分析】（1）设动点,依题意有,由此能求出动点的轨迹方程,并能指出随变化时方程所表示的曲线的形状; （2）（i）设直线的方程为，由得，由此利用韦达定理和等比数列条件先求出，再结合椭圆方程消元，用韦达定理证明为定值； （ii）用弦长公式和三角形面积公式，把面积转化为关于的函数，通过换元结合判别式求面积范围. 【详解】（1）设动点，依题意有，所以动点的轨迹方程为， 当，轨迹是焦点在轴上的双曲线，且点和不在曲线上； 当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上； 当，轨迹是圆，且点和不在曲线上； 当，轨迹是焦点在轴上的椭圆，且点和不在曲线上； （2）设直线的方程为， 由,解得， 由韦达定理有:，且, 构成等比数列, ，即, 由韦达定理代入得，因为，若，则三点共线，所以， 则上式化简为，, （i）此时直线方程为，将代入韦达定理得， ， 因为，所以代入得， 故定值为5. （ii）当时，，即. 故， 由判别式，即，令， 则，当时，；当或时，， 则的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $