专题22 拓展练五：圆锥曲线的方程（定点、定值、定直线问题）（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题22拓展练五：圆锥曲线的方程（定点、定值、定直线问题） 题型归纳 题型一：圆锥曲线中的定点问题 题型二：圆锥曲线中的定值问题 题型三：圆锥曲线中的定直线问题 题型专练 题型一：圆锥曲线中的定点问题 1、已知质C:号+若=1的左、右焦点分别为5，，无顶点为A,1A+=4,兴心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)已知点B(-2,0),M,N是曲线C上两点（点M,N不同于点A),直线AM,AN分别交直线x=-2于 PQ两点，考丽而=}，证明：直线MW过定点 1/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.已知椭圆E经过点P1, 2√2 且与双曲线女-上=1有相同的焦点 35 (1)求椭圆E的方程： (2)设E的左，右顶点分别为A,B,过点 且斜率不为0的直线1与E交于C,D两点，过点C作关于x轴 的对称点C,连结CD得到直线，试探究：直线是否恒过x轴上的一个定点. 3.已知题C等+茶-a>6>0的左焦点为，点Q引，0 y2 等分椭圆C的短轴，且 3√10 sin∠FAB= 10 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点A作与x轴不垂直的直线I与椭圆C交于点M,N,椭圆C上是否存在点P,使得恒有PM⊥PN? 若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。 2/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.已肉椭圆E:号+号=o>b>0过点0，长销长为4 (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线1：y=kx+2与椭圆E交于A,B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D.求证： 直线AD过定点. 5.已知P为圆E:x2+y2+2x-7=0上的一个动点，F,1,0),若线段PE的垂直平分线交PF于M,记M的 轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过F作斜率为1的直线1交曲线E于A,B两点，求△ABF的面积： (3)已知Q0,),若直线1与曲线E相交于C,D,且QC⊥QD,求证：直线1恒过定点. 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·已知双曲线C二经过点2,3引，两条渐近线的夹角为60，直线交双曲线于4B两点 (1)求双曲线C的方程， (2)若动直线1经过双曲线的右焦点E,是否存在x轴上的定点M(m,0),使得以线段AB为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由. 7.已知双曲线C:等卡-1a>0,6>0过点(5,2列，目商近线方程为y=2x.直线过点0，且与C交 于M,N两点 (1)求双曲线C的方程； (2)在y轴上是否存在定点Q,使得QM.QN为定值？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由. 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.已知双曲线C:-1>0.b>01的左顶点为A-2,0,右焦点为F,点B在C上.当8F上AF时■ AF=BF.不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于P,Q两点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线PQ过点F,在x轴上是否存在点N,使得x轴平分∠PNQ？若存在，求出点的N的坐标；若不存在， 说明理由. 9.己知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x,y)为抛物线上一点，且AF=x+1,直线AF与抛物线 交于另一点B,点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段AB中点的纵坐标为2，求直线AB的方程； (3)求证：直线AC过定点，并求该定点坐标. 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.已知点F(2,0)及直线1：x=-2,点Q为直线1上的动点，过点Q垂直于1的直线与线段F四的垂直平分 线交于点P (1)求点P的轨迹C的方程； (2)若AB为(1)中的曲线C上的两个动点，且∠AOB=(0为坐标原点)求证：直线AB过定点，并求出 该定点的坐标. 11.在平面直角坐标系x0y中，过原点0直线x-y=0交抛物线C:y2=2px(x>0)于另一点Q,且 10gl=4V2 (1)求抛物线C方程： (2)已知A,B为抛物线C上两动点，且关于x轴对称，P(1,0),连接PA交抛物线C于点M,直线BM是否过 定点？若过定点，求出定点坐标 6/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.已知抛物线C:y产=2pr(p>0)的焦点为F,点M},m 在抛物线上，且0MF的面积为P(O为坐 4 标原点)· (1)求抛物线C的标准方程； (2)点A、B是抛物线C上异于原点O的两点，直线OA、OB的斜率分别为k、飞，若k,k2=-2,求证：直 线AB恒过定点. 题型二：圆锥曲线中的定值问题 13.已知椭圆C: a+=(a>b>0)的离心率e=5 x2.y2 ,a+b=3. VA D (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N,直线AD 交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,求证：2m-k为定值. 7/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，已知椭圆C:号+y-1的左焦点为F,设过点F且斜率存在的直线1与精圆C相交于A,B两点。 PF 线段AB的垂直平分线交x轴于点P.试判断 AB 是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明 理由. B 已趟圆C名+a>0的左、石焦点分别为，内，椭顺C的离心率为，点P是质C b2 动点，且PFPF,的最大值为2 (1)求椭圆C的方程 (2)过点M 2,0的直线交椭圆C于E,下两点，判断ME+MF是否为定值？若为定值，求出该定值；若 不为定值，请说明理由。 8/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6,已图C名+a>h>0的离心车2B 2 ,F,E,分别为其左右焦点，Q为椭圆C上一动点， △FQF,面积最大值为√ (1)求椭圆C的标准方程； (2)记椭圆的左顶点为A 过P0作直线，若直线I与椭图C交于M,N两点，M,N均不与A重合，求证： 直线AM与直线AN斜率之积为定值： 1又.已知椭离G:菁+长=0<6<2)的右焦点F和抛物线C,:r:2pxD>01的点重合，且G过点 (1)求C和C,的方程： 2过点F作直线1分别交椭圆G于点4B,交抛物线C于点PO,是否存在常数A和“，使得AB十P@为 定值？若存在，求出二的值；若不存在，说明理由. 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.已知双雷线C:后若-a>0b>0)的左、右医点分划为42,0,20，离心幸为万.过点40的 直线1与C的右支交于M、N两点，设直线AM,BM,BN的斜率分别为k,k2,k;· a诺长R:店： (2)证明：k2k+k为定值. 1识，设动点v到定点FB0的距离与它到定直线1：x=号的距之比为 (1)求点M的轨迹E的方程； (2)过F的直线与曲线E交右支于P、Q两点(P在x轴上方)，曲线E与x轴左、右交点分别为A、B,，设直 线4P的斜率为k,直线BQ的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理 k 由. 10/18 专题22 拓展练五：圆锥曲线的方程（定点、定值、定直线问题） 题型一：圆锥曲线中的定点问题 题型二：圆锥曲线中的定值问题 题型三：圆锥曲线中的定直线问题 题型一：圆锥曲线中的定点问题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为,且，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，是曲线上两点（点不同于点），直线，分别交直线于两点，若，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，列方程组，解出，即可求解； （2）根据题设直线的方程为，（），，，联立直线与椭圆方程，消去整理得，利用根与系的关系得，再根据题设求出，，结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知, 解得，所以椭圆C的方程为. （2）由题意知，直线斜率不为，设直线的方程为，（） ，，，联立方程， 消去整理得， 所以， 易知直线为，令，得到，则， 同理可得， 所以 ， 将代入，化简整理得， 解得（舍）或， 所以直线恒过定点. 2．已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【答案】(1) (2)直线恒过轴上的一个定点 【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，根据椭圆上的点列式解出的值，即可得方程； （2）设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出的关系.设直线与轴交于点，有，代入求解得出的值，即可得出定点坐标. 【详解】（1）由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以直线恒过轴上的定点. 3．已知椭圆的左焦点为，点，三等分椭圆的短轴，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作与轴不垂直的直线与椭圆交于点，，椭圆上是否存在点，使得恒有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆性质可得出短轴长，再由正弦值即可求得椭圆的标准方程； （2）设出直线方程并与椭圆联立，根据韦达定理利用数量积的坐标表示计算，可解得点满足题意. 【详解】（1）根据题意可知，可得； 又，解得； 因此， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题可知直线的斜率存在， 不妨设斜率为，即，，如下图所示： 联立，整理可得，易知； 由韦达定理可得； 所以， ； 若，可得， 所以 对于恒成立； 即， 也即， 因此可得，解得， 而点在椭圆上，即存在点满足题意. 【点睛】难点点睛：此类圆锥曲线的综合解答题，一般比较复杂，计算量较大，难点在于基本都是字母参数的运算，因此需要十分细心. 4．已知椭圆过点，长轴长为4. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点. 【答案】(1)，离心率 (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知易求得，易求得椭圆方程与离心率； （2）设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标，联立方程组，结合韦达定理可得，表示出直线AD的方程为：，令得：计算可求得定点. 【详解】（1）因为椭圆E过点，所以， 又因为长轴长为4，所以，所以， 所以. 椭圆E的方程为：，离心率. （2）由得：， 由得：或， 设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标， ，    由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：， 令得： ， 所以直线AD过定点. 5．已知P为圆上的一个动点,，若线段的垂直平分线交于M，记M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过作斜率为1的直线l交曲线E于A，B两点，求的面积； (3)已知 ，若直线l与曲线E相交于，且，求证：直线l恒过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合图形得到，推得，即得曲线E是以为焦点的椭圆，从而得到其方程； （2）设点，将直线与椭圆方程联立，求出，利用三角形面积公式计算即得； （3）设，将其与椭圆方程联立，设，写出韦达定理，由,可得，代入坐标化简得：，再将韦达定理代入化简得，求出，即得定点. 【详解】（1） 将圆化为标准方程；   如图，因M为线段的垂直平分线上一点，故， 则有, 故曲线E是以为焦点的椭圆，所以，则； 故曲线E的方程为. （2） 由题意，如图可知直线l的方程为,代入， 整理得：，设点，则； 故的面积为. （3） 由题意,如图可知直线l的斜率一定存在，设， 联立，整理得：， 由韦达定理可得：① 因为，所以，又， 所以 又，所以 将①代入上式整理可得：，解得或（舍） 所以直线，所以直线恒过定点. 6．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程. (2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，使得以线段为直径的圆恒过点 【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程； （2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值. 【详解】（1）两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或； 当时，由得：，，双曲线的方程为：； 当时，方程无解； 综上所述：双曲线的方程为：. （2）由题意得：， 假设存在定点满足题意，则恒成立； 方法一：①当直线斜率存在时，设，，， 由得：，， ，， ， ， 整理可得：， 由得：； 当时，恒成立； ②当直线斜率不存在时，，则，， 当时，，，成立； 综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点. 方法二：①当直线斜率为时，，则，， ，，， ，解得：； ②当直线斜率不为时，设，，， 由得：，， ，， ； 当，即时，成立； 综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理； ④由所得等式恒成立可整理得到定点. 7．已知双曲线：过点，且渐近线方程为.直线过点，且与交于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由点在双曲线上，结合渐近线方程得出双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理以及数量积公式，由为定值得出点坐标. 【详解】（1）由题可得，∴； （2）显然直线斜率存在，所以设直线：，，，， 联立得，∴，， ，， ∴， ∴，. 8．已知双曲线的左顶点为，右焦点为F，点B在C上．当时．不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于P，Q两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线PQ过点F，在x轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，求出点的N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据顶点坐标、及可求解； （2）直线，与双曲线联立，由条件可知有，结合韦达定理可求解. 【详解】（1）依题意，，，， 解得，得，. ∴． （2）假设存在，，设，， 设直线，则，得， 则，且， 即，即， 依题意，， 即，， ，， 即，，， 故存在． 9．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由可得，进而可得； （2）设方程为，联立，可得，进而可得； （3）设，可得直线方程为，由，，可得，进而可得. 【详解】（1）由抛物线的定义知：， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，，因为的斜率不为，设方程为，， 联立，得， 所以， 又由，得，所以方程为，即. （3）由（2）知：， 因为，所以方程为， 即：，又因为， 所以， 故直线方程为， 所以直线经过点. 10．已知点及直线，点为直线上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若为（1）中的曲线上的两个动点，且（为坐标原点）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点. 【分析】（1）由抛物线定义即可得到轨迹方程. （2）先直线与抛物线联立，由韦达定理得，又由得，即可求得坐标.或者用齐次化方法求解. 【详解】（1）由题设知，，且. 所以点到定点的距离等于到定直线的距离，又因为直线不经过点， 所以由抛物线的定义可知，点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线. 故点的轨迹的方程为：. （2） 证法一： 由题设可知，直线的斜率不为0，且不过原点，故设， 由得：. 设， 则. 因为，所以. 解得或（舍）. 且满足，所以直线的方程为. 故直线过定点. 证法二（齐次化方法）：由题设可知，直线不过原点，设， 由得：. 显然，从而有. 设，则为方程（※）的两根， 所以. 又，所以.解得，且满足 所以直线的方程为即. 故直线过定点. 11．在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，求出，再代入抛物线方程即可求解； （2）设则，求出直线的方程，可得其与抛物线的交点的坐标，表示出直线的方程，结合点在抛物线上化简方程，即可求出直线所过定点坐标. 【详解】（1）由题意得，解得， ，解得， 抛物线方程； （2）设，则， 直线的方程为， 与，联立得， ， 直线的方程为， ，所以 直线的方程化简得， 直线过定点. 12．已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的标准方程； (2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于实数、的方程组，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由斜率公式结合抛物线方程推导出，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，可求得的值，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以，抛物线的方程为. （2）设点、，则， 即， 显然，所以，， 若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立，消去得， 则，且，又， 则，解得，满足， 所以，直线的方程为，故该直线过定点. 题型二：圆锥曲线中的定值问题 13．已知椭圆：的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和，联立即可求解得椭圆方程， （2）联立直线与椭圆方程可得，联立两直线方程可求解，进而根据三点共线的向量坐标关系可求解，即可由斜率公式求解. 【详解】（1）因为，故，所以． 由，得． 所以椭圆的方程为． （2）因为不为椭圆顶点，则的方程为且．① 将①代入，， 故，解得，故． 又直线的方程为．② ①与②联立解得． 由得, 由三点共线可得， 求得． 所以的斜率，则（定值）． 14．如图，已知椭圆的左焦点为，设过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点．试判断是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．    【答案】是， 【分析】解法1：设出直线的方程为，进而联立方程，利用韦达定理和弦长公式得到，利用点在线段的垂直平分线上，进而得到，最后利用两点间距离公式可得，进而求解即可； 解法2：求出线段的中点和线段的垂直平分线方程，可得点的坐标，可求得，可得所求的比值； 解法3：利用椭圆的第二定义及三角形相似求解即可． 【详解】解法1：由题意，，设，，，直线的方程为． 联立得， ，，． 因为点在线段的垂直平分线上，所以，所以， 代入，，化简得， 所以，，为定值． 解法2：同解法1得，线段的中点， 所以线段的垂直平分线为，得， 所以，同解法1得的表达式，故，为定值． 解法3：过点，向左准线作垂线，垂足分别为，，作于点，如图． 由椭圆第二定义得， 而，即， 又， 所以，为定值．    15．已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上一动点，且的最大值为2. (1)求椭圆C的方程. (2)过点的直线交椭圆C于E，F两点，判断是否为定值?若为定值，求出该定值;若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值3，理由见解析. 【分析】（1）根据基本不等式求出，根据离心率和，求出，得到椭圆方程； （2）分直线EF的斜率为零和不为零两种情况，当斜率不存在时，可直接进行求解，得到，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，计算出，可得结论. 【详解】（1）因为离心率为，所以， 又椭圆定义知， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 故，所以， 所以， 故椭圆C的方程为. （2）当直线EF的斜率为零时，则点E，F为椭圆长轴的端点， 则 当直线EF不与x轴重合时，设直线EF的方程为，设点， 联立，消去x得， 恒成立， 由韦达定理得，， 故 . 综上所述，为定值3. 16．已知椭圆的离心率分别为其左右焦点，为椭圆上一动点，面积最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)记椭圆的左顶点为，过作直线，若直线与椭圆交于两点，均不与重合，求证：直线与直线斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由在短轴端点时面积最大得到，再结合离心率即可求解； （2）设，联立椭圆方程，通过韦达定理及斜率公式即可求证. 【详解】（1）面积最大值为，又定值， 所以当在短轴端点时面积最大， 解得，椭圆方程为 （2） 由于均不与重合，则直线斜率不为0，设 联立直线与椭圆得， 判别式，则有： 则， 则 17．已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点重合，且过点． (1)求和的方程； (2)过点作直线分别交椭圆于点，交抛物线于点，是否存在常数和，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；． (2)存在，. 【分析】（1）将代入椭圆方程可求得，即可求出的方程；再由椭圆与抛物线的右焦点重合，可求出的方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立由弦长公式可求出，，假设为定值，可得，解方程可求出的值. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以，所以， 所以方程：． 又因为椭圆的右焦点， 所以，所以方程：． （2）解：假设存在这样的， 设直线的方程为：， ． ， ，， ， 设， ， ，， ， 为定值． ，任意的实数恒成立 ，得到， 当时，为定值．    18．已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为． (1)若，求：； (2)证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线的方程，联立方程组，由韦达定理可解； （2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得，再结合（1）中结论即可得证. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由题意得，，所以． 因为，所以，所以C的标准方程为． 直线，由消去y化简并整理得， 解得或（舍），所以． 又直线过点，所以直线的方程为，所以． （2）设，则． 因为，所以． 设直线，由消去x化简并整理得． 设，则， 故 ． 所以为定值． 19．设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且定值为 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    20．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且离心率. (1)求双曲线的方程; (2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于M，N两点.探究:是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，1 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求的值，可得双曲线的方程. （2）对直线斜率是否为0分类讨论.当直线斜率部位0时，设其方程为：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，，再表示出，化简即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意得，，解得， 故双曲线的方程为. （2）如图： 由题意得，， 当直线MN的斜率为零时，则 当直线MN的斜率不为零时，设直线MN的方程为， 点，联立，整理得， 则，解得且， 所以， 所以 ， 综上，，为定值. 21．在直角坐标系xOy中，点到直线的距离等于点到原点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)点A，B，C，D在上，A，B是关于轴对称的两点，点位于第一象限，点位于第三象限，直线AC与轴交于点，与轴交于点，且B，H，D三点共线，证明：直线CD与直线AC的斜率之比为定值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直接法，求轨迹方程； （2）首先设点，并表示直线的方程，并由已知条件求得点的坐标，并利用方程联立表示的坐标，并利用坐标表示斜率，即可求解. 【详解】（1）设，则， 两边平方，化简得， 故的方程为. （2）证明:设点的方程为，则，因为，所以 从而直线BD的方程为 联立可得，所以，则， 所以 联立可得，所以，则，所以. 所以直线CD的斜率为. 所以直线与直线的斜率之比为.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是设出点的坐标，并找到坐标的关系，从而求得斜率的关系. 22．已知直线与抛物线交于两点，，与抛物线交于两点，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限，设，的面积分别为，，（O为坐标原点），若，证明为定值 【答案】证明见解析 【分析】设，联立直线和抛物线，利用韦达定理，代入中，可用分别表示，根据求出比值即可. 【详解】设，，，， 设，联立，整理得， 则，， 联立，整理得，则，，    因为四点共线且， 所以， 则，， ， ， 其中，，解得， 则，，，则，所以为定值. 23．已知抛物线的焦点为，且点关于直线的对称点恰好在上． (1)求抛物线的方程； (2)斜率为的直线与抛物线交于两点，且，过点且与直线垂直的直线交轴于点，求证：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）利用点关于直线对称的特征求得的对称点，代入抛物线方程即可得解； （2）根据题意联立直线与抛物线方程得到，再利用焦点弦公式求得，利用两距离公式求得，从而得证. 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 则，解得， 将点代入抛物线方程可得，即， 抛物线的方程为． （2）由（1）得，且在上， 由题意易知直线的斜率存在且不为0，不妨设直线的方程为，， 联立，得， 易得，设，则， ， 过点且与直线垂直的直线方程为， 令，得，即， 则. 24．已知抛物线：的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义即可求解值. （2）设出直线的方程并求出点的坐标，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理及共线向量的坐标表示推理即得. 【详解】（1）抛物线：的准线，由抛物线定义得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，，显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，则点， 由消去并整理得，显然，，， 而，， 由，得，即，解得， 由，同理得， 因此为定值， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 题型三：圆锥曲线中的定直线问题 25．已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点． (1)求C的方程； (2)若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程. （2）设则，，联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及、关于k的表达式，再联立直线与求交点坐标，即可证结论并确定直线方程. 【详解】（1）因为，所以，解得． 因为C过点，所以，解得． 所以C的方程为． （2）由题意，设，则，． 由，整理得，则， 解得且，，． 由得：， 所以点G在定直线上． 26．已知椭圆（a>b>0）的离心率为，短轴的下端点A的坐标为（0，－1）. (1)求椭圆E的方程； (2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且|AB|=|AC|，BC 的中点为G ，求证：点G在定直线上运动. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据离心率及，即可求出，从而得解； （2）设直线BC的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，设的中点，即可得到，且 ，当时，轴，当时，由AG⊥BC ，得，即可得到，从而得到，即可得解； 【详解】（1）解：由椭圆E短轴的下端点A的坐标为，得，即； 由，得， 代入上式，解得，从而， 所以椭圆E的方程为. （2）解：若 轴，不符合题意； 若 与 轴不垂直，设直线BC的方程为，代入并整理，得 一方面，必须； 另一方面，设，，则， 设的中点 ，则 ， 且 ， ①当时，轴，显然点G在y轴上. ②当时，由AG⊥BC ，得， 则即 ，化简得， 代入，得，解得. 所以 ，，即， 故点（）在定直线上运动. 综上，当轴时，显然点G在y轴上运动；当BC与不平行不垂直时，点G在直线上运动. 27．已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程． 【答案】(1) (2)证明见解析；直线 【分析】(1)根据题意可得，进而解出，，即可得出椭圆方程； (2)设直线的方程为：，设，，联立椭圆方程消去得到关于的一元二次方程，根据韦达定理表示出；利用直线的点斜式方程求出直线、的方程，两直线方程联立方程组并消去，整理化简即可得出结果. 【详解】（1）由题得：，，， 解得：，， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为：，设，， 联立，得，， 由韦达定理得，，∴． 因为，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立消去，得， 整理得 ， 所以直线，的交点一定在直线上． 28．已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交点，直线交于点N，求证:点N在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设动点坐标依据题意列式即可求解； （2）设，，，直线方程，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，再求出直线和的方程，联立直线和的方程，代入，、即可求解. 【详解】（1）设动点， ∵动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为， ∴，整理得， ∴曲线C的方程为； （2）设，，，直线方程， 与椭圆方程联立，整理得：， ， 由韦达定理得：，化简得：， 由已知得,, 则直线的方程为，直线的方程为， 联立直线和： ，代入，、可得：，化简可得：， 所以N点在一条定直线上． 29．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由点A的坐标求得，结合双曲线的定义求得，进一步计算得出双曲线的方程即可； （2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程. 【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得， 焦点，，. 所以，，故C：. （2）设l的方程为，则，故， 当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，故. 与双曲线方程联立得：， 由已知得，，设，， 则，① 由，得：，， 消去得：， 即② 由①②得：，由已知； 当直线PQ的斜率不存在，此时，，，，，符合题意； 故存在定直线l：满足条件. 30．已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 【答案】(1)1 (2)是在定直线上，定直线 【分析】（1）根据题意列出方程组得到，设，，，利用点差法即可求解； （2）根据（1）的结论得出，，设直线l：，，设，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线与直线的方程得出，进而得证. 【详解】（1）由题意得，所以， 设，，， 则， 作差得， 又MN的斜率，， 所以. （2）∵，∴，，， 直线l：，， 设，， 联立得， 所以，所以， 设直线AN：，BM：， 所以， 所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上． 31．在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上. 【答案】（1）（2）总在定直线上. 【分析】（1）由于点在中垂线上，所以，从而，得出答案. （2）由于线段成比例，因此考虑设比值：，结合图形有，利用向量坐标关系可得：设，，由于在抛物线上，所以，因此等价变形得，即 【详解】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上， 则，又点到抛物线的准线的距离为 所以，则 所以抛物线的方程为. （2）设，记. 则，， 联立可得， 又，代入得， 所以总在定直线上. 32．已知抛物线C：的焦点为F，直线与轴的交点为P，与C的交点为Q，且． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）点在抛物线C上，是否存在直线与C交于点，使得△ 是以为斜边的直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线定义得，解得，所以C的方程为，（Ⅱ）先利用坐标转化条件以为斜边的直角三角形：，再根据直线与抛物线联立的方程组，利用韦达定理得，代入上式即可证得，本题实质以算代证. 试题解析：（Ⅰ）设，代入，得． 由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为． （Ⅱ）由知，点，假设存在满足条件的直线， 设，联立方程组得， 由题意得 ， 代入得，解得（舍）或，． 考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系 33．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求该抛物线的方程； (2)为坐标原点，是否存在平行于的直线，使得直线与抛物线有公共点，且直线与的距离为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设直线方程为，联立方程组,由，结合韦达定理以及焦半径公式可求得，从而可得结果；（2）可：，假设存在这样的直线，，利用点到直线的距离公式得，从而可得结论. 【详解】（1）设直线方程为，联立方程组 整理得到，所以. 由抛物线定义得，，所以，所以方程为. （2）可得,直线： 假设存在这样的直线，，,得 经检验，直线方程为. 【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及焦半径公式、点到直线距离公式的应用，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 34．已知两点在抛物线上，点满足． （1）若线段，求直线的方程； （2）设抛物线过两点的切线交于点．求证：点在一条定直线上． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）设，根据韦达定理表示出，根据弦长公式计算即可 . （2）先表示出过点的切线和过点的切线，然后两直线联立可求出点的坐标，即可得到点在定直线上． 【详解】（1）设， 与联立得， ， ， ， 又，即， 解得：（舍），所以直线的方程 （2）证明：过点的切线： ，①， 过点的切线：，②， 联立①②得点，所以点在定直线上． 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，考查了计算能力，属于中档题 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $