专题05 椭圆（期中复习讲义）（知识必备+10大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教B版

专题05 椭圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆定义 掌握椭圆的定义 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据椭圆定义求方程 掌握椭圆的定义求标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据方程表示椭圆求参数 掌握椭圆的标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 椭圆离心率 掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义 基础考点，常出现在选择题，填空题 椭圆中的焦点三角形 掌握椭圆中焦点三角形常用结论，定义，余弦定理，面积公式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 椭圆的实际应用 能通过审题，将椭圆的实际应用问题转化为椭圆方程及性质的应用问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明：若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 说明：（1）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （2）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （3） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. ·易错点：这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 知识点03 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 说明：椭圆的离心率为椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 知识点04 椭圆的参数方程（拓展） 以焦点在x轴上的椭圆标准方程为例进行推导。 我们知道三角函数中有，这与椭圆标准方程的形式相似。于是，我们可以令： 将其代入椭圆标准方程中： 所以，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）。 同理，焦点在y轴上的椭圆标准方程的参数方程为（为参数）。 知识点05 椭圆的参数方程（拓展） 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，. （4）椭圆的焦点三角形面积：已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，则的面积为. (5)椭圆的焦半径公式： 若点P在椭圆C: 上，且C的左、右焦点分别为，则（可巧记为：左加右减）. 若点P在椭圆C: 上，且C的下、上焦点分别为，则（可巧记为：下加上减）. 题型一 利用椭圆的定义求轨迹方程 解｜题｜技｜巧 用椭圆定义求轨迹方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可. 【典例1-1】．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ． 题型二 根据方程表示椭圆求参数 解｜题｜技｜巧 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【典例2】 “是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（多选）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【变式2-2】（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 题型三 求椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【典例3】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为 ． 【变式3-2】已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为 . 【变式3-3】（2025·高二·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 题型四 和、差距离的最值 解｜题｜技｜巧 设，分别为椭圆的两焦点，点是椭圆上任一点，点为平面内一定点. （1） 若定点在椭圆内， ①求 的最值：由 ，转化为求的最值. 有 ，当、、三点共线时取等号，则； ②求 的最值：有，当、、三点共线时取等号，则； （2）若定点在椭圆外，分析过程同（1）. 【典例4】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是 ． 【变式4-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 题型五 椭圆的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 以椭圆为例，，分别为椭圆的左右焦点，点（除长轴两端点外）是椭圆上任一点，直线与椭圆相交与、两点，,与轴相交于点 （1）焦点三角形面积 （2） （为点到直线的距离） （3）（为坐标原点） 【典例5-1】（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【典例5-2】（多选）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【变式5-1】（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【变式5-2】（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 题型六 椭圆的离心率问题 解｜题｜技｜巧 常用工具：定义： 余弦定理： 齐次式：通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造，的齐次式求离心率（注意椭圆）. 【典例6-1】已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025·高二·四川南充·期中）已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 【变式6-1】已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知椭圆上存在一点，使得（为长轴端点），则此椭圆的离心率的取值范围是 ． 题型七 椭圆有界性的应用（拓展） 解｜题｜技｜巧 对于与椭圆上的动点有关的取值范围或最值问题，常见的一种解题策略是：将所求量用椭圆上点的坐标表示，建立关于横坐标或纵坐标的函数，再利用椭圆上点的坐标的范围求解. 【典例7-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 【典例7-2】（多选）（24-25高二上·浙江·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）（2024·山东济南·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【变式7-2】（24-25高二上·江苏南京·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八 椭圆的实际应用（学科交叉题） 解｜题｜技｜巧 解决椭圆的实际应用问题的一般思路是：根据题意得到几何图形，建立适当的平面直角坐标系，与椭圆知识相联系，找出题目中已知量和隐含条件的关系，求出椭圆方程. 【典例8-1】某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 【典例8-2】（25-26高二上·江西南昌·期中联考）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【变式8-1】（25-26高二上·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 题型九 椭圆参数方程的应用（拓展） 解｜题｜技｜巧 椭圆的参数方程常用于解决与椭圆有关的点的轨迹问题，代数式的取值范围问题等. 【典例9】（2024高三·全国·专题练习）若椭圆的焦点在y轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好和椭圆只有一个交点，则椭圆内接矩形面积最大时的离心率是 . 【变式9-1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知椭圆的标准方程为，则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·宁夏银川·期中）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程： (2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值. 题型十 椭圆方程及性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 对于这类综合应用问题，一般采用各个击破的策略，即该用到椭圆定义或方程的就用定义或方程求解，该用到几何性质的应用几何性质求解. 【典例10】．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 【变式10-1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【变式10-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（24-25高二上·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 2．（24-25高二下·重庆·期中）若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 7．（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 8．(多选)（24-25高二下·福建·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 9．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ． 10．设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 11．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 12．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 13．(24-25高三下·山东·阶段练习）设甲：曲线表示焦点在x轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 15．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 16．过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 18．（多选）（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 19．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 20．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上的动点，下列说法中正确的是 ． ①当时，满足的点有2个； ②当时，满足的点有4个； ③的面积最大为； ④的周长小于． 21．（24-25高二上·重庆·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 . 22．已知椭圆C：，椭圆的长轴长为6，离心率为，M为椭圆上一动点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，求的最小值. 23．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？求出坐标，并求出此时的椭圆方程． 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 24．椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 26.（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆定义 掌握椭圆的定义 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据椭圆定义求方程 掌握椭圆的定义求标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据方程表示椭圆求参数 掌握椭圆的标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 椭圆离心率 掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义 基础考点，常出现在选择题，填空题 椭圆中的焦点三角形 掌握椭圆中焦点三角形常用结论，定义，余弦定理，面积公式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 椭圆的实际应用 能通过审题，将椭圆的实际应用问题转化为椭圆方程及性质的应用问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明：若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 说明：（1）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （2）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （3） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. ·易错点：这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 知识点03 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 说明：椭圆的离心率为椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 知识点04 椭圆的参数方程（拓展） 以焦点在x轴上的椭圆标准方程为例进行推导。 我们知道三角函数中有，这与椭圆标准方程的形式相似。于是，我们可以令： 将其代入椭圆标准方程中： 所以，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）。 同理，焦点在y轴上的椭圆标准方程的参数方程为（为参数）。 知识点05 椭圆的参数方程（拓展） 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，. （4）椭圆的焦点三角形面积：已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，则的面积为. (5)椭圆的焦半径公式： 若点P在椭圆C: 上，且C的左、右焦点分别为，则（可巧记为：左加右减）. 若点P在椭圆C: 上，且C的下、上焦点分别为，则（可巧记为：下加上减）. 题型一 利用椭圆的定义求轨迹方程 解｜题｜技｜巧 用椭圆定义求轨迹方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可. 【典例1-1】．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 【典例1-2】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 【变式1-1】（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 【变式1-2】在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ． 【答案】12 【详解】设 ，则 .由 ，知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，长轴长为 10 ，焦距为 6 .椭圆半长轴 ，半焦距 ， 半短轴 . 设，则的轨迹是椭圆， 面积 ， 当 取最大值(即半短轴 )时，面积最大. 最大面积为. 题型二 根据方程表示椭圆求参数 解｜题｜技｜巧 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【典例2】 “是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，方程，可化为标， 当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立； 若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立， 所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.故选：A. 【变式2-1】（多选）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD 【变式2-2】（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可. 【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或． 又，，得，所以或． 故选:BC． 题型三 求椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【典例3】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 【变式3-1】已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知， 所以． 又因为， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式3-2】已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】由条件可知，，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆， 且，，，， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 【变式3-3】（2025·高二·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 题型四 和、差距离的最值 解｜题｜技｜巧 设，分别为椭圆的两焦点，点是椭圆上任一点，点为平面内一定点. （1） 若定点在椭圆内， ①求 的最值：由 ，转化为求的最值. 有 ，当、、三点共线时取等号，则； ②求 的最值：有，当、、三点共线时取等号，则； （2）若定点在椭圆外，分析过程同（1）. 【典例4】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 【变式4-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是 ． 【答案】30 【分析】根据定义，再利用求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 【变式4-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 题型五 椭圆的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 以椭圆为例，，分别为椭圆的左右焦点，点（除长轴两端点外）是椭圆上任一点，直线与椭圆相交与、两点，,与轴相交于点 （1）焦点三角形面积 （2） （为点到直线的距离） （3）（为坐标原点） 【典例5-1】（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由椭圆方程可知，，则， 由椭圆定义得的周长是，故A正确； 设，面积的为， 则面积的最大值为，故B正确； 可知，当位于椭圆短轴一个端点时，最大，此时， 又，则为正三角形，， 即不存在点P，使，故C错误； 可知，当位于椭圆右顶点时，最大值为， 当位于椭圆左顶点时，最小值为， 即的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 【典例5-2】（多选）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【解析】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 【变式5-1】（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（   ） A．若，则的面积为 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解析】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以的面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 【变式5-2】（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 对于A，在中，设，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； 对于B，的面积为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ABD． 题型六 椭圆的离心率问题 解｜题｜技｜巧 常用工具：定义： 余弦定理： 齐次式：通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造，的齐次式求离心率（注意椭圆）. 【典例6-1】已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 【详解】在中，设，，则，如图：    根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 【典例6-2】（2025·高二·四川南充·期中）已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】若的长半轴为3，即，又， 所以的周长小于12，不符题意． 所以的长半轴为，，解得， 所以椭圆， 所以的离心率为． 【变式6-1】已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率. 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 【变式6-2】已知椭圆上存在一点，使得（为长轴端点），则此椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】写出所在直线的斜率表达式，利用三角形的外角，得出，两边取正切，得出，由点在椭圆上得出，两式联立求出有关的表达式，即可求解离心率范围. 【详解】由题意，设点的坐标分别为． 由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方，即， 则所在直线的斜率分别为，． 设的外角为，， 由外角性质得，即， ∴， ∵， ∴，即， 化简得， 又点在椭圆上，则，即． ，得， ∵，∴． ∵，∴，即， ∴，整理得， 即，解得． ∵，∴． 故答案为：. 题型七 椭圆有界性的应用（拓展） 解｜题｜技｜巧 对于与椭圆上的动点有关的取值范围或最值问题，常见的一种解题策略是：将所求量用椭圆上点的坐标表示，建立关于横坐标或纵坐标的函数，再利用椭圆上点的坐标的范围求解. 【典例7-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 【答案】C 【分析】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【详解】若是左焦点，连接，又关于原点对称，    所以为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则 ，开口向上且对称轴为，又， 所以. 故选：C 【典例7-2】（多选）（24-25高二上·浙江·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D. 【详解】，，，，，设，，则，， A．，范围是，故A正确； B．设，则，故B错误； C．设为原点，则；故C正确； D．和的最大值为，最小值为 ，所以的最大值为，最小值为，，故D正确. 故选：ACD 【变式7-1】（多选）（2024·山东济南·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 【变式7-2】（24-25高二上·江苏南京·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则此时，则，讨论焦点在轴和在轴上两种情况即可求解. 【详解】因为为正实数，则若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点满足，则此时，则， 则，解得； 若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点M满足，则此时，则， 则，解得， 综上，m的取值范围是 故选：B. 题型八 椭圆的实际应用（学科交叉题） 解｜题｜技｜巧 解决椭圆的实际应用问题的一般思路是：根据题意得到几何图形，建立适当的平面直角坐标系，与椭圆知识相联系，找出题目中已知量和隐含条件的关系，求出椭圆方程. 【典例8-1】某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 【答案】BCD 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，根据题意得到；故， 对于A：焦距，故选项A错误； 对于B：因为离心率，故选项B正确； 对于C：短轴长，故选项C正确； 对于D：离心率， 当越大时，椭圆的离心率越小，即椭圆越圆，故D正确； 故选：BCD 【典例8-2】（25-26高二上·江西南昌·期中联考）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【变式8-1】（25-26高二上·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】先求将水滴轴截面看成圆的一部分时的水滴角的正切值，再求将水滴轴截面看成椭圆的一部分时的水滴角的正切值，最后比较和的大小得到结果； 【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线， 为弦的中点，连接，， 则水滴角，所以，由题知，， 所以，解得，所以． 将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则切点为， 易知椭圆在点处的切线方程为， 则此直线的斜率即水滴角的正切值，即． 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，因为， 所以. 故选：A． 题型九 椭圆参数方程的应用（拓展） 解｜题｜技｜巧 椭圆的参数方程常用于解决与椭圆有关的点的轨迹问题，代数式的取值范围问题等. 【典例9】（2024高三·全国·专题练习）若椭圆的焦点在y轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好和椭圆只有一个交点，则椭圆内接矩形面积最大时的离心率是 . 【答案】 【分析】由题意，AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，可求出直线AB方程，利用椭圆参数方程表示椭圆上点到直线AB的距离，当时，直线和椭圆相切，再椭圆内接矩形面积为，利用基本不等式可得时面积最大，从而得解. 【解析】设，圆的圆心， 则AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线， 以为直径的圆的方程为， 即，两圆方程相减， 得直线AB方程为：， 设椭圆上的点为，到直线AB的距离为 . 由于直线和椭圆相切，因此得当时，d取得最小值， 且最小值为0，所以. 椭圆内接矩形面积为. 所以面积的最大值为. 由均值不等式，当且仅当时取等号， 所以离心率. 故答案为： 【变式9-1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知椭圆的标准方程为，则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设点，则，结合点P在椭圆上，得，结合的范围可得结果； 方法二：设，，，结合三角函数的性质可得结果. 【解析】方法一：设点，则. 由椭圆的范围，知，. ∵点P在椭圆上，∴，则，∴. ∵，∴，即. 方法二：设，，， 则， 因为，所以.故选：C. 【变式9-2】（23-24高二上·宁夏银川·期中）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程： (2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）由直线和椭圆方程式联立得线段的中点坐标，得到线段的中垂线方程，由此求得的坐标，再由椭圆的参数方程得的坐标，再由两点间的距离公式和复合函数求最值即得. 【解析】（1）由题意设椭圆的方䄇为， 因为椭圆经过点且短轴长为2，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知得直线的方程为， 设，将直线代入， 得，解得，不妨设则；同理得， 即，所以线段的中点坐标， 所以线段的中垂线的方程为， 因为线段的中垂线与轴交于点，所以令得，得， 因为椭圆的标准方程为. 所以设椭圆的参数方程为，，因为是椭圆上的一点， 所以, 所以， 因为，所以， 当时，取得最小值为. 题型十 椭圆方程及性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 对于这类综合应用问题，一般采用各个击破的策略，即该用到椭圆定义或方程的就用定义或方程求解，该用到几何性质的应用几何性质求解. 【典例10】．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）①设，，，根据点差法可得，再分斜率存在与不存在求解即可； ②由①知，D的轨迹是个椭圆，原点O是该椭圆的左顶点即可得. 【解析】（1）由题意有，所以C的方程为； （2）设，，，则， 即， 当斜率存在时，有，即， ①当斜率存在时，由上述分析有，得， 当斜率不存在时，易知，满足上面得出的方程， 综上，D的轨迹方程为； ②由①知，D的轨迹是个椭圆，且F是该椭圆的右顶点， 不难看出坐标原点O是该椭圆的左顶点，所以． 【变式10-1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【分析】（1）联立直线与椭圆，利用方程组与两个交点，求出的范围. （2）设交点，利用韦达定理求解即可. 【解析】（1）联立 的取值范围 （2）设由得. 线段中点的横坐标为 【变式10-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【解析】（1）由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即，故. （2）因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（24-25高二上·贵州安顺·期中）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 【答案】C 【详解】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为. 故选：C 2．（24-25高二下·重庆·期中）若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意. 故选：B. 3．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 4．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入C的方程得，故，再根据焦距概念得解. 【详解】因为点在C上，代入C的方程得，解得，故， 所以C的焦距为. 故选：C. 5．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以， 整理得，因为点是的中点，所以， 则，又，得到， 整理得，则点的轨迹方程为，故C正确. 故选：C. 6．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 7．（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】A 【详解】由及余弦定理，得， 整理得， 即，故该椭圆的长轴长为. 故选：A 8．(多选)（24-25高二下·福建·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 【答案】ABD 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A正确； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，的最小值为，C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，D正确. 故选：ABD 9．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，再根据对称性求出直线的倾斜角，从而得到其斜率，再由点斜式即可求得直线的方程． 【详解】由点关于轴对称点为，则直线与轴的夹角相等， 又，则直线的倾斜角为， 则直线的倾斜角为，即直线的斜率为， 又椭圆的右焦点为， 所以直线的方程是，即， 故答案为：． 10．设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意求出，，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理得，即可求出离心率． 【详解】由题意知，，而轴，故， 所以，解得； 又，所以， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 11．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【解析】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 12．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得，进而求得即可； （2）设，从而可求得，再把代入求解即可. 【详解】（1）由已知得，， ，，， 同理， ， ，， 椭圆的标准方程为． （2）设，且，则，，   ． 由椭圆方程可得， 整理得，所以， 即点的横坐标的取值范围是． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 13．(24-25高三下·山东·阶段练习）设甲：曲线表示焦点在x轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的性质，结合椭圆和三角函数的性质，即可判断选项. 【解析】由条件可知，若甲正确，则，即可， 即，且，得是第一或第四象限角，即甲是乙的充分条件； 反过来，若是第一或第四象限角，则，即， 此时，即 所以，则甲也是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 15．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 16．过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到点的轨迹是直线，再转化为点到直线上一点距离的最小值问题. 【详解】设，， 因为，， 化简可得，， 于是，， 整理得， 因为点、在椭圆上，则， 所以， 即，所以点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离， 所以， 故选：D. 17．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用椭圆的标准方程，以及几何性质，结合余弦定理，列出关于的方程，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆，可得，且，则， 对于A中，若，可得， 又由椭圆的定义，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，可得， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 对于B中，若，因为，可得， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以B正确； 对于C中，若，可得 由椭圆的定义， 且， 所以，可得，所以， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以C不正确； 对于D中，若，设，则， 由勾股定理，可得，即， 解得，即，， 由，且三点共线，可得， 代入椭圆的方程，可得，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：ABD. 18．（多选）（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】首先求出椭圆方程，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，即可判断A，根据的范围判断B，利用余弦定理及椭圆的定义求出焦点三角形的面积，即可判断C，根据焦点弦的性质判断D. 【详解】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图：    由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 19．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】运用坐标进行运算，把坐标代入进已知条件中，化简后得到离心率的范围. 【详解】因为，，所以，令， 因为，所以 由点都在椭圆上，得解得 因为，所以，解得.所以. 所以椭圆的离心率的取值范围为. 20．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上的动点，下列说法中正确的是 ． ①当时，满足的点有2个； ②当时，满足的点有4个； ③的面积最大为； ④的周长小于． 【答案】①④ 【分析】本题考查椭圆的焦点三角形，运用椭圆的性质和三角形的相关知识点判断. 【详解】对于①②，椭圆中最大的点位于短轴的两个端点， 点位于短轴的端点时，当时，由余弦定理和，可得，为直角， 所以为椭圆上的动点，满足的点有2个，故①正确； 同理，当时，可得为锐角， 所以为椭圆上的动点，满足的点有0个，故②错误； 对于③，的面积，所以当点位于短轴的端点时，的面积的最大值，故③错误； 对于④，的周长为，故④正确. 故答案为：①④． 21．（24-25高二上·重庆·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为 . 【答案】 【详解】如下图所示： 不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接， 延长、交于点， 由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点， 又因为为的中点，则， 所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为. 故答案为：. 22．已知椭圆C：，椭圆的长轴长为6，离心率为，M为椭圆上一动点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，求的最小值. 【分析】（1）由已知条件列方程组解出和，得到椭圆方程. （2）设，则，由和的取值范围讨论最小值. 【详解】（1）依题意有：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，有，得，， 则， 当时，，当，； 当时，，当，. 23．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？求出坐标，并求出此时的椭圆方程． 【详解】椭圆的焦点为，，如图所示， 要求所作椭圆的长轴最短，即求的最小值， 设关于直线的对称点为，则，即共线时，取得最小值， 设，则有，解得，故， 所以，故直线的方程为，即， 联立，解得，故， 故所求椭圆的长轴， 所以，又，故， 此时椭圆的方程为， 所以的坐标为，此时椭圆的方程为． 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 24．椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可先根据椭圆的标准方程求出相关参数，再结合椭圆的定义求出的周长表达式，最后根据椭圆上点的坐标范围确定周长的取值范围。 【详解】对于椭圆，根据椭圆的标准方程， 其中为长半轴长,为短半轴长,为半焦距且 可得，则,，所以 已知椭圆的左顶点，右焦点 根据椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，且（为椭圆的左焦点） 椭圆的左焦点,则,即 的周长,其中 所以 根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得 ,即 所以, 又因为当共线时， 此时或，所以，D正确. 答选：D 25．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故，所以，故得解． 【详解】因为椭圆，所以，，故，，， 如图，令，因为，所以， 即，结合图象，由平面向量的知识可得， 故，两式相加得， 即，即，由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时， 易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，， 所以，故． 令，，则， 所以，由二次函数易知，所以， ，所以最小值为． 故答案为：． 26.（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 【解析】（1）因为椭圆的长、短轴长之比为，且经过点， 所以，解得，，所以的方程为. （2） ①因为的方程为，的中心在坐标原点，焦点在轴上， 又与的离心率相等，所以可设的方程为， 即的方程为. ②因为，，所以且，， 设， 所以，， 设，所以，， 直线的方程为，即， 所以，代入得， ， 因为，所以， 不妨设，代入的方程可解得， 因为位于上，所以 ， 为上任一点，所以，化简得， 设，因为为上任一点，即有解， 整理得，， 解得，所以， 所以的长轴长. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $