第二章 平面解析几何（高效培优单元测试·提升卷）数学人教B版2019选择性必修第一册

第二章 平面解析几何（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得即可判断焦点坐标. 【详解】，即，则，则其焦点坐标为. 故选：A. 2．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程直接进行求解. 【详解】的渐近线方程为， 即. 故选：A 3．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用直线与圆相切求出，再利用充分条件、必要条件的意义判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 反之，当时，直线与圆相切， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C 4．若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 5．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围. 【详解】由题意， 在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3．    ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 6．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，由的最小值为及范围可求. 【详解】设，则， 所以，当且仅当时取等号． 由，得，又， 所以. 故选：D. 7．已知椭圆，若椭圆上存在两个不同点关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据题意可设直线的方程为，，，的中点为，联立直线与椭圆方程，可得，结合韦达定理可得，代入直线可得，进而求解即可. 【详解】根据题意可设直线的方程为， 设，，的中点为， 联立方程组，得， 则，解得， 由韦达定理得，则，所以． 又点在直线上，即，则， 而，则. 所以实数的取值范围是. 故选：B． 8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，分别求出所过的定点，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，，，此时，交点为， 当时，直线的斜率为k，直线的斜率为，所以， 综上，， ，所以直线恒过点， ，所以直线恒过点， 由P为，的交点，则， 设，连接EF， 则点P的轨迹是以EF为直径的圆（除去F点），圆心为线段EF的中点， 半径为，故P的轨迹方程为， 根据题意作图，如图2所示， 由题意可知圆C上一点，满足，取， 则，满足，      下面证明对任意的，连接PD，都满足，即， ， ， 所以， 连接DQ，所以， 又，所以， 当且仅当D，P，Q三点共线，且P位于D，Q之间时取等号． 故选：D． 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 10．如图，，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线，则（    ）    A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧所在圆的方程为 D．弧与弧的公切线方程为 【答案】BC 【分析】由题意，作图，根据图形组合，可得A的正误；根据图中的交点，可得B的正误；根据图中明确圆心与半径，可得C的正误；结合图象所做切线，设出直线方程，利用切线性质，可得D的正误. 【详解】对于A，如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，则曲线与轴围成的图形的面积．A错误； 对于B，曲线上有5个整点．B正确； 对于C，弧所在圆的圆心为，半径为1，故圆的方程为．C正确； 对于D，设弧与弧的公切线方程为，根据图象知， 则，解得，即公切线方程为．D错误； 故选：BC.    11．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同的两点，直线与抛物线交于另一点，给出以下判断，正确的有（    ） A．以为直径的圆与抛物线准线相离 B．准线上存在一点，使得 C． D．设过点的圆的圆心坐标为，半径为，则 【答案】ACD 【分析】该题为直线与抛物线的综合应用，按照题干和选项选择相应的知识点作答. 【详解】如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点.    设到准线的距离分别为，的半径为，点到准线的距离为， 显然三点不共线，则.所以A正确，B错误. 由题意可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有. 设点的坐标分别为，则，. 所以. 则.所以C正确. 将代入抛物线的方程可得，，从而，. 根据抛物线的对称性可知，两点关于轴对称，所以过点的圆的圆心在轴上. 由上，有，， 则. 所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以. 于是，， 代入，，得， 所以.所以D正确. 综上，故选ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．点到直线的距离为 【答案】/ 【分析】应用点线距离公式求距离即可. 【详解】由点线距离公式知，点到直线的距离为. 故答案为： 13．已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点、，可得出，则的模可视为圆上的点到直线上一点的距离，数形结合以及利用圆的几何性质可求其最小值. 【详解】设点、，则，，易知圆心为，半径为， 所以， 则， 则的模可视为圆上的点到直线上一点的距离，如下图所示： 由图可知，当直线与直线垂直且为线段与圆的交点时， 取最小值，且其最小值为，故模的最小值为. 故答案为：. 14．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则 . 【答案】6 【分析】确定点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 【详解】已知原点在上，则， 设为上任意一点， 则有，整理得． 因为，又， 所以，可得， 所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立方程，解得，，即， 所以， 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【分析】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 16．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）由可得，， 令所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 17．已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且． (1)求的离心率； (2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】（1）先由题意设抛物线的方程为，进而由题意求出和，再结合求出即可得解； （2）先由（1）得，接着联立两曲线方程求得点M的横坐标，再结合抛物线焦半径公式即可求出参数a即可得解. 【详解】（1）如图，因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，故可设抛物线的方程为， 不妨设在第一象限，由题意可得直线和直线均过点，且轴，轴， 将代入抛物线方程得，则， 将代入双曲线方程得，则， 因为，所以，即， 又，所以，解得或（舍去）， 所以的离心率为3． （2）由（1）得， 则的方程为的方程为， 联立，消去得， 解得或（舍去），则的横坐标， 因为，故由抛物线定义可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，抛物线的标准方程为． 18．若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”． (1)证明：椭圆为“质朴椭圆”． (2)是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“质朴椭圆”，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在实数，理由见解析 (3)为“质朴椭圆”，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，只需求出椭圆的焦距、离心率，然后根据焦距是否为质数，且离心率的倒数是否为质数进行判断即可． （2）根据新定义，只需先对椭圆的焦距假设是质数，再去计算参数，然后可求出对应离心率，然后根据离心率的倒数是否为质数进行判断即可． （3）根据新定义，只需利用弦长求出椭圆的焦距，然后根据焦距是否为质数，且离心率的倒数是否为质数进行判断即可． 【详解】（1）椭圆，则， 所以焦距为，离心率，即， 所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，即该椭圆为“质朴椭圆”． （2）椭圆的焦距为，离心率， 若存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”， 则均为质数， 又，所以， 即，则，这些数都不是质数， 所以不存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”． （3） 设的右焦点为，则直线的方程为， 设，联立得 得， 则， ， 解得，则的焦距为为质数， 离心率，其倒数为质数， 所以为“质朴椭圆”． 19．已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）,（ⅱ） 【分析】（1）根据题意可知，则，所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，即可求解； （2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆联立，解出，的坐标，根据距离公式即可求解； （ⅱ）利用弦长公式说明，四边形为平行四边形，可得四边形的面积四边形的面积的一半，利用点到直线的距离公式求出平行四边形的高，即可求出的表达式，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）圆，则圆心，， 因为线段的垂直平分线交于点， 所以， 由于，所以，又， 根据椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，所以， 则动点的轨迹的方程为：. （2）由题可得直线，的斜率不为0， 设直线的方程为：，直线的方程为：，， （ⅰ）因为，所以， 联立，可得：，解得：或， 因为点在轴上方.，所以，即， 所以 联立，可得：，解得：或， 因为点，在轴上方.，所以，即， 所以， 所以. （ⅱ）联立，可得：， 所以， ， 则， 联立，可得：， 所以， ， 则 所以，且，则四边形为平行四边形，为对角线的交点， 根据对称性可知，四边形的面积四边形的面积的一半， 四边形的高， 所以， ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以四边形的面积的取值范围为：. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆，若椭圆上存在两个不同点关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 10．如图，，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，弧是以为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线，则（    ）    A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧所在圆的方程为 D．弧与弧的公切线方程为 11．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同的两点，直线与抛物线交于另一点，给出以下判断，正确的有（    ） A．以为直径的圆与抛物线准线相离 B．准线上存在一点，使得 C． D．设过点的圆的圆心坐标为，半径为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．点到直线的距离为 13．已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 14．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 16．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 17．已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且． (1)求的离心率； (2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程． 18．若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”． (1)证明：椭圆为“质朴椭圆”． (2)是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“质朴椭圆”，并说明理由． 19．已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求四边形的面积的取值范围. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $