第二章 平面解析几何 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦圆锥曲线标准方程、轨迹问题及直线与圆综合应用，通过概念梳理构建知识体系，分层探究衔接前后知识点，结合真题导向形成学习支架，助力学生系统掌握解析几何核心内容。 其亮点在于分层探究提能力，归纳待定系数法、代入法等解题技巧，融入2023新课标真题培养数学思维与表达，学生可提升推理与应用能力，教师教学更具针对性与高效性。

章末综合提升 　 第二章 平面解析几何 概念梳理 建体系 1 分层探究 提能力 2 教考衔接 明考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 建体系 返回 返回 分层探究 提能力 返回 思路点拨　可先设出与双曲线 －y2＝1有相同渐近线的方程，由焦点坐标确定参数的取值，再根据a2＋b2＝c2求得参数，进而求得双曲线方程． √ 例1 思路点拨　先求出椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，即得所求． y2＝8x 归纳总结 1．在已知圆锥曲线的类型时，求圆锥曲线方程的关键是根据已知的几何条件或者代数条件，列出方程或者方程组，求出圆锥曲线的方程中的系数(待定系数法)． 2．当动点随另一个在已知曲线上运动的点而变化时，建立两个动点坐标之间的关系，代入已知曲线方程可得出圆锥曲线方程(代 入法)．　　 对点练1．(1)焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是 A．x2＝4y B．y2＝8x C．x2＝8y D．y2＝4x 由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且p＝2，则抛物线方程为y2＝4x.故选D. √ √ 探究点二　圆锥曲线有关的轨迹问题 　　 已知抛物线C：y＝x2与直线l：x－y＋2＝0交于A，B两点，记抛物线C在点A和点B之间的弧为L.设点P(s，t)是L上异于A，B的任一点，点Q是线段AB的中点，求线段PQ的中点M的轨迹方程． 例2 思路点拨　本题中的动点受制于线段AB中点Q(定点)和动点P，因此可以建立动点M与动点P(s，t)之间的关系，并利用点P在抛物线上获得动点M的轨迹方程． 不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，1)，(2，4)， 设线段PQ的中点M的坐标为(x，y)， 因为点P的坐标为(s，t)， 又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合， 方法技巧 1．直接法：设动点P(x，y)，直接利用条件列出关于x，y的等式，再 化简． 2．定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． 3．代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一已知曲线上的动点Q(x0，y0)的运动而运动，可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线，消去x0，y0，得到仅含x，y的等式，即为所求的轨迹 方程． 4．设而不求法：求弦中点的轨迹方程，常常运用“设而不求”的技巧，通过中点坐标及斜率的代换，达到求出轨迹方程的目的．　 对点练2．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________． 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤ －1)． 返回 教考衔接 明考向 返回 √ 真题 1 √ 真题 2 √ 真题 3 　　　 (多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－ (x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则 A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 √ √ 真题 4 　　　 (2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程____________________________________________． 圆x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心坐标为C(3，4)，半径r2＝4，如图： x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确) 真题 5 　　　 (2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对 称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 真题 6 真题 7 真题 8 (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． 解：证明：由(1)可得A1(－2，0)，A2(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 据此可得点P在定直线 x＝－1上． 返回 单元检测卷 返回 1．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2，1)的直线的一般方程是 A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y－3＝0 D．m2x＋my－1＝0 由已知可得2m－m2－1＝0求得m＝1，所以直线l的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，所以所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P(0，2)，点Q在抛物线C上，且PQ⊥PF，则|QF|＝ A．4 B．5 C．8 D．9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．若ab≠0，且a≠b，则bx2＋ay2＝ab及y＝ax＋b所表示的曲线可以是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是 A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝ x D．y＝2x＋1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0. (1)若l1⊥l2，求实数a的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)已知圆C：x2＋y2－4x＝0. (1)直线l的方程为x－ y＝0，直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的值； 解：因为圆C：x2＋y2－4x＝0，所以圆心C(2，0)，r＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)从圆C外一点P(4，4)引圆C的切线，求此切线的方程． 解：①当直线为x＝4时，与圆相切，符合题意． ②当切线斜率存在时，设斜率为k， 则切线方程为y－4＝k(x－4)，即kx－y＋4－4k＝0， 综上可知，切线方程为x＝4或3x－4y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)(2024·贵州铜仁高二质量监测)如图，是抛物线型拱桥，当水面在l时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米． (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ 解：如图建立平面直角坐标系xOy，设抛物线型拱桥的方程为x2＝ay(a<0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意，可知抛物线经过点G(8，－8)，代入抛物线方程可得64＝－8a，即得a＝－8， 所以抛物线方程为x2＝－8y. 当拱顶离水面2米时，即y＝－2，代入抛物线方程可得x＝±4，即水面宽为8米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米(即水上部分高1.5米)，船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？(计算结果保留至小数点后一位，参考数据： ≈1.732) 解：由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令x＝6米， 代入抛物线方程中，则36＝－8y， 解得y＝－4.5米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又因为船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米． 在抛物线方程x2＝－8y中，令y＝－6， 则x＝±4 ， 故2|x|＝8 ≈13.9， 所以水面宽度至少应为13.9米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)求椭圆C的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由题可得直线斜率存在，由(1)知F2(1，0)，设直线l的方程为y＝ k(x－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 探究点一　圆锥曲线的标准方程 　　 (1)焦点为(0，±3)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是 A．－＝1　　　　　　 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为________． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为 A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 x2－＝1(x≤－1) 　　　 (2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝ A．1 B． C． D． 　　　 (2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝ A． B． C． D． 　　　 (2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝ A． B． C．－ D．－ 易知F1(－，0)，F2(，0)，则d1＝，d2＝，＝＝＝2，解得m＝－，或－3(舍去)．故选C. 对于A选项，直线y＝－(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，所以＝1，p＝2，2p＝4，抛物线C的方程为y2＝4x，故A选项正确；对于B选项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B选 项错误； 　　 　 (2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2.点A在C上，点B在y 轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 方法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，|AB|＝5m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝. 　　　 (2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 (－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； 显然直线的斜率不为0，所以设直线 MN 的方程为x＝my－4，且－<m<， 与－＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0， 5．(2024·河北石家庄高二月考)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0 6．已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)与直线y＝2x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积为时，实数a的值为 A． B． C． D． 由题意得，圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)的圆心为C(a，a)，半径为r＝1，所以圆心到直线y＝2x的距离为d＝，所以弦长为|PQ|＝2＝2，所以△CPQ的面积为S＝|PQ|·d＝×2×＝＝，解得a＝.故选B. 8．双曲线C：－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，直线AF2与双曲线C的右支交于点B，且＝15，∠F1AF2＝，则＋＝ A． B．26 C．25 D．23 9．对于双曲线C1：－y2＝1与双曲线C2：y2－＝1的下列说法正确的是 A．它们的实轴长和虚轴长相同 B．它们的焦距相同 C．它们的渐近线相同 D．若它们的离心率分别为e1，e2，那么＋＝1 11．设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A, B两点，则下述结论正确的是 A．AF＋BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF 的面积为 12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝y2的焦点重 合，若双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为______________． 5x2－y2＝1 13．(2024·山东淄博高二质量检测)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，以F2为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线x－y＋8＝0相切．P为椭圆上一点，I为△PF1F2的内心，且S＝λS－S，则λ的值为________． 设F1(－c，0)，F2(c，0)，F2为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为R＝a＋c＝3＋c，根据题意可知R＝，解得c＝2.设△PF1F2的内切圆半径为r，则S＝·r，S＝·r，S＝·r，故·r＝·r－·r，化简可得＋＝λ，即2a＝λ·2c，解得λ＝. 14．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则动点P的轨迹是_________________．当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是__________． (第一个空2分，第二个空3分) 半径为2的圆 2 故l1：3x＋3y＋1＝0，l2：x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0，则直线l1与l2之间的距离d＝＝. 17．(15分)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|. (1)求C1的离心率； 不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c， 由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3. 19．(17分)(2024·山东青岛高二联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b，0<b<2)的左、右焦点分别为 F1，F2，点M在椭圆上，MF2⊥F1F2，若△MF1F2的周长为6，面积为. 所以由①得a＝3－c，将此式代入②得2[(3－c)2－c2)] c＝3(3－c)， (2)过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点，设＝λ1，＝λ2，试判断λ1＋λ2是否为定值？请说明理由． $