第二章 重点题型强化（三） 与圆有关的最值问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

重点题型强化（三） 与圆有关的最值问题 　 第二章 平面解析几何 知识目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题．　 2.初步了解代数方法处理几何问题的思想. 素养目标 通过处理与圆有关的最值问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 题型一　与距离有关的最值 1 课时测评 4 题型二　与面积有关的最值 2 内容索引 题型三　利用代数式的几何意义求解最值 3 题型一　与距离有关的最值 返回 　　(1)已知点P是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上一点，点Q(－1，5)，则线段PQ长度的最大值为 A．3 B．5 C．7 D．9 √ 例1 (2)过圆(x－1)2＋y2＝1外一直线l：y＝x＋2上一动点P作圆的切线，则切线 长最小值为________． 如图所示，过直线l：y＝x＋2上任意一点P作圆Q：(x－1)2＋y2＝1的切线，设切点为R， 方法技巧 与距离有关的最值问题 类型 最值 图示 圆外一点到圆上任意一点距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r 直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r 方法技巧 类型 最值 图示 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长 最小值＝2，最大值＝2r 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线 切线长的最小值＝ √ 对点练1．(1)(2024·贵州铜仁高二质量监测)已知直线l：x＋y－2＝0和圆O：x2＋y2＝1，若点P在圆O上运动，则其到直线l的最短距离为 返回 √ (2)(2024·重庆高二月考)直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0与圆C：x2－4x＋y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是 A．0 B．2 C．2 D．4 题型二　与面积有关的最值 返回 　　(1)已知直线l：x＋y－3＝0上的两点A，B，且|AB|＝1，点P为圆D：x2＋y2＋2x－3＝0上任一点，则△PAB的面积的最大值为 √ 例2 (2)已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1， )，则四边形ABCD面积的最大值为 A．5 B．10 C．15 D．20 √ 方法技巧 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想 求解．　　 对点练2．过直线l：3x＋4y－1＝0上一点P作圆M：x2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是 √ 返回 题型三　利用代数式的几何意义求解最值 返回 　　 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求： 例3 (2)y－x的最值； (3)x2＋y2的最值． x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离 为2， 方法技巧 1．(1)形如t＝ 形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b) 的动直线的斜率的最值问题． (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ 截 距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 2．求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解． 对点练3．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求 的最大值和最小值； 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0， (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2， 所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图②所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝ ＝5， 所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)求x＋y的最大值与最小值． 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③所示， 显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值， 返回 课时测评 返回 1．过点P(0，1)的直线l与圆E：(x－1)2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．若P(x，y)是圆M：x2＋(y－3)2＝4上的动点，则(x＋3)2＋(y＋1)2的最大值为 A．5 B．25 C．7 D．49 √ 求(x＋3)2＋(y＋1)2的最大值可转化为点(－3，－1)到圆心M(0，3)的 距离加上圆M的半径2，然后再把所得的值平方，所以最大值为 ( ＋2)2＝49.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若点A，B在圆C1：(x－2)2＋y2＝3上运动，|AB|＝2 ，P为AB的中点．Q点在圆C2：(x＋2)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知点P在圆O：x2＋y2＝1运动，若对任意点P，在直线l：x＋y－4＝0上均存在两点A，B，使得∠APB≥ 恒成立，则线段AB长度的最小值是__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知实数x，y满足：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，则|1－2x＋y|的取值范围是___________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．已知圆M：(x－5)2＋(y－5)2＝16，点N在直线l：3x＋4y－5＝0上，过点N作直线NP与圆M相切于点P，则△MNP的周长的最小值为_____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)已知圆C：x2＋y2－2y＝0，过直线l：x＋y＋1＝0上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为A，B两点，点Q是圆C上的任意一点． (1)求点Q到直线l的距离的最大值； 解：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心和半径分别为C(0，1)，R＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求|AB|的最小值． 故当|PC|最小时，此时|AB|最小， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)设P为直线l：x＋y＋1＝0的动点，PA为圆C：(x－2)2＋y2＝1的一条切线，A为切点，则△PAC的面积的最小值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)已知⊙O1：x2＋(y－2)2＝1，⊙O2：(x－3)2＋(y－4)2＝4，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当|PM|＋|PN|取到最小值时，点P坐标为_______． (1，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)在平面直角坐标系中，圆C经过点(3，0)和(0，1)，且圆心C在直线l1：2x＋y－1＝0上． (1)求圆C的方程； 解：设圆心C的坐标为(a，b)，圆C的半径为r(r>0)， 则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2, 又圆C经过点(3，0)和(0，1)， 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知直线l2：2x－y＋7＝0，P为l2上的动点，过点P作圆C的切线PA，PB切点分别为A，B，求|PC|·|AB|的最小值，并求出此时直线AB的方程． 解：根据切线的性质及圆的对称性可知PC⊥AB， 则|PC|·|AB|＝4S△PAC＝2|PA|·|AC|，要使|PC|·|AB|最小，只需|PA|最小， 即|PC|最小，此时PC⊥l2， 以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝15， 即x2＋y2＋6x－2y－5＝0， 结合圆C的方程，两式相减可得直线AB的方程为4x－2y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新角度)几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(0，2)，N(2，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是 A．2 B．6 C．2或6 D．1或3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知，点P为过M，N两点且和x轴相切的圆与x轴的切点，已知M(0，2)，N(2，4)，则线段MN的中点坐标为(1，3)，直线MN的斜率为 ＝1，线段MN的垂直平分线方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.所以以线段MN为弦的圆的圆心在直线x＋y－4＝0上，所以可设圆心坐标为C(a，4－a)，又因为圆与x轴相切，所以圆C的半径r＝|4－a|，又因为|CM|＝r，所以(a－0)2＋(4－a－2)2＝(4－a) 2，解得a＝2或a＝－6，即切点分别为P(2，0)和P′(－6，0)，两圆半径分别为2，10.由于圆上以线段MN(定长)为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，且过点M，N，P′的圆的半径比过M，N，P的圆的半径大， 所以∠MP′N<∠MPN，故点P为所求，所以当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是2. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4，圆心C在直线y＝x上，且被直线x＋y＝2截得的弦长为2. (1)求圆C的方程 ； 解：圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4，所以圆心C(a，b)，半径为2， 圆心C在直线y＝x上，故a＝b， 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，或x2＋y2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a≤0，已知点A(－2，2)，B(－2，6)，C(4，－2)，当P在圆C上运动时，记|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值和最小值分别为M和m，求M＋m的值． 返回 解：若a≤0，则圆C：x2＋y2＝4. 当P在圆C上运动时，设P(x，y)， 则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y－2) 2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋ (y＋2)2 ＝3(x2＋y2)－12y＋68＝12＋68－12y＝80－12y， P在圆C上，故－2≤y≤2， 所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值M＝80＋24＝104， |PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值m＝80－24＝56， 所以M＋m＝160. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 根据题意，圆C：x2－4x＋y2＝0即(x－2)2＋y2＝4，圆心C的坐标为(2，0)，半径r＝2，直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0，即m(x－y)＋(－2x＋y＋1)＝0，由解得则直线l恒过定点M(1，1)，又(1－2)2＋12＝2<4，即点M(1，1)在圆C内，所以当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，此时|CM|＝＝，则|AB|的最小值为2＝2.故选C. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx， 当直线y＝kx与圆相切时，如图①所示，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图②所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±， 所以x2＋y2的最大值是2＝7＋4，x2＋y2的最小值是2＝7－4. x＋ 此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2， 3．若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0被直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)平分，则＋的最小值为 A． B． C．4 D．9 由题意知，圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0被直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)平分，即圆心(－1，2)在直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)上，故－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，故＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，结合a＋b＝1，即b＝，a＝时取等号，所以＋的最小值为9.故选D. 5．已知AB是圆x2＋y2＝2的直径，点P是圆(x－a＋1)2＋(y－a－1)2＝1的圆心，则·的最小值为 A．－2 B．－1 C．1 D．0 由点P是圆(x－a＋1)2＋(y－a－1)2＝1的圆心，则点P为直线x－y＋2＝0上的任意一点，又·＝·＝2＋·＋·＝2－2，所以当最小时，·的取值最小，所以的最小值是圆心O(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离，即min＝＝，所以min＝2－2＝0.故选D. 6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知P，A，B是圆C：x2＋2＝36上的两个动点，满足|PA|＝|PB|，下列结论正确的是 A．直线AB的倾斜角是 B．直线AB的倾斜角是 C．|AB|最大时，△PAB的面积是3 D．|AB|最大时，△PAB的面积是6 4＋2 如图，由题可知，圆心为点O(0，0)，半径为R＝1，若直线l：x＋y－4＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，则O：x2＋y2＝1始终在以AB为直径的圆内或圆上，点O(0，0)到直线l的距离为d＝＝2，所以AB长度的最小值为2(d＋1)＝4＋2. [6－，6＋] 10＋2 A． B． C． D． 过点C且垂直于l2的方程为y＋1＝－(x－1)，将其与l2的方程联立，解得P(－3，1)， $