第二章 平面解析几何 章末大总结（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

第二章 平面解析几何 教学目标 1、直线与方程 ①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。 ⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 ⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 2、圆与方程 ①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 3、圆锥曲线与方程 ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。 ③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。 ④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 ⑤了解椭圆、抛物线的简单应用 教学重难点 教学重点：①直线的五种形式②圆的方程③椭圆，双曲线，抛物线方程 教学难点：①直线五种形式的相互转化②直线与圆的性质③直线与圆锥曲线的性质 知识点01 直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按 旋转到和直线重合时所转的 记为叫做直线的 倾斜角,斜率不存在. （2）直线的斜率： ．两点坐标为、. 【即学即练】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 知识点02直线的五种形式 （1）点斜式： (直线过点，且斜率为)． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为． （2）斜截式： (b为直线在y轴上的截距). （3）两点式： (，). 注：① 不能表示与轴和轴垂直的直线； ② 方程形式为：时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： （分别为轴轴上的截距，且）． 注：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： (其中A、B不同时为0)． 一般式化为斜截式：，即，直线的斜率：． 注：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或． 已知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或． 已知直线过点，常设其方程为或． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 【即学即练】已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 知识点03 两条直线的平行与垂直 （1）若，，有 ① ； ② . （2）若，，有 ① ； ② ． 【即学即练】已知直线，，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 知识点04 平面两点的距离公式 （1）已知两点坐标、，则两点间距离． （2）轴上两点间距离：． （3）线段的中点是，则 ． 【即学即练】过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 知识点05 点到直线的距离公式 点到直线的距离： ． 【即学即练】点到直线的距离为 知识点06两条平行直线间的距离 两条平行直线的距离： ． 【即学即练】到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 知识点07 直线系方程 （1）平行直线系方程： ① 直线中当斜率一定而变动时，表示平行直线系方程． ② 与直线平行的直线可表示为． ③ 过点与直线平行的直线可表示为：． （2）垂直直线系方程： ① 与直线垂直的直线可表示为 ． ② 过点与直线垂直的直线可表示为：． （3）定点直线系方程： ① 经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数． ② 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数． （4）共点直线系方程：经过两直线交点的直线系方程为 (除开)，其中λ是待定的系数． 【即学即练】求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 知识点08 圆的弦长 （1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为， 则：“半弦长+弦心距=半径”—— ； （2）代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则 （其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或，利用韦达定理求解） 【即学即练】设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 知识点09圆锥曲线的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 2、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的 等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 3、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 ． 【即学即练】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 知识点10 圆锥曲线的性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【即学即练】（多选）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 知识点11 弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 【即学即练】过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有 条． 题型01直线的倾斜角与斜率 【典例1】直线与过两点的线段不相交， 则实数a的取值范围是 . 【变式1】已知直线的斜率为，若直线的倾斜角是的两倍，则的斜率为 ． 【变式2】过点的直线倾斜角，那么的取值范围是 ． 【变式3】已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 【变式4】已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 题型02 直线方程 【典例1】直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【变式1】过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 【变式3】直线m过点且法向量，则直线m的点法向式方程为 . 【变式4】求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 题型03 两条直线平行于垂直 【典例1】已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 【变式1】若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式3】已知直线，，若，则实数 ． 【变式4】已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 题型04直线中的对称问题 【典例1】一束光线从点出发经轴反射后与圆相切，求入射光线和反射光线所在直线的方程． 【变式1】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【变式4】直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 题型05 圆的方程 【典例1】求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【变式1】的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【变式2】（1）求过三点的圆的一般方程； （2）求过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程． 【变式3】求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 【变式4】（1）已知圆圆心在直线上，且过点，.求圆的标准方程； （2）圆M经过三点：，，．求圆M的方程． 题型06 直线与圆的位置关系 【典例1】若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【变式2】设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【变式3】直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【变式4】已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型07 圆与圆的位置关系 【典例1】已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 【变式1】圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 【变式2】圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【变式3】已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【变式4】圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外切 B．内切 C．相离 D．相交 题型08 圆锥曲线的定义 【典例1】一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 题型09 离心率问题 【典例1】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，满足，直线与轴交于点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，为坐标原点，且线段的垂直平分线过焦点，若，则的离心率为 ． 【变式4】设，分别为具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，为椭圆与双曲线的一个公共点，，，则 ． 题型10 双曲线渐近线问题 【典例1】已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是的公共点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 【变式3】在双曲线中，离心率，则两条渐近线夹角的取值范围是 ． 【变式4】双曲线的渐近线方程是 . 题型11 焦点三角形问题 【典例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式1】设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式2】椭圆的左右焦点为，经过的直线与椭圆C相交于A，B．若的周长为8，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 题型12 椭圆、双曲线中线段和、差最值 【典例1】已知F是椭圆E：的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：上一点，则的最小值为 ，此时直线PQ的斜率为 . 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ． 【变式2】已知点，且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是 . 【变式3】已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【变式4】P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 题型13 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例1】若直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是 ． 【变式1】若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 【变式2】若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ． 【变式3】双曲线与直线的公共点个数 ； 【变式4】已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 题型14 圆锥曲线中弦长问题 【典例1】已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 【变式1】已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，求. 【变式2】已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求. 【变式3】已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求抛物线的方程： (2)若，求直线的方程. 【变式4】已知双曲线过点，给出以下2个条件： ①离心率为2，②与双曲线有相同的渐近线． (1)选一个条件，求出双曲线的方程． (2)直线l与直线平行，l被C截得的弦长为，求直线l的方程． 题型15 圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题 【典例1】已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【变式1】已知椭圆的右焦点为，直线.    (1)若到直线的距离为，求； (2)若直线与椭圆交于两点，且的面积为，求； 【变式2】已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点. (1)若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围； (2)当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围. 【变式3】已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4. (1)求双曲线的方程； (2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围. 【变式4】已知抛物线：经过点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 题型16 圆锥曲线中定点、定值、定值线问题 【典例1】已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上一动点，且的最大值为2. (1)求椭圆C的方程. (2)过点的直线交椭圆C于E，F两点，判断是否为定值?若为定值，求出该定值;若不为定值，请说明理由. 【变式1】已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，设动点形成的轨迹为曲线. （1）求曲统的方程； （2）过点的直线与交于，两点，已知点，直线分别与直线，交于，两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【变式2】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【变式3】已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【变式4】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线过定点，并求该定点坐标. 题型17圆锥曲线中向量问题 【典例1】椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围． 【变式1】已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线交椭圆于，两点，O为坐标原点，若，求直线的方程. 【变式2】已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程． (2)若过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于，设．试判断是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 【变式3】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 (1)设直线的方程为，求线段的长 (2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 (3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 【变式4】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3， (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围． 1．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．在等腰中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 3．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 7．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 10．（多选）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．的轨迹的渐近线与圆相离 D．过能作4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 11．设，为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 12．已知实数，满足，则的最小值是 ． 13．已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 15．已知圆，直线． (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程． (2)若点在直线上运动，，求的最小值． (3)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 教学目标 1、直线与方程 ①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。 ⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。 ⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 2、圆与方程 ①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。 3、圆锥曲线与方程 ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。 ③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。 ④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 ⑤了解椭圆、抛物线的简单应用 教学重难点 教学重点：①直线的五种形式②圆的方程③椭圆，双曲线，抛物线方程 教学难点：①直线五种形式的相互转化②直线与圆的性质③直线与圆锥曲线的性质 知识点01 直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. 倾斜角,斜率不存在. （2）直线的斜率：．两点坐标为、. 【即学即练】经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 知识点02直线的五种形式 （1）点斜式： (直线过点，且斜率为)． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为． （2）斜截式： (b为直线在y轴上的截距). （3）两点式： (，). 注：① 不能表示与轴和轴垂直的直线； ② 方程形式为：时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： （分别为轴轴上的截距，且）． 注：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： (其中A、B不同时为0)． 一般式化为斜截式：，即，直线的斜率：． 注：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或． 已知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或． 已知直线过点，常设其方程为或． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 【即学即练】已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程． 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 知识点03 两条直线的平行与垂直 （1）若，，有 ① ； ② . （2）若，，有 ① ； ② ． 【即学即练】已知直线，，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于m的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【详解】（1）由得，解得，经检验，符合题意, 故； （2）当时，，联立，解得， 即直线的交点为， 又直线的斜率为， 故过直线的交点，且垂直于直线的直线方程为，即． 知识点04 平面两点的距离公式 （1）已知两点坐标、，则两点间距离． （2）轴上两点间距离：． （3）线段的中点是，则 ． 【即学即练】过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 【答案】B 【分析】由斜率公式求得，再根据两点之间距离公式计算即可． 【详解】由题意得，，解得， 所以，所以， 故选：B． 知识点05 点到直线的距离公式 点到直线的距离：． 【即学即练】点到直线的距离为 【答案】/ 【分析】应用点线距离公式求距离即可. 【详解】由点线距离公式知，点到直线的距离为. 故答案为： 知识点06两条平行直线间的距离 两条平行直线的距离：． 【即学即练】到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或， 即所求直线方程为或． 故选：D． 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 知识点07 直线系方程 （1）平行直线系方程： ① 直线中当斜率一定而变动时，表示平行直线系方程． ② 与直线平行的直线可表示为． ③ 过点与直线平行的直线可表示为：． （2）垂直直线系方程： ① 与直线垂直的直线可表示为． ② 过点与直线垂直的直线可表示为：． （3）定点直线系方程： ① 经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数． ② 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数． （4）共点直线系方程：经过两直线交点的直线系方程为 (除开)，其中λ是待定的系数． 【即学即练】求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 【答案】 【分析】联立方程可求交点，结合条件即求；或设直线交点系方程，利用条件即求. 【详解】解法一：联立直线方程，解方程组得， 由两点式得所求直线的方程为， 即. 解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为， 将点的坐标代入，得， 解得， 故所求直线方程为，整理得. 知识点08 圆的弦长 （1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为， 则：“半弦长+弦心距=半径”——； （2）代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则 （其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或，利用韦达定理求解） 【即学即练】设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 知识点09圆锥曲线的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 2、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 3、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 【即学即练】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，分析可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得和方程. 【详解】设， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，则， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为：. 知识点10 圆锥曲线的性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【即学即练】（多选）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 【答案】CD 【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果. 【详解】由标准方程可知，，， 所以，，． 所以短轴长为，长轴长为，即选项C正确，A错误； 离心率，即D正确； 由椭圆性质得， 故选项B错误. 故选：CD. 知识点11 弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 【即学即练】过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有 条． 【答案】4 【分析】根据题意，分直线斜率不存在与存在时，设，，联立得，利用弦长公式得到，再根据方程求解即可. 【详解】由题知双曲线右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时，不符合题意； 当直线斜率存在时，设，， ， ， ， 则或， 综上，这样的直线有4条. 故答案为：4. 题型01直线的倾斜角与斜率 【典例1】直线与过两点的线段不相交， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断直线过定点，分别求得和的斜率，结合图形，由题意只需使直线的斜率满足：或，求解即得参数a的取值范围. 【详解】因直线经过定点， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 由图知，要使直线与过两点的线段不相交， 则直线的斜率满足：或， 解得或，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】已知直线的斜率为，若直线的倾斜角是的两倍，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】由直线斜率和倾斜角的关系得到直线的倾斜角，再由二倍角正切公式得到直线的斜率. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为， 则，因为，所以． 所以的斜率为. 故答案为：. 【变式2】过点的直线倾斜角，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，在利用表示斜率，解不等式即可. 【详解】因为直线倾斜角的取值范围为， 所以直线斜率的取值范围为：或. 又，由；由. 所以. 故答案为： 【变式3】已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用公式求出，结合的取值情况求出范围. 【详解】设直线与线段的延长线相交于点， 由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式4】已知点，直线与线段相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用公式求出，结合的取值情况求出范围. 【详解】设直线与线段相交于点， 当P不与重合时，由，得，解得或， 当直线过点时，，即；当直线过点时，，即， 所以实数的取值范围是. 题型02 直线方程 【典例1】直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 【变式1】过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 【变式2】已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程的性质，两直线垂直的条件求解. 【详解】过点且与直线（其中不全为零）垂直的直线方程可以写成． 由题意，过点和垂直的直线可写作，即. 故答案为： 【变式3】直线m过点且法向量，则直线m的点法向式方程为 . 【答案】 【分析】根据直线所过的点及法向量写出点法式方程即可. 【详解】由题设，直线m的点法向式方程为. 故答案为： 【变式4】求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 题型03 两条直线平行于垂直 【典例1】已知直线和， (1)若与平行，求m的值； (2)若与垂直，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值； （2）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值． 【详解】（1）若与平行，则，解得：或， 当时，直线和，与平行； 当时，直线和，与重合. 综上：. （2）当时，即时，与垂直， 即时，与垂直. 【变式1】若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 【变式2】“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 【变式3】已知直线，，若，则实数 ． 【答案】或 【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程得到的值. 【详解】因为直线，所以，解得或． 故答案为：或 【变式4】已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以，解得， 所以当时，． 题型04直线中的对称问题 【典例1】一束光线从点出发经轴反射后与圆相切，求入射光线和反射光线所在直线的方程． 【答案】入射光线所在直线方程为或， 反射光线所在直线方程为或． 【分析】根据入射光线反射光线所过点设出其所在直线的点斜式方程，再根据入射光线反射光线所在直线与圆及其关于轴对称圆的位置关系求出斜率即可. 【详解】圆关于轴的对称圆的方程为， 设入射光线所在直线方程为：， 由题知对称圆的圆心到这条直线的距离为即， 整理得：，解得：或， 故所求入射光线所在的直线方程为：或， 即或； 设反射光线所在直线的方程为：， 由题知圆的圆心到这条直线的距离为即， 整理得：，解得：或， 故所求反射光线所在的直线方程为：或， 即或.     【变式1】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 【变式2】已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【变式3】已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式4】直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【答案】 【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【详解】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 题型05 圆的方程 【典例1】求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）设椭圆方程为，根据题意列方程组求出参数可得. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）设椭圆方程为， 由题可得，解得， 所以所求椭圆标准方程为. 【变式1】的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【答案】 【分析】设圆的标准方程，将3个点的坐标代入圆的标准方程，建立方程组，解出a，b，r即可. 【详解】设所求的方程是．① 因为，，三点都在圆上，分别代入方程①． 得即 三式两两相减，整理得解得 代入，得． 所以的外接圆的标准方程是． 【变式2】（1）求过三点的圆的一般方程； （2）求过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设圆的方程，代入三个点坐标，解得圆方程. （2）由圆的性质求出圆心坐标，从而得出圆的半径，写出圆的方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 由题将三点代入得： 解得， 所以所求圆的一般方程为； （2）由题，设圆心为， ， ， 即， ， ∴圆的标准方程为 【变式3】求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两点距离公式可先求半径，再写标准方程即可； （2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可； （3）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可. 【详解】（1）由题意可知：， 圆的标准方程为； （2）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （3）设圆心为， ， ， 即， ，， 圆的标准方程为． 【变式4】（1）已知圆圆心在直线上，且过点，.求圆的标准方程； （2）圆M经过三点：，，．求圆M的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出圆心坐标，利用建立方程解出即可； （2）待定系数法设出圆的一般方程，建立方程组解出即可. 【详解】（1）因为圆圆心在直线上， 则设， 又因为过点，， 所以, 即， 解得， 所以圆心坐标为，半径为， 故圆的标准方程为. （2）设圆的方程为， 依题得, 解得, 所以圆M的方程的方程为. 题型06 直线与圆的位置关系 【典例1】若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 【变式1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【分析】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心. 【详解】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 【变式2】设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 【变式3】直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 【变式4】已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 故选：C. 题型07 圆与圆的位置关系 【典例1】已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】根据圆心距与两半径之间的关系判断即得. 【详解】由得， 故的圆心为，半径为， 由得， 故的圆心为，半径为， 圆心距为，因， 故圆与圆的位置关系是内含， 故选：B 【变式1】圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】先写出圆的圆心及半径，再根据圆心间距离和半径的关系判断圆与圆的位置关系. 【详解】圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为， 则，故圆O与圆M的位置关系是内切. 故选：A. 【变式2】圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆心距即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 则，所以两圆外切. 故选：C. 【变式3】已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】A 【分析】求出两圆半径及圆心距，再判断两圆的位置. 【详解】圆：的圆心，半径，圆：圆心，半径， 而，所以两圆相交. 故选：A 【变式4】圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外切 B．内切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】由两圆的圆心距及半径的关系求解即可得解. 【详解】对于圆的方程， 所以圆的圆心坐标为，半径. 对于圆的方程， 所以圆的圆心坐标为，半径. 计算两圆心之间的距离 两圆半径之和.同时. 则 .所以两圆的位置关系是相交. 故选:D． 题型08 圆锥曲线的定义 【典例1】一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨方程为：． 故选：C． 【变式1】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 【变式2】已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，由此确定曲线方程. 【详解】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式4】在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 题型09 离心率问题 【典例1】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 【变式1】已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标法列得不等式，变形后求得离心率的取值. 【详解】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得， 又，故解得. 故选：D. 【变式2】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，满足，直线与轴交于点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由向量关系得，由双曲线定义得，然后根据三角形相似比例相等求出，在中，由勾股定理列方程得，从而，解方程即可求解. 【详解】设双曲线的半焦距为，如图： 设，则由得， 由双曲线的定义，得， 又，， 所以∽，所以，即，解得， 则，， 在中，由勾股定理得， 即，化简得， 则，而，解得. 故选：B 【变式3】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，为坐标原点，且线段的垂直平分线过焦点，若，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据椭圆性质和已知条件确定线段长度，，然后利用向量关系和已知条件求出，进而在中利用余弦定理建立等式，最后化简等式并求解离心率. 【详解】如图所示，设，由已知得，则有． 因为为线段的中点，所以，则由，可知，即，则． 在中，由余弦定理得，则，整理得． 故椭圆的离心率． 故答案为：. 【变式4】设，分别为具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，为椭圆与双曲线的一个公共点，，，则 ． 【答案】/ 【分析】抓住焦点三角形的性质，利用椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理和离心率公式求解． 【详解】设，，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距均为， 由椭圆和双曲线的定义可知，可得①， 在中，由余弦定理可知， 将方程组①代入上式得，则， 又因为，所以． 故答案为：． 题型10 双曲线渐近线问题 【典例1】已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是的公共点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由的方程，确定的坐标，设，根据题意，得到，求出点坐标，代入双曲线方程，再由，即可求出结果. 【详解】因为，是椭圆：与双曲线的公共焦点，所以，设点， 由，不妨取正即， 代入双曲线方程得：，又，即，即的渐近线方程为. 故选：C． 【变式1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线的方程和得P点坐标，再由P点在C上求出即可由渐近线的定义得解. 【详解】设，因为，，所以直线的方程为， 又，所以，得， 又点P在直线上，所以，则，所以, 所以，解得，故所求渐近线斜率为.    故选：C 【变式2】已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上， 所以，，所以，即. 又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以， 即，解得或（舍）. 故选：C. 【变式3】在双曲线中，离心率，则两条渐近线夹角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由离心率范围得两条渐近线倾斜角范围，即可求得答案. 【详解】因为，所以，解得 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，解得； 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，解得； 当最小时，，此时最大，为，此时两条渐近线的夹角最大为， 当最大时，，此时最小，为，此时两条渐近线的夹角最小为， 所以两条渐近线的夹角. 故答案为： 【变式4】双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程直接求解渐近线. 【详解】因为双曲线所以渐近线方程为， 故答案为：. 题型11 焦点三角形问题 【典例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【分析】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【详解】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 【变式1】设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质得到，结合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面积. 【详解】由椭圆的性质可得， 又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即， ∴，C选项正确； 故选：C 【变式2】椭圆的左右焦点为，经过的直线与椭圆C相交于A，B．若的周长为8，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】由题意的周长，可得，结合，即得解. 【详解】由题意的周长， 解得，故. 故选：D 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的几何定义，及直角三角形勾股定理和余弦定理即可求解. 【详解】 由椭圆对称性质可设： ，根据，可得， 再由椭圆的定义可知：，可得， 又由，可得：， 即：，整理得：， 解得，所以有, 再由余弦定理得：， （由于是直角三角形，此时也可以由初中的余弦函数直接可得：） 故选：A. 【变式4】如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积. 【详解】由双曲线的实轴长为4，得， 所以， 又，所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 题型12 椭圆、双曲线中线段和、差最值 【典例1】已知F是椭圆E：的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：上一点，则的最小值为 ，此时直线PQ的斜率为 . 【答案】 1 【分析】利用椭圆定义将转化为，结合图形可解. 【详解】如图，由题可知，圆C的圆心坐标为（，2），半径为1，设椭圆E的左焦点为. 椭圆中，，，则，当F1、P，Q，C四点共线时，等号成立，此时直线PQ的斜率为. 故答案为：，1 【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件结合椭圆的定义即可计算作答. 【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外， 由椭圆的定义得，因此， ，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”， 所以的最小值为1. 故答案为：1 【变式2】已知点，且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是 . 【答案】3 【分析】由椭圆的定义，求的最小值可化为的最小值，根据三点共线即可求解. 【详解】由椭圆可知， ， 设椭圆的右焦点为，则，如图，    所以， 即当在的延长线上时，取得最小值. 故答案为：3 【变式3】已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，，，.    如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 【变式4】P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】5 【分析】由题意及圆的性质知，，结合双曲线定义求最大值. 【详解】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，    两圆的半径分别为，，易知，， 故的最大值为. 故答案为：5 题型13 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例1】若直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】由直线恒过定点，直线不可能与双曲线相切，只能直线平行与渐近线. 【详解】由于直线恒过定点，所以直线不可能与双曲线相切．要满足有且只有一个交点，直线必须平行于双曲线的渐近线，渐近线方程为，所以， 解得 故答案为： 【变式1】若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆上或椭圆内，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】直线方程可化为，则该直线过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ． 【答案】 【分析】联立直线与椭圆方程，根据可得m的范围. 【详解】由得，， ∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴，解得， ∴m的范围是. 故答案为：. 【变式3】双曲线与直线的公共点个数 ； 【答案】0或1 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得已知直线与之重合或平行，即得结论. 【详解】由，可得双曲线的渐近线方程为：， 对于 直线，当时，直线与渐近线重合，两者无交点； 当时，因此时直线与双曲线渐近线平行，故只有一个公共点. 综上可得，双曲线与直线的公共点个数为0或1. 故答案为：0或1. 【变式4】已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】联立方程，消得，再由题设条件即可求出结果. 【详解】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 题型14 圆锥曲线中弦长问题 【典例1】已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由双曲线渐近线方程求出，进而求出其右焦点即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，借助共线向量求出点的坐标即可. 【详解】（1）依题意，双曲线渐近线方程为：，于是，解得， 因此双曲线的标准方程为：，其右焦点为，则，解得， 所以抛物线的标准方程为，双曲线的标准方程为. （2）设的方程为：，则， 由消去得：，则，， 由，得，则，满足， 因此，，， 所以．    【变式1】已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于点，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的点及离心率，列出方程组并求解即可. （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得答案. 【详解】（1）由椭圆经过点，且离心率为，得，解得，， 所以C的方程为. （2）设，，由消去得， 则，， 所以. 【变式2】已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率、、焦点坐标求出可得答案； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理利用可得答案. 【详解】（1）由题可得，解得， 所以双曲线的方程为； （2）因为双曲线的右焦点的坐标为， 所以经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为， 联立，得， 设，，则，， 所以 .    【变式3】已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求抛物线的方程： (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）由题意求出焦点坐标，进而可得点坐标，代入抛物线方程可得答案； （2）设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出弦长可得答案. 【详解】（1）由题意，，，（或） 所以，解得，（舍去）， 所以抛物线的方程为： （2）由（1），，设， 由题意知直线的斜率存在， 设其方程为，与抛物线方程联立， 可得，所以， ，解得， 所以直线的方程为， 即，或. 【变式4】已知双曲线过点，给出以下2个条件： ①离心率为2，②与双曲线有相同的渐近线． (1)选一个条件，求出双曲线的方程． (2)直线l与直线平行，l被C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）若选①，即可得到方程组，解得、，即可求出双曲线方程； 若选②，设双曲线方程为，将点的坐标代入方程，即可求出，从而得解； （2）由题意设直线的方程为，与双曲线方程联立，由判别式大于0求得的范围，再由根与系数的关系结合弦长公式求解，则直线的方程可求． 【详解】（1）解：若选①，则，解得， 所以双曲线的方程为； 若选②，设双曲线方程为，依题意可得，即， 所以双曲线的方程为； （2）解：由题意设直线的方程为， 联立，得． 由，解得或． 设交于，， 则，， ， 解得． 直线的方程为或． 题型15 圆锥曲线中三角形（四边形）面积问题 【典例1】已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切． (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定圆心A及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系计算即可； （2）设直线方程，联立椭圆方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离及基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆， 所以圆心，半径， 因为，线段的垂直平分线交线段于点，所以， 又，所以， 即点的轨迹是以点为左、右焦点的椭圆，所以曲线． 因为曲线与直线相切，故， 解得，所以的方程为． （2）由题意得直线，由，得， 令， 所以，即或． 设，则， 所以 ， 令，则， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 【变式1】已知椭圆的右焦点为，直线.    (1)若到直线的距离为，求； (2)若直线与椭圆交于两点，且的面积为，求； 【答案】(1)8 (2)2 【分析】（1）根据到的距离为求解； （2）将直线与椭圆联立，求得，及O到直线的距离，根据面积为求得值. 【详解】（1）因为，所以右焦点为， 又因为，所以到直线的距离，解得； （2）设，由得， 所以，即，且， 所以， 又因为O到直线的距离为， 所以的面积为， 解得满足，所以； 【变式2】已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点. (1)若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围； (2)当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率公式得出，进而解得实数m的取值范围； （2）先得出双曲线E的方程，再联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得出，再由的范围得出的取值范围. 【详解】（1）， ，，解得 （2）由（1）可知，，双曲线E的方程为 设，过点A的直线方程为 由可得 ， 由，解得 故 【变式3】已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4. (1)求双曲线的方程； (2)直线过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于A，B两点，与轴交于点，O为坐标原点，若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，，进而结合求解即可得答案； （2）由题设直线的方程为，，，， 进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理，结合弦长公式，距离公式，面积公式得，再还原求解即可得答案. 【详解】（1）解：因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为， 所以， 所以双曲线的方程为 （2）解：由题知双曲线的右焦点为， 故设直线的方程为， 则联立方程得， 设，， 所以， 因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且， 所以，解得：且 因为直线与轴交于点，所以， 因为，所以 所以， 点到直线的方程为距离为， 所以面积为， 令，则， 所以， 因为在是单调递减函数， 所以， 所以. 所以面积的取值范围为 【变式4】已知抛物线：经过点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成,可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以 ， 所以 抛物线的方程为. （2）（i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 题型16 圆锥曲线中定点、定值、定值线问题 【典例1】已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上一动点，且的最大值为2. (1)求椭圆C的方程. (2)过点的直线交椭圆C于E，F两点，判断是否为定值?若为定值，求出该定值;若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值3，理由见解析. 【分析】（1）根据基本不等式求出，根据离心率和，求出，得到椭圆方程； （2）分直线EF的斜率为零和不为零两种情况，当斜率不存在时，可直接进行求解，得到，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，计算出，可得结论. 【详解】（1）因为离心率为，所以， 又椭圆定义知， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 故，所以， 所以， 故椭圆C的方程为. （2）当直线EF的斜率为零时，则点E，F为椭圆长轴的端点， 则 当直线EF不与x轴重合时，设直线EF的方程为，设点， 联立，消去x得， 恒成立， 由韦达定理得，， 故 . 综上所述，为定值3. 【变式1】已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，设动点形成的轨迹为曲线. （1）求曲统的方程； （2）过点的直线与交于，两点，已知点，直线分别与直线，交于，两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【分析】（1）设，根据题意列方程，化简可得结果； （2）设直线的方程为，即，设，，，求出，，根据为的中点得，联立，根据韦达定理得到和，代入化简得，点都在定直线上. 【详解】（1）设，由题意得， 整理化简得， 所以曲线的方程为. （2）设直线的方程为，即， 设，，， 所以直线的方程为，所以， 同理， 所以， 即， 联立，消去并整理得， 所以，， 代入得， ∴， 所以点都在定直线上. 【点睛】本题考查了求动点的轨迹方程，考查了直线与椭圆的交点问题，考查了椭圆中的定直线问题，考查了运算求解能力，属于中档题. 【变式2】已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值．    【变式3】已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可； 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 【变式4】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由可得，进而可得； （2）设方程为，联立，可得，进而可得； （3）设，可得直线方程为，由，，可得，进而可得. 【详解】（1）由抛物线的定义知：， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，，因为的斜率不为，设方程为，， 联立，得， 所以， 又由，得，所以方程为，即. （3）由（2）知：， 因为，所以方程为， 即：，又因为， 所以， 故直线方程为， 所以直线经过点. 题型17圆锥曲线中向量问题 【典例1】椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有， 在方程中，令，解得， 因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1， 所以有，由可得：， 所以椭圆的方程为； （2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意； 当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为， 于是有， 因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有， 化简，得， 设，于是有， 因为， 所以， 代入中，得， 于是有， 化简，得，代入中，得. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到. 【变式1】已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线交椭圆于，两点，O为坐标原点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由椭圆的性质得出椭圆C的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合得出直线的方程. 【详解】（1）∵短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2，∴， 又椭圆C的离心率为，∴，故， ∴， ∴椭圆C的标准方程为. （2）联立，整理得， ∴，， 故， ∵，∴， 解得，满足， ∴直线的方程为或.    【变式2】已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程． (2)若过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于，设．试判断是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）利用点到直线的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解； （2）根据已知条件利用点斜式设出直线的方程，利用向量的线性运算，将直线方程与双曲线方程联立方程组，再利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）不妨取双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为， 因为焦点到一条渐近线的距离为， 所以解得. 又，且，解得. 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知左焦点. 由题意可知，直线的斜率存在，且不等于.如图所示 设直线的方程为则. 因为， 所以 可得 由，消去整理得 所以 所以为定值. 【变式3】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 (1)设直线的方程为，求线段的长 (2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 (3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，结合抛物线焦点弦长公式可求得结果； （2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可构造方程求得结果； （3）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可建立等量关系，得到，由此可得的范围. 【详解】（1）由抛物线方程知：，则直线过焦点， 设， 由得：，， . （2）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则，解得：； ，， ，，， ， 解得：（满足）， 直线得方程为：或. （3） 由题意知：直线斜率不为零，可设，，，， ，； 由得：，则，即， ，，， 由得：， 即，，， ，，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，本题求解参数范围的关键是能够将已知条件中的向量运算转化为坐标运算的形式，从而将所求变量表示为另一变量的函数的形式，利用函数值域来求得参数范围. 【变式4】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3， (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解； （2）设直线，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出的范围， 再根据，求取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，得， 所以抛物线C的方程为． 将点代入，得， 所以点A的坐标为． （2）直线与抛物线联立，消去y得， ，解得或． 设，则有， 则，即，又． 所以，则 因为，设，则， 因为，则 所以 因为或，所以k的取值范围是 1．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 2．在等腰中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于光线经过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 3．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 4．把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先利用变换得出新的直线方程，再利用计算即可. 【详解】直线按向量平移后得，即， 化简为， 则点到直线的距离， 解得或. 故选：C 5．已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 6．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解. 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 7．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 8．已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点为，根据已知条件求得的范围，利用点到直线距离公式将其转化为关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】如图，设的中点为，连接OC，则． ∵，∴， ∴．又（弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形）， ∴，即． 又∵直线与圆交于不同的两点A，B， ∴，故，则． ∵，∴． 故选：B. 9．（多选）设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出的中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】A（√）由抛物线，知其焦点为，准线方程为． B（√）如图所示，过作准线于点，则， 故， 当且仅当，，共线时（即图中），最小， 最小值为到准线的距离4.    C（×）由，当且仅当共线时取等号，故的最大值为． D（√）由，知的中点坐标为，而，故，所以以线段为直径的圆与轴相切． 故选：ABD 10．（多选）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．的轨迹的渐近线与圆相离 D．过能作4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 【答案】BC 【分析】对A，设点，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B，由点的轨迹方程求出焦点坐标可判断；对C，点的轨迹方程求出渐近线，法一：利用几何法求得圆心到直线的距离可判断，法二：由代数法，将直线方程代入圆的方程得到的方程，利用判别式可判断；对D，点在轴上，过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点不合题意. 【详解】直观解题 选项 正误 原因 A × 设点，则， 所以，化简得， 所以点的轨迹方程为． B √ 由A选项，知点的轨迹的焦点为， 与椭圆共焦点． C √ 法一：点的轨迹对应曲线的渐近线为， 圆的圆心到渐近线的距离． 又圆的半径为， 所以渐近线与圆相离； 法二：将代入圆的方程，可得， 整理得，所以， 所以方程无解，故渐近线与圆相离． D × 点在轴上，，则， 所以直线AN，NB与渐近线平行，但点A，B不在点的轨迹上， 故过点只能作点轨迹的两条切线，如图所示， 故过只能作2条直线与的轨迹有且只有一个公共点． 故选：BC. 11．设，为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，由椭圆的定义及已知得，问题化为在上存在零点，得到椭圆参数的齐次式求离心率范围. 【详解】令，则，即，且， 由，则，可得， 所以在上存在零点， 又开口向上且对称轴为，则， 所以，可得，即. 故答案为： 12．已知实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】解法1：求出圆心和半径，，其中可看作圆上的点到直线的距离，数形结合得到圆上的点到直线的距离的最小值为，得到答案； 解法2：先得到，所以，令，，得到，由三角函数有界性得到最值. 【详解】解法1：因为，所以， 即圆心为，半径为，因为， 可看作圆上的点到直线的距离，如图， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为 圆心到直线的距离减去半径，即， 因为， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为， 所以的最小值为． 解法2：因为，所以， 即圆心为，半径为， 其中，且到直线的距离为， 故，所以， 令，， 则，其中为辅助角， 当时，最小值为． 故答案为： 13．已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． （2）圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解，（也可以用二级结论，其中求解）； （2）由双曲线的定义和圆的切线长定理，得到内切圆圆心的横坐标为a，再根据该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点求解. 【详解】（1）设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理，得， 可得，则的面积． （可用二级结论验证：若为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则双曲线焦点三角形的面积，其中，此题中，则）． （2）如图所示，，， 设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为． 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即． 设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 可得内切圆圆心的横坐标为． 15．已知圆，直线． (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程． (2)若点在直线上运动，，求的最小值． (3)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)20． (3)存在， 【分析】（1）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线CN即为． （2）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式写出的表达式，进而利用二次函数性质可得最小值． （3）假设存在点满足条件，设出点的坐标，由，利用两点间距离公式建立恒等式并化简，由点在圆上，利用恒等式建立有关点坐标的方程组，求解即可检验假设是否成立． 【详解】（1）因为恰好平分圆的圆周，所以经过圆心， 设点关于直线的对称点为， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 即解得所以． 直线CN即为直线，且， 所以直线的方程为，即． （2）由点在直线上，可设， 则， 所以当时，取得最小值20． （3）假设存在定点，对任意的都有， 即， 化简得． 又满足，即， 即， 所以解得 所以在平面上存在点，使得. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $