第二章 平面解析几何（知识清单）数学人教B版2019选择性必修第一册

第二章 平面解析几何 知识点 具体内容 直 线 的 方 程 一、直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得 ________,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一________及该直线的________确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴________或________,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与________平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 二、直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与________的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的________叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 三、直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率________. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为________，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 四、直线的截距式方程 我们把直线l与x轴的交点的________叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 五、直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程________ (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) ________ 两 条 直 线 的 位 置 关 系 一、两直线的相交、平行与重合 （1）对于两条的直线，有①________； ②与相交；③与________且； （2）对于两条直线，有 ①________；②与相交 ③与________ 二、两直线的垂直关系 (1) 对于两条的直线，有________； (2)对于两条直线，有________. 三、点到直线的距离公式 点到直线的距离________，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离________，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离________，特别地，点到y轴的距离. 四、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离________ 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则________； ②两直线都与轴垂直时则________. 圆 的 方 程 一、圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到________的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为________,半径为________的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 ________ 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 ________ 与x轴相切 ________ 二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在________； （2）点在圆上； （3）点在________. 三、圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上, ________________ 四、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当________时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程 的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以________为圆心,以________为半径的圆 直 线 与 圆 、 圆 与 圆 的 位 置 关 系 一、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 ________ ________ 代数法：由 消元得到一元二次方程，判别式为 图形 二、直线与圆相交 1．圆的弦长问题 几何法 （常用） 如图所示，设直线被圆截得的弦为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则有关系式：________ 代数法 若斜率为的直线与圆相交于两点，则________(其中)． 特别地，当时，；当斜率不存在时， 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 三、直线与圆相切 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意________不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 四、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法一般是几何法，如下表： 位置关系 几何法 图示 外离 ________ ________ 相交 内切 ________ 内含 五、圆与圆的公切线 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条 六、公共弦所在直线方程 设圆，圆 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得________ 方程表示圆与的公共弦所在直线的方程． （1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是________，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． （2）两圆公共弦的________过两圆的圆心． 七、过两圆交点的圆系方程 过两圆，圆：交点的圆系方程为 ________ （，此时圆系不含圆）， 特别地，当时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示________. 椭 圆 一、椭圆的定义 平面上到两定点的距离的________为常数（________两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，________. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 三、椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴， 轴， 对称中心： 原点 ， 范围为：________ 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用________，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 双曲线 一、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的________等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点________所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点________所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条________； 当时，动点轨迹不存在． 二、双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为________(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 三、双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的________，线段是双曲线的________； 实轴长，虚轴长 渐近线 ________ ________ 离心率 ，范围：________ 抛物线 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离________的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 二、抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为________； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为________； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为________； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为________. 三、抛物线的几何性质 标准方程 图 形 几 何 性 质 范围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 ________ ________ 准线方程 ________ ________ 顶点 坐标原点 离心率 四、抛物线的焦半径及焦点弦 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 ________ ________ 抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则 抛物线方程 焦点弦公式 ________ ________ 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 易错01 判断直线位置关系时忽略斜率不存在 判断两条直线平行或垂直时，仅通过斜率关系分析，忽略其中一条或两条直线斜率不存在的情况，导致漏解或误判。可用系数关系判断（平行：；垂直：，避免遗漏斜率不存在的情况 例1．若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 变式1-1．已知直线与互相垂直，则（   ） A．-2或0 B．-1 C．0 D．-2 变式1-2．（多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知直线，，若，则实数 ． 易错02 利用截距式方程前应考虑截距为0 截距式方程要求直线在轴、轴上的截距均不为0，若直线过原点（截距均为0），误用截距式会导致漏解 例2．已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 变式2-1．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 变式2-2．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 变式2-3．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 易错03 误解“截距”和“距离” 混淆“截距”与“距离”的概念：截距是直线与坐标轴交点的坐标（可正、可负、可零），而距离是非负实数 例3．直线在轴上的截距是 ． 变式3-1．过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 变式3-2．直线过点，且在 轴上的截距是在 轴上截距的 2 倍，则该直线的斜率是 变式3-3．过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 . 易错04 忽略二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的充要条件是，若忽略此条件，二元二次方程可能表示点或无轨迹 例4．点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 变式4-3．圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易错05 利用点斜式方程前应该考虑斜率不存在 求过点的直线方程时，先判断是否存在斜率不存在的情况。若斜率存在，再用点斜式；若不确定，需分“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况讨论 例5．（多选）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 变式5-2．已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 变式5-3．已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 易错06 忽略椭圆、双曲线定义中的限制条件 椭圆：平面内到两定点距离之和为常数且大于两定点间距离，若常数等于距离，则轨迹为线段；若小于，则无轨迹。 双曲线：平面内到两定点距离之差的绝对值为常数且小于两定点间距离，若常数等于距离，则轨迹为两条射线；若大于，则无轨迹。 例6．在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 变式6-1．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 变式6-2．（多选）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 变式6-3．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 易错07 求圆锥曲线方程时忽略焦点的位置 在中心为原点的前提下，需要确定焦点在哪个坐标轴上 例7．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 变式7-1．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 变式7-2．若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 变式7-3．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和 (1)求椭圆C的标准方程； (2)求直线和椭圆C的公共点的坐标． 易错08 求轨迹方程时应考虑取值范围 推导轨迹方程后，结合原问题的几何背景，分析动点的限制条件，如定义域、值域、特殊点排除等；在方程后注明取值范围，确保轨迹方程的不包含多余点，也遗漏符合条件的点。 例8．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，的中点为，则点的轨迹所包围的图形的面积为 ． 变式8-1．已知点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 变式8-3．在平面直角坐标系中，已知，，直线与的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 ． 1．已知直线．若，则实数的值为 ． 2．方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．不能确定 3．已知直角的斜边为AB，且，，则直角顶点C的轨迹方程为 ，直角边BC的中点M的轨迹方程为 ． 4．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 ． 5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是 . 6．已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 7．已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 9．已知直线经过点，圆. (1)若直线经过圆的圆心，求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相切，求直线的一般式方程. 10．已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 11．过原点的直线与曲线交于两点，求弦中点的轨迹． 12．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 13．已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴与y轴，且C经过点． (1)求C的标准方程； (2)若F是C的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点．求四边形面积的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 平面解析几何 知识点 具体内容 直 线 的 方 程 一、直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得 ,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 二、直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 三、直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 四、直线的截距式方程 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 五、直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 两 条 直 线 的 位 置 关 系 一、两直线的相交、平行与重合 （1）对于两条的直线，有①且； ②与相交；③与重合且； （2）对于两条直线，有 ①；②与相交 ③与重合 二、两直线的垂直关系 (1) 对于两条的直线，有； (2)对于两条直线，有. 三、点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 四、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 圆 的 方 程 一、圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 二、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 三、圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上, 四、圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程 的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 直 线 与 圆 、 圆 与 圆 的 位 置 关 系 一、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由 消元得到一元二次方程，判别式为 图形 二、直线与圆相交 1．圆的弦长问题 几何法 （常用） 如图所示，设直线被圆截得的弦为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则有关系式： 代数法 若斜率为的直线与圆相交于两点，则(其中)． 特别地，当时，；当斜率不存在时， 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 三、直线与圆相切 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 四、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法一般是几何法，如下表： 位置关系 几何法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 五、圆与圆的公切线 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条 六、公共弦所在直线方程 设圆，圆 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得 方程表示圆与的公共弦所在直线的方程． （1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． （2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． 七、过两圆交点的圆系方程 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆）， 特别地，当时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 椭 圆 一、椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 三、椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴， 轴， 对称中心： 原点 ， 范围为： 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 双曲线 一、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 二、双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 三、双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 ，范围： 抛物线 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 二、抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为. 三、抛物线的几何性质 标准方程 图 形 几 何 性 质 范围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶点 坐标原点 离心率 四、抛物线的焦半径及焦点弦 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则 抛物线方程 焦点弦公式 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 易错01 判断直线位置关系时忽略斜率不存在 判断两条直线平行或垂直时，仅通过斜率关系分析，忽略其中一条或两条直线斜率不存在的情况，导致漏解或误判。可用系数关系判断（平行：；垂直：，避免遗漏斜率不存在的情况 例1．若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 变式1-1．已知直线与互相垂直，则（   ） A．-2或0 B．-1 C．0 D．-2 【答案】D 【详解】由题可得，解得或（舍去）. 故选：D. 变式1-2．（多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 变式1-3．已知直线，，若，则实数 ． 【答案】或 【详解】因为直线，所以，解得或． 故答案为：或 易错02 利用截距式方程前应考虑截距为0 截距式方程要求直线在轴、轴上的截距均不为0，若直线过原点（截距均为0），误用截距式会导致漏解 例2．已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得， 故直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1． 当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为； 当直线斜率为1时，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． 故选：D． 变式2-1．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【答案】3 【详解】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 故答案为：3. 变式2-2．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为，. 则直线过点，那么直线斜率为. 所以直线方程为. 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得或（舍去）. 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为. ②当直线经过原点时，设直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得. 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为. 综上，共有3条直线符合题目要求. 故选：B. 变式2-3．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 易错03 误解“截距”和“距离” 混淆“截距”与“距离”的概念：截距是直线与坐标轴交点的坐标（可正、可负、可零），而距离是非负实数 例3．直线在轴上的截距是 ． 【答案】 【详解】对于直线，令，可得， 所以直线在轴上的截距是. 故答案为： 变式3-1．过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 【答案】 【详解】由题意，设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 变式3-2．直线过点，且在 轴上的截距是在 轴上截距的 2 倍，则该直线的斜率是 【答案】或 【详解】若直线过坐标原点，则，此时横纵截距都等于0,满足题意; 若直线不过坐标原点，设直线的方程为, 因为直线过点, 所以,解得, 所以直线方程为,此时. 故直线的斜率为或. 故答案为：或. 变式3-3．过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 . 【答案】或 【详解】若直线过原点，设直线方程为， 将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线方程为； 若直线不过原点，设所求直线方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 易错04 忽略二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的充要条件是，若忽略此条件，二元二次方程可能表示点或无轨迹 例4．点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：， 解得：， 又在圆外，所以，得：， 所以k的取值范围为， 故选：C 变式4-1．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 变式4-2．已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 变式4-3．圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 易错05 利用点斜式方程前应该考虑斜率不存在 求过点的直线方程时，先判断是否存在斜率不存在的情况。若斜率存在，再用点斜式；若不确定，需分“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况讨论 例5．（多选）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为： 和． 故选:AD． 变式5-1．若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】解法1：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 由题意知，解得．故直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 解法2：如图，当时，，的方程为，即． 当直线经过线段的中点时，又直线过点，故其方程为. 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或. 变式5-2．已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 变式5-3．已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由可得，直线斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为：， 则边上的高所在直线方程为：，整理得； （2）设圆的方程为，代入三点坐标可得： 则，解得，，． 圆的方程为，化为标准方程：； 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得：， 此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 易错06 忽略椭圆、双曲线定义中的限制条件 椭圆：平面内到两定点距离之和为常数且大于两定点间距离，若常数等于距离，则轨迹为线段；若小于，则无轨迹。 双曲线：平面内到两定点距离之差的绝对值为常数且小于两定点间距离，若常数等于距离，则轨迹为两条射线；若大于，则无轨迹。 例6．在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 变式6-1．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D 变式6-2．（多选）已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点.则点的轨迹可能为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆 【答案】AC 【详解】由题，，圆的半径为3，连接， 则， 当点在圆内时，如图， 所以， 所以此时点的轨迹为以为焦点的椭圆； 当点在圆上时，如图，为圆的弦， 所以点的轨迹为点； 当点在圆外时，如图， 则， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线. 综上，点的轨迹可能为椭圆和双曲线. 故选：AC. 变式6-3．（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 易错07 求圆锥曲线方程时忽略焦点的位置 在中心为原点的前提下，需要确定焦点在哪个坐标轴上 例7．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 【答案】2 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2． 故答案为：2. 变式7-1．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得. ∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为. 故选：D 变式7-2．若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】因两渐近线的夹角为，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或，即得或，解得或. 故选：D. 变式7-3．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和 (1)求椭圆C的标准方程； (2)求直线和椭圆C的公共点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆C的方程为且， 椭圆C过两点和， 则且，解得， 故椭圆C的标准方程为． （2）由消元得，解得或， 当时，；当时，， ∴直线和椭圆C的公共点的坐标为． 易错08 求轨迹方程时应考虑取值范围 推导轨迹方程后，结合原问题的几何背景，分析动点的限制条件，如定义域、值域、特殊点排除等；在方程后注明取值范围，确保轨迹方程的不包含多余点，也遗漏符合条件的点。 例8．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，的中点为，则点的轨迹所包围的图形的面积为 ． 【答案】 【详解】设点，因为，，， 所以， 化简得， 由构成三角形，故， 所以点的轨迹方程为：， 设，由为的中点， 则， 代入中化简得：即为点的轨迹方程， 即点的轨迹为圆心是，半径为去掉与轴交点的圆， 所以点的轨迹所包围的图形的面积为：. 故答案为：. 变式8-1．已知点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，其中，则，即， 所以点的轨迹方程为． 故选：A. 变式8-2．已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 变式8-3．在平面直角坐标系中，已知，，直线与的斜率之积为，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设点的坐标为，则，， 所以， 整理可得． 故答案为： 1．已知直线．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 2．方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．不能确定 【答案】A 【详解】由方程，可得， 即到的距离与到直线的距离之比为， 由圆锥曲线的定义可知，表示的曲线为椭圆． 3．已知直角的斜边为AB，且，，则直角顶点C的轨迹方程为 ，直角边BC的中点M的轨迹方程为 ． 【答案】 且； 且 【详解】设AB中点为D，则，由直角三角形的性质知，， 由圆的定义知，动点C的轨迹是以为圆心，2为半径长的圆． 所以直角顶点C的轨迹方程为且． 设点，点，由，M是线段BC的中点， 得且，，于是有，． 由（1）知，点C在圆且上运动， 将代入该方程得，即且． 故答案为：且；且． 4．直线l经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线的方程为， 则，解得，所以直线方程为，即． 所以直线的方程为或． 故答案为：或. 5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为点在圆的外部， 所以， 解得， 故答案为：. 6．已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 7．已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则 所以， 又因为，所以， 化简得到，整理得到， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 8．已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 【答案】． 【详解】设直线的方程为，令，得，令，得， 故，解得，即直线的方程为． 故答案为： 9．已知直线经过点，圆. (1)若直线经过圆的圆心，求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相切，求直线的一般式方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） 将圆化为标准方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为2， 所以直线经过点， 则直线的斜率， 整理得直线的方程为，即. （2） 由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时直线满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 故直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 10．已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. （2）由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 11．过原点的直线与曲线交于两点，求弦中点的轨迹． 【答案】抛物线的部分或 【详解】设的中点为， 设直线的方程为：（依题意，必须存在）， 联立，得：， 则，解得或， 且， 则，又， 消去得：， 又或， 所求的轨迹是抛物线的部分或． 12．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，的面积是定值，定值为. 【详解】（1）设椭圆为，，，， 由题意得，解得，，故椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，取，，符合题意， 故存在点使为的重心，且此时的面积为. 当直线的斜率存在时，设，联立得， 设，，则，，， 由条件得，得， 则， ， 综上，的面积为定值，其值为. 13．已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴与y轴，且C经过点． (1)求C的标准方程； (2)若F是C的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点．求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设C的方程为， 将点代入，得解得 所以C的标准方程为． （2）由（1）可知，， 当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，， 所以四边形的面积． 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 联立得， 由题意得． 所以， 同理， 四边形的面积． 令，则， 所以当，即时，，所以． 综上所述，四边形面积的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$