精品解析：宁夏中卫市海原县高崖乡九年一贯制学校 2025-2026学年上学期第一次质量监测九年级数学试卷

海原县高崖乡九年一贯制学校2025-2026-1第一次质量监测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 方程，一次项系数为（　　） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程，一次项系数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式． 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】B 【解析】 【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 4. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直，理由如下： 根据三角形的中位线定理得： ，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 6. 如图，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 10 D. 9.6 【答案】D 【解析】 【分析】设与的交点为点，先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用菱形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，设与的交点为点， 在菱形中，，， ， ， 又， ，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 7. 如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可求解． 【详解】解：设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 根据题意得：， 故选：A． 8. 如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点F，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ① 【答案】A 【解析】 【分析】设交于K，由及将绕点B按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确． 【详解】解：设交于K，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形，故②正确； 如图，过点D作于H， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴正确的有：①②③， 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】正方形边长相等设为，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积． 【详解】解：设边长为，对角线为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长． 10. 若a是方程的一个根，则式子的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的定义，求代数式的值．因为是方程的一个根，所以，然后将其整体代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 11. 如图，在中，是斜边上的中线，，则___________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可解得的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，可证明，即可获得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：70． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上，则点D坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质（四条边相等、对边平行）及两点间距离公式，解题的关键是利用菱形对边平行得纵坐标关系，结合边相等求横坐标． 先求长度；由菱形（在x轴）得与纵坐标相同；再根据求横坐标，确定坐标． 【详解】解：，， ； 因菱形，且B、C在x轴上，故轴，则纵坐标与相同，即纵坐标为6； 又菱形，，轴，故横坐标为； 因此． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，以为边作等边，点E恰好在边上，若的边长为4．则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得，根据等边三角形的性质得，推出，根据 30 度角所对的直角边是斜边的一半得出，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵矩形， ， ∵等边的边长为 4 ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解，三角形三边的关系． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为4，底边长为2，然后计算它的周长． 【详解】解：， 或， 所以，， 因为， 所以等腰三角形的腰为4，底边长为2， 所以三角形的周长为． 故答案为：10． 15. 定义运算：．例如：，则方程的根______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴,． 故答案为：,． 16. 如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时，也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是______． 【答案】8 【解析】 【分析】设点为正方形的中心，过点作于点于点，利用正方形的性质，正方形的中心的性质，全等三角形的判定与性质得到，同理求得另一个阴影部分的面积，则结论可得． 【详解】解：设点为正方形的中心，过点作于点于点， ， ∴四边形为矩形， ∵为正方形的中心， ∴四边形为正方形， ， 由题意得：， ， ， 在和中， ， ， ， ∴． 同理：另一个阴影部分的面积， ∴两个阴影部分面积之和是． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正方形的中心的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质和判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用不同的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）用公式法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）先移项，再用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ． 18. 如图，在矩形中，，是对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点、、(不写作法，铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹)； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 图形如图所示： （2） 证明：四边形是矩形， ，， ， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∵，，， ， ， ， 即． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图基本作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米，问小路宽为多少米？ 【答案】小路宽为1米 【解析】 【分析】设小路宽为x米，则种植草坪的六块区域可合成长为米、宽为米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为570米，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，根据实际情况取舍即可得出答案. 【详解】设小路宽为x米，则种植草坪的六块区域可合成长为米、宽为米的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：小路宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，点E、F分别在、边上，，于点G．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、证明四边形是正方形、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，再证明，得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 21. 已知：如图，矩形的对角线、相交于点，∥AC，CE∥DB． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形； （2）8cm 【解析】 【分析】（1）根据，，可以得到四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，可以得到，然后即可得到四边形是菱形； （2）根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到的长，然后即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 即的长是． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 22. 如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． （1）求证：； （2）如果，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵CE∥BD，EB∥AC， ∴四边形OBEC为平行四边形． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形OBEC为矩形， ∴OE＝CB． （2）16 【解析】 【分析】（1）由CEBD、EBAC可得出四边形OBEC为平行四边形，由菱形的性质可得出∠BOC＝90°，进而可得出四边形OBEC为矩形，根据矩形的性质即可证出OE＝CB； （2）设OC＝x，则OB＝2x，利用勾股定理可得出BC＝，结合BC＝OE＝，可求出x的值，进而可得出OC、OB的值，再利用菱形的面积公式即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设OC＝x，则OB＝2x， ∵∠BOC＝90°， ∴． ∵BC＝OE＝， ∴x＝2， ∴OC＝2，OB＝4， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝2OC•OB＝16． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质，解题的关键是：（1）证出四边形OBEC为矩形；（2）利用勾股定理结合OE的长度，求出OB、OC的值． 23. 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）请用上述方法解方程：． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1），，，； （2） 【解析】 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用直接开平方法解方程即可； （2）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设， 则原方程化为：， 解得：，， 当时，， ， 当时，， ， 原方程的解为：，，，； 【小问2详解】 解：设， 则原方程化为：， 解得：， ， ， ． 24. 已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 【答案】（1）当时，是菱形；边长是 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，则有关于的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程求解，然后再求解方程的解，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：当是菱形时，． ，的长是关于的方程的两个实数根， ， 解得， 当时，是菱形． 当时，原方程为，即，解得， 菱形的边长是． 【小问2详解】 解：把代入原方程， 得，解得． 将代入原方程，得，解得，， ， 的周长是． 25. 如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得； （2）两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 【答案】（1）两动点经过秒时，使得； （2）两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）等量关系为：，即； （2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和三种情况． 【小问1详解】 解：设两动点经过t秒时，使得． 则， 解得． 答：两动点经过秒时，使得； 【小问2详解】 解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的． 则，即， 解得． 答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； 【小问3详解】 解：两动点经过秒，使得是等腰三角形 ①当时，过点Q作于点H． 则， 所以， 整理得， 解得，； ②当时，． 则， 整理得． 解得（舍去），； ③当时，， 即， 整理得，， 解得，（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海原县高崖乡九年一贯制学校2025-2026-1第一次质量监测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 方程，一次项系数为（　　） A. B. C. D. 6 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 6. 如图，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 10 D. 9.6 7. 如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点F，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ① 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________． 10. 若a是方程的一个根，则式子的值为______． 11. 如图，在中，是斜边上的中线，，则___________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上，则点D坐标为______． 13. 如图，在矩形中，以为边作等边，点E恰好在边上，若的边长为4．则的面积为______． 14. 已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为______． 15. 定义运算：．例如：，则方程的根______． 16. 如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时，也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是______． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） 18. 如图，在矩形中，，是对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点、、(不写作法，铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹)； （2）在（1）的条件下，求证：． 19. 如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米，问小路宽为多少米？ 20. 如图，在矩形中，点E、F分别在、边上，，于点G．求证：四边形是正方形． 21. 已知：如图，矩形的对角线、相交于点，∥AC，CE∥DB． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． （1）求证：； （2）如果，，求菱形的面积． 23. 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）请用上述方法解方程：． （2）已知实数满足，求的值． 24. 已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 25. 如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得； （2）两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $