精品解析：黑龙江省大庆市肇源县第二中学2025-2026学年上学期八年级数学（五四制）第一次月考试题　

2025-2026上学期初三数学第一次月考卷 一、单选题（10×3=30分） 1. 年月日至1日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案． 【详解】到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处． 故选：A． 2. 在纸片上有一点P，且，则P点一定（ ） A. 在边的垂直平分线上 B. 在的平分线上 C. 在边的高上 D. 在边的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质定理的逆定理，逐一判断选项，即可． 【详解】解：∵， ∴P点一定在边的垂直平分线上， 故选A． 【点睛】本题主要垂直平分线的性质定理的逆定理，掌握“到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上”，是解题的关键． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等． 分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明，从而易得点B的坐标． 【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图， 点坐标为， ，， 轴，轴， ， ，， ， 为等腰直角三角形，且， ， 在与中， ， ， ∴点B的坐标为， 故选：B． 4. 下列条件不能判定是等边三角形的是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的定义和判定定理判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴是等边三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴是等边三角形，故B选项不符合题意； C．∵，， ∴是等边三角形，故A选项不符合题意； D．∵，， ∴，不能判断是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 5. 若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据三边关系，进行转换得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形. 【详解】（a+b）（a2+b2﹣c2）=0， ∵a+b≠0， ∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2， ∴△ABC直角三角形， 故选：B． 【点睛】此题主要考查利用三边关系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形状，熟练掌握，即可解题. 6. 若．则下列不等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式基本性质变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：由 可得：，故A变形正确； ，故B变形错误； ，故C变形正确； ，故D变形正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 7. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，AE平分∠BAC，若∠C=90°，则∠B的度数为( ) A. 30° B. 20° C. 40° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠BAE，求出∠BAE=∠CAE=∠B，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】如图： ∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠B=∠BAE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∴∠BAE=∠CAE=∠B， ∵∠B+∠C+∠CAB=180°，∠C=90°， ∴3∠B=90°， ∴∠B=30°， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，应用“”线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解题的关键． 8. 如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】运用方法判定，得，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 9. 下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（　　） A. 三个角的比是1：1：2 B. 三条边的比是2：3：4 C. 三条边满足关系a2=c2-b2 D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案. 【详解】A. 三个角的比为1:1:2,设最小的角为x,则x+x+2x=180°,x=45°,2x=90°，故正确； B. 三条边的比为2:3:4,22+32≠42，故错误； C. 三条边满足关系a2=c2-b2，故正确； D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A,则∠A为90°，故正确. 故选B. 【点睛】此题考查勾股定理逆定理的应用，直角三角形的判定，解题关键在于利用各性质定义. 10. 如图所示,在中，，AD平分，于点E，则下列结论：①DA平分；②∠=∠；③DE平分∠；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果． 【详解】∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAE ∵∠C=90°，DE⊥AB ∴∠C=∠E=90° ∵AD=AD ∴△DAC≌△DAE ∴∠CDA=∠EDA ∴①AD平分∠CDE正确； 无法证明∠BDE=60°， ∴③DE平分∠ADB错误； ∵BE+AE=AB，AE=AC ∴BE+AC=AB ∴④BE+AC=AB正确； ∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B ∴∠BDE=∠BAC ∴②∠BAC=∠BDE正确． 故选D． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题关键是灵活运用角平分线的性质进行分析． 二、填空题（8×3=24分） 11. 如图所示，小明从坡角为的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度为________米． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质的应用；根据此性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：，米，， 则（米）． 故答案为：100． 12. 如图，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AC，AB于点D，E，则CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， ∴AD＝BD＝4﹣CD， ∵AC2＝AD2﹣CD2， ∴32＝（4﹣CD）2﹣CD2， ∴CD＝， 故答案为． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 13. 已知等腰三角形的周长为16，其中一边的长为4，则底边的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论． 【详解】解：设等腰三角形， （1）以4为腰， 则， 所以， 不符合题意，此种情形不存在， （2）以底边， 则腰． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系，解题关键是从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法． 14. 如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 15. 已知，则以x，y，z为边长的三角形是________三角形． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出x、y、z的值，求出x2+z2=y2，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴x-12=0，y-5=0，z-13=0， ∴x=12，y=5，z=13， ∴x2+y2=z2， ∴以x、y、z为三边的三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了绝对值，偶次方，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出x2+y2=z2． 16. △ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，若∠BAC=106°，则∠EAG=________． 【答案】32° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=74°，根据线段垂直平分线的性质AE=DE，得到∠EAD=∠B，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵BAC=106°， ∴∠B+∠C=74°， ∵DE是AB边上的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠EAD=∠B， 同理，∠GAC=∠C， ∴∠EAD+∠GAC=∠B+∠C=74°， ∴∠EAG=∠BAC-(∠EAD+∠GAC)=32°， 故答案为：32°． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 17. 如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为_____度． 【答案】37 【解析】 【分析】先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论． 【详解】解：∵AD=AC，点E是CD中点， ∴AE⊥CD， ∴∠AEC=90°， ∴ ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠C=74°， ∵AD=BD， ∴2∠B=∠ADC=74°， ∴∠B=37°， 故答案为：37°． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，求出∠ADC=74°是解本题的关键． 18. 如图，等边中，N是线段的中点，的平分线交于D，，M是线段上的动点，连接，则的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到点B、C关于对称，再根据垂线段最短，连接，交于M，连接，根据轴对称确定最短路线问题，点M、N即为使的最小值的点，再根据等边三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵是等边的的平分线， ∴， ∴点B、C关于对称， 连接，交于M，连接， ∴，， ∴点M、N即为使的最小值的点， ∵是等边三角形，、都是高， ∴ ∴的最小值 故答案为：4． 【点睛】此题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的性质，垂线段最短的性质，熟记个性质并准确确定出点M、N的位置是解题的关键． 三、解答题 19. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） ，在数轴上表示为： （2） ，在数轴上表示为： （3） ，在数轴上表示为： （4） ，在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）直接移项，合并同类项，x的系数化为1，把解集在数轴上表示出来即可； （2）直接移项，合并同类项，x的系数化为1，把解集在数轴上表示出来即可； （3）直接移项，合并同类项，x的系数化为1，把解集在数轴上表示出来即可； （4）直接去分母，移项，合并同类项，把解集在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 【小问2详解】 解：， 移项得， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 【小问3详解】 解：， 移项得，， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 【小问4详解】 解：， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，； 20. 如图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境．现计划在空地上铺上草坪．经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要20元，铺这块空地需要投入多少钱？ 【答案】4680元 【解析】 【分析】利用勾股定理求出DB，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC＝90°，然后根据即可求出空地的面积，继而可求解． 【详解】解：连接BD， 在Rt△ABD中， ∠ABC＝90°，AB＝20米，AD＝15米， ∴BD2＝AB2+AD2＝202+152＝252， 则BD＝25米， 在△ADB中， CD＝7米，BC＝24米，DB＝25米， ∴， ∴△BDC为直角三角形，∠DCB＝90°， ∴＝×15×20+×7×24＝234（平方米）， ∴四边形ABCD的面积为234平方米， ∵铺一平方米草坪需要20元， ∴234×20＝4680（元）， 答：铺这块空地需要投入4680元钱． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，正确作出辅助线，把四边形转化为两个直角三角形是解决问题的关键． 22. 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 【答案】 证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE． 又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB＝DC． （2）△OEF为等腰三角形 理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF为等腰三角形． 【解析】 【详解】略 23. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数． （2）若，的周长为，求的周长． 【答案】（1） （2）26 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，得到，进而得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且是的中点，连接． （1）若，求的度数； （2）若的长为，求的周长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角三线合一的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，，然后由求得，最后利用三角形的外角性质即可解答． （2）根据已知可得，再用线段的和差关系，以及等量代换可得，即可求得的周长． 【小问1详解】 解：∵，且D是的中点，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵D是的中点，， ∴， ∵，且， ∴的周长． 25. 如图，已知的角平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作、的垂线，垂足分别为点、，，求长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．先由角平分线的定义和垂直平分线的性质得，，再根据角平分线的性质得，再利用证明得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵的角平分线与边的垂直平分线相交于点， ∴，， 又∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026上学期初三数学第一次月考卷 一、单选题（10×3=30分） 1. 年月日至1日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 2. 在纸片上有一点P，且，则P点一定（ ） A. 在边的垂直平分线上 B. 在的平分线上 C. 在边的高上 D. 在边的中线上 3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件不能判定是等边三角形的是（ ） A. B. C. ， D. 5. 若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 若．则下列不等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，AE平分∠BAC，若∠C=90°，则∠B的度数为( ) A. 30° B. 20° C. 40° D. 25° 8. 如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 9. 下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（　　） A. 三个角的比是1：1：2 B. 三条边的比是2：3：4 C. 三条边满足关系a2=c2-b2 D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A 10. 如图所示,在中，，AD平分，于点E，则下列结论：①DA平分；②∠=∠；③DE平分∠；④．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ①②④ 二、填空题（8×3=24分） 11. 如图所示，小明从坡角为的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度为________米． 12. 如图，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AC，AB于点D，E，则CD的长为_____． 13. 已知等腰三角形的周长为16，其中一边的长为4，则底边的长为_________． 14. 如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 15. 已知，则以x，y，z为边长的三角形是________三角形． 16. △ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，若∠BAC=106°，则∠EAG=________． 17. 如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为_____度． 18. 如图，等边中，N是线段的中点，的平分线交于D，，M是线段上的动点，连接，则的最小值为________． 三、解答题 19. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集． （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，若，求的度数． 21. 某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境．现计划在空地上铺上草坪．经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要20元，铺这块空地需要投入多少钱？ 22. 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 23. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数． （2）若，的周长为，求的周长． 24. 如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且是的中点，连接． （1）若，求的度数； （2）若的长为，求的周长． 25. 如图，已知的角平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作、的垂线，垂足分别为点、，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $