精品解析：广东省湛江市雷州市雷州五中集团八年级2025-2026学年八年级上学期第一次月考（10月）月考数学试题

25-26学年雷州五中集团八年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 3. 甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 4. 如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，8cm B. 8cm，7cm，15cm C. 13cm，12cm，20cm D. 5cm，5cm，11cm 6. 如图，AD是的高，，，，则的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 7. 2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(　 　) A. 2a＋2b－2c B. 2a＋2b C. 2c D. 0 9. 如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 60° 10. 如图，在中，平分，交于点，平分，交的延长线于点，交的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 12. 如图，在锐角三角形和锐角三角形中，，分别是边，上的高，且，．要使，则可以补充条件________（填写一个即可）． 13. 如图，，经过点A，，则的度数为 ________． 14. 如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是___________． 15. 如图，在正方形网格中， _____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，则点的坐标是________． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 如图，在中，，，求各内角的度数． 18. 如图，在中，是的角平分线，，． （1）尺规作图：作，交于点． （2）求的各内角的度数． 19. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点在同一条直线上，且，．若，求的度数． 21. 如图，，，，点D在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为．求证：． 独立思考：（1）请证明王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，中，，点D是上一点，于E，求证：”． 问题解决： （3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，中，，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，请直接写出的值为__________．” 24. 小明在学习中遇到了如下的问题：如图1，在中，，，D为边上的中点，求的取值范围． 【感知方法】： 他思索了很久，但没有思路，老师提示他要添加适当的辅助线，如图2，方法一：延长至点E，使得，连接；方法二：过点C作，交的延长线于点E；添加辅助线后，小明恍然大悟，易得，再利用三角形的三边关系可以解决问题． （1）在老师的提示下，小明求得长度的范围是大于　　且小于　　； 【知识迁移】： （2）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为　　． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． （3）在（2）的条件下，若，，，四边形的面积为．求点D到线段的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年雷州五中集团八年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等形的识别，利用全等图形的概念 “两个图形能够完全重合，就是全等图形”是解答本题的关键． 本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案． 【详解】解：A选项两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； B选项两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：A 2. 如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形稳定性解答即可． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 3. 甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质解答即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等， ∴中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上， 故选：． 4. 如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识，理解重心的概念，三角形中线平分面积是关键． 三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B ． 5. 每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，8cm B. 8cm，7cm，15cm C. 13cm，12cm，20cm D. 5cm，5cm，11cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、3+4<8，不能组成三角形，故该选项不符合题意； B、8+7=15，不能组成三角形，故该选项不符合题意； C、13+12>20，能够组成三角形，故该选项符合题意； D、5+5＜11，不能组成三角形，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 6. 如图，AD是的高，，，，则的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】根据“SAS”证明Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠DAC，根据等腰直角三角形的性质求出∠DAB＝∠DBA＝45°，计算即可． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵在Rt△BDE和Rt△ADC中， ∴Rt△BDE≌Rt△ADC（SAS）， ∴∠DBE＝∠DAC， 在Rt△ADB中，AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠BAC＝65°， ∴∠DAC＝65°−45°＝20°， ∴∠DBE＝∠DAC＝20°， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判断方法． 由，得，还有公共边，结合选项依次判断即可． 【详解】解：A、添加，不能判定，故此选项错误，符合题意； B、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； C、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； D、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 8. 已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(　 　) A. 2a＋2b－2c B. 2a＋2b C. 2c D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b-c＞0，c-a-b＜0， ∴原式=a+b-c+（c-a-b） =0． 故选：D． 【点睛】考点：三角形三边关系． 9. 如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、翻折变换等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由折叠的性质得到，由三角形外角性质可得、，易得，则，即，然后求解即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ∴， ∴，即． ∵ ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，平分，交于点，平分，交的延长线于点，交的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质；依次对每个结论进行判断：由平分和三角形外角性质可知①正确；由三角形内角和定理可知②正确；由三角形外角性质和角平分线的性质可知③正确；由三角形外角性质可知④不正确. 【详解】解：①∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 因此①正确； ②∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 因此②正确； ③∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 因此③正确； ④∵是的一个外角， ∴， 同理， 由③得， ∴ ， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个. 故选：C. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，首先分情况讨论腰长和底边长，依据三角形三边的关系验证能否构成三角形，再求三角形的周长． 【详解】解：当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 不能构成三角形； 当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 能构成三角形， 三角形的周长为． 故答案为：． 12. 如图，在锐角三角形和锐角三角形中，，分别是边，上的高，且，．要使，则可以补充条件________（填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，分别是边，上的高，，，证明，故，又因为，即可证明． 【详解】解：依题意，要使，则可以补充条件， 过程如下： ∵，分别是边，上的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 13. 如图，，经过点A，，则的度数为 ________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据全等三角形的性质得到，再由等边对等角得到，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”， 延长至点E，使，连接，通过证明，得出，再根据三角形三边之间的关系，得出，即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形网格中， _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，可证明得到，则可推出，同理可得；再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，相交于点，进而得出，可得到及的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 如图，在中，，，求各内角的度数． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和为即可求解． 【详解】解：，，， ， 解得：， ，． 18. 如图，在中，是的角平分线，，． （1）尺规作图：作，交于点． （2）求的各内角的度数． 【答案】（1） 如图所示： （2），， 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点D作，则，即可作答． （2）先根据三角形外角性质得，由三角形的角平分线的定义得，最后结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，． ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在中，． 19. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】略 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点在同一条直线上，且，．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，得出，即可求解； 【详解】证明：， ； 又， ， ； 在与中， ， ； ． 21. 如图，，，，点D在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证即可求解； （2）由全等三角形的性质可得，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∵，， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．熟记相关知识点即可． 22. 【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）证明：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ； （3）①，②的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】（1）解：； ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为．求证：． 独立思考：（1）请证明王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，中，，点D是上一点，于E，求证：”． 问题解决： （3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，中，，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，请直接写出的值为__________．” 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）证明：过作， 由（1）可知 ∴， ∵，， ∴， ∴， （3） 【解析】 【分析】（1）由同角的余角相等，即可得出，即可证得，再根线段的和差关系即可证明结论； （2）过作，由（1）可知，即可得出，再由等腰三角形三线合一可得出：，即可的得出结论； （3）过作，由（1）可知，，即可得出，，再证得，得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 解：（3）过作， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质，利用类比方法添加辅助线构造全等是解题的关键． 24. 小明在学习中遇到了如下的问题：如图1，在中，，，D为边上的中点，求的取值范围． 【感知方法】： 他思索了很久，但没有思路，老师提示他要添加适当的辅助线，如图2，方法一：延长至点E，使得，连接；方法二：过点C作，交的延长线于点E；添加辅助线后，小明恍然大悟，易得，再利用三角形的三边关系可以解决问题． （1）在老师的提示下，小明求得长度的范围是大于　　且小于　　； 【知识迁移】： （2）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为　　． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． （3）在（2）的条件下，若，，，四边形的面积为．求点D到线段的距离． 【答案】（1）， （2）①， ②，理由如下： 延长至点G，使得，连接，，如图， ∵F为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵在①中求得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的思路，结合构成三角形三边的关系的知识即可作答； （2）①根据，，即可作答；②延长至点G，使得，连接，，先证明，即有，，再证明，即可作答； （3）根据（2）的辅助线，在（2）中已证明，，，利用证明的方法同理可证明，即可证明，进而可得，再求出，，结合四边形的面积为，可得，过D点作与F点，根据即可求解． 【小问1详解】 方法一：延长至点E，使得，连接，如图， ∵D为边上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 方法二，证明，同理可求． 故答案为：，； 【小问2详解】 ①∵，， ∴； ②略 【小问3详解】 在（2）中已证明，，， 利用证明的方法同理可证明， ∴，， ∵F为中点， ∴， ∴，， 即： ∴，， 即：， ∵，， ∴，， ∵四边形的面积为，， ∴， ∵， ∴， 过D点作与F点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D到线段的距离为． 【点睛】本题主要考查了倍长中线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，构造辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $