精品解析：贵州省铜仁第一中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

铜仁市第一中学2025-2026学年高一上学期9月数学测试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，设命题，，，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 设a、b、c是实数，则“”是“”的( ). A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 5. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 8. 若命题“任意正数x，y，不等式恒成立”是真命题，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 若则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 10. 在复数范围内，方程的两根记为，，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的有（    ） A. 函数 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数满足，则的最小值为3 D. 设，，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 _____． 13. 某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果店这三天售出的水果至少有______________种． 14. 已知集合A={2，3，6}，则集合A的真子集的个数是______． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）设非空集合，若，求实数的取值范围. 16. 已知，，且，求的取值范围． 17. 如图，某小区有一块五边形的空地，延长交的延长线于点，四边形为矩形，，，，．为了合理利用该空地，在线段上取一点，使得四边形为矩形，矩形作为小区广场，其余为绿化带，其中点在上，点在上． （1）设，，求的值，并分别求，的取值范围； （2）求广场面积的最大值，并指出此时点的位置． 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 19. 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”.在一次比赛中，n位选手的实际排名为.同学们在不知道选手实际排名的前提下，根据自己的经验预测选手们的排名为，其中集合.记，用A与I的差异量来反映预测的准确程度. （1）当时，写出满足的A的所有可能情况； （2）甲、乙两位同学同时预测，甲的预测结果为A，乙的预测结果为B，已知，，则是否可能大于?若可能，请给出一个例子，若不可能，请说明理由： （3）证明：对于任意，的值一定为偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁市第一中学2025-2026学年高一上学期9月数学测试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由集合的概念、元素与集合间的关系、集合与集合间的关系，逐项判断即可得解. 【详解】对于①，因为是中的元素，所以，故①正确； 对于②，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，故②正确； 对于③，为数集，为点集，所以，故③错误； 对于④，集合、均为点集，但所含元素不同，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合间关系的判断，属于基础题. 2. 数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，设命题，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案. 【详解】p：，，则为，. 故选：B． 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得，得到或，结合集合补集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，即， 则或，所以. 故选：A. 4. 设a、b、c是实数，则“”是“”的( ). A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】，当时，不成立，即充分性不成立； 当时，，，即必要性成立. 故选：B. 5. 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 6. 已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 【详解】解：由得， 因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式 则不等式的解集是的子集， 又由得， 当，，符合； 当，，则，， 当，，符合， 故实数的取值范围为. 故选：C. 7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以的两根是或2，由韦达定理可得：， 所以可转化为，解得或. 所以原不等式的解集为， 故选：B. 8. 若命题“任意正数x，y，不等式恒成立”是真命题，则正实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式得，从而得到关于的不等式，解出即可. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立， 所以，即，解得（舍）或， 所以. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 若则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：ACD 10. 在复数范围内，方程的两根记为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用韦达定理及复数的概念计算可得. 【详解】因为方程的两根记为，， 所以，，故A错误，B正确. ，所以，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 11. 下列说法正确的有（    ） A. 函数 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数满足，则的最小值为3 D. 设，，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对勾函数的性质可判断A；利用配凑法可判断B；将已知变形为，妙用“1”可判断C；将已知变形为，然后根据“1”的妙用可判断D. 【详解】对A，令，则， 因为在上单调递增，所以，A错误； 对B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； 对C，由得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对D，由得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“任意，”是真命题， 即在上恒成立， 当时，不等式化为恒成立， 当时，若在R上恒成立， 则，解得， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为： 13. 某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15种水果，第二天售出了12种水果，第三天售出14种水果，前两天售出相同种类的水果有7种，后两天售出相同种类的水果有6种．那么该水果店这三天售出的水果至少有______________种． 【答案】20 【解析】 【分析】设出未知数，用韦恩图表达出其他量，得到不等式，求出答案. 【详解】设这三天售出相同种类的水果有种， 第一天售出、第二天未售出、且第三天售出的水果相同种类有种， 则这三天售出水果的种类关系如图所示． 由图可知，该水果店这三天售出水果有种， 由，得，所以． 故该水果店这三天售出的水果至少有20种． 故答案为：20 14. 已知集合A={2，3，6}，则集合A的真子集的个数是______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据含有n个元素的有限集合的真子集有个，容易得出集合A的真子集个数为个，得到结果． 【详解】因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子集有个， 故答案为7． 【点睛】考查列举法的定义，真子集的概念，组合的概念及组合数公式． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）设非空集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解法化简集合A，然后利用补集和交集运算求解即可； （2）根据集合关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 由题意得或，解得或. 所以实数的取值范围是. 16. 已知，，且，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别对集合A和集合求解，然后利用交运算即可求解. 【详解】由题意，， 所以， 又由， 解得，或，所以或， 又因为， 所以或， 解得，或， 故的取值范围为. 17. 如图，某小区有一块五边形的空地，延长交的延长线于点，四边形为矩形，，，，．为了合理利用该空地，在线段上取一点，使得四边形为矩形，矩形作为小区广场，其余为绿化带，其中点在上，点在上． （1）设，，求的值，并分别求，的取值范围； （2）求广场面积的最大值，并指出此时点的位置． 【答案】（1）；， （2）当是的中点时，广场面积取得最大值，且最大值为 【解析】 【分析】（1）延长交于，延长交于，根据可求出； （2）利用基本不等式即可求出. 【小问1详解】 如图，延长交于，延长交于，则，． ∵，，∴， ∴，即， ∴， 故，的取值范围分别是，． 【小问2详解】 设广场面积为S，则． ∵，∴，即， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为， 此时，，∴是的中点． 因此，当是的中点时，广场面积取得最大值，且最大值为． 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可； （2）根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解； （3）分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以方程的两根分别为， 根据韦达定理可知，，解得； 【小问2详解】 不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 即，解得，所以实数a的取值范围为； 【小问3详解】 即， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 19. 给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”.在一次比赛中，n位选手的实际排名为.同学们在不知道选手实际排名的前提下，根据自己的经验预测选手们的排名为，其中集合.记，用A与I的差异量来反映预测的准确程度. （1）当时，写出满足的A的所有可能情况； （2）甲、乙两位同学同时预测，甲的预测结果为A，乙的预测结果为B，已知，，则是否可能大于?若可能，请给出一个例子，若不可能，请说明理由： （3）证明：对于任意，的值一定为偶数. 【答案】（1）、、； （2）不可能，理由如下： 由题意知，， ， 由于， 故，即， 即，即不可能大于； （3） 由题意知为的一个排列， 均为正整数，定义， 则；(因为皆为的和) 考虑的奇偶性， 当时，；当时，； 故与具有相同的奇偶性， 故和除以2的余数相同，而， 故必为偶数，即对于任意，的值一定为偶数. 【解析】 【分析】（1）利用列举的方法，一一验证，即可确定答案； （2）利用三角绝对值的不等式性质，即可判断出结论； （3）定义，根据“差异量”的含义，结合讨论知与具有相同的奇偶性，可得和除以2的余数相同，结合，即可证明结论. 【小问1详解】 当时，； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故满足的A的所有可能情况为、、； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $