1.2.2空间中的平面与空间向量（第二课时）教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

本高中数学教案聚焦三垂线定理及其逆定理，通过师生共同回顾平面法向量概念、求法向量步骤及空间向量处理平行垂直关系，引导讨论总结，搭建新旧知识联系的学习支架，为新知探究奠定基础。 该教案以启发、讨论、练习法为主，结合多媒体辅助，通过“尝试与发现”引导学生用空间向量证明定理，例题选用正方体、三棱锥模型，培养逻辑推理与直观想象核心素养，助力学生提升空间问题解决能力，为教师提供结构化教学流程与反思评价建议。

课题 1.2.2 空间中的平面与空间向量（第二课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第一章第二部分第二节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.理解三垂线定理及其逆定理； 2.会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题. 教学重、难点： 重点：理解三垂线定理及其逆定理； 难点：应用三垂线定理及逆定理证明； 教材分析 本节课是高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》中的一部分，主要围绕“空间中的平面与空间向量”展开。在第一课时的基础上，第二课时将进一步深化对空间向量及其与平面关系的理解，引出三垂线定理及其逆定理来解决立体几何中的平行、垂直等问题。 核心素养 1.逻辑推理：三垂线定理及其逆定理 2.直观想象：线面、面面位置关系的向量表达 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习导入 【师生共同回顾平面的法向量的相关概念】 教师提问：在之前的学习中，我们都学习过哪些知识？接下来找同学回答。 学生回答：之前学习了平面法向量的概念、求平面的法向量的一般步骤、用空间向量处理平行或垂直关系。 教师提问：说的非常全面，能具体展开说说吗？大家前后桌讨论一下，结束后我们一起总结。 师生共同总结： 1、平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量. 2、在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n=(x,y,z); (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 (4)解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量. 3.用空间向量处理平行或垂直关系 (1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v⇔l⊥α;n⊥v⇔l∥α,或l⊂α. (2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则n1⊥n2⇔α1⊥α2;n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合. 通过创设情境，建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。 探究新知 知识点：三垂线定理及其逆定理 例题典析 教师提问：过平面外一点，能做几条直线与平面垂直？ 学生回答：有且只有一条。 教师讲解：我们知道，已知空间中的平面a以及点A，过A作a的线，设l与a相交于点，则就是点A在平面a内的射影(也称为投影)。不难看出，当A不是平面a内的点时，如果A的射影为A，则与都是平面a的一个法向量. 空间中，图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影. 例如，如右图所示，如果△ABC的顶点A在平面α内，B与C都在平面α外，则分别过B与C作α的垂线，设交点分别为B′，C′，则△AB′C′就是△ABC在平面内的射影.而且，此时与都是平面α的一个法向量. 尝试与发现：已知AB是平面的一条斜线且B为斜足（即 A B不垂直于且），设其中是A在平面内的射影，而是平面内的一条直线，如图所示，判断下列命题是否成立，并用空间向量证明： （1）当时, ; （2）当时, . 师生活动： 学生对问题进行分析，小组合作说出思路，教师适当引导，教师出示解题过程并讲解过程中的两个结论。 预设答案： 证明：设，则由 ，且，可知 ， 即 ,如果,则 , =0，又因为 =+ + ， 所以 =(+ ) = + =0 因此 . 如果,则 , =0,又因为 =+ , 所以 = (+ ) + =0 因此. 教师讲解： 1、三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直. 2、三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 例1、如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体， 求证：A1D⊥BD1. 【师生活动】 学生分析题目，根据三垂线定理得出相关证明，教师出示解题过程。 【解析】 证明：连接AD1， ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体， ∴AB⊥面ADD1A1， ∴BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1. 又∵ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1， ∴根据三垂线定理可知A1D⊥BD1. 例2、如图所示的三棱锥O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为△CAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB. 【师生活动】 学生分析题目，根据三垂线逆定理得出相关证明，教师出示解题过程。 【解析】 证明： ∵ CO⊥OA，CO⊥OB，OA∩OB=O， ∴CO⊥面OAB. ∵CD在平面OAB内的射影为OD， 又∵CD⊥AB， ∴根据三垂线定理的逆定理可知OD⊥AB. 教师归纳应用三垂线定理或其逆定理解题的思路： 1、确定平面及平面垂线； 2、确定平面的斜线及斜线的射影； 3、在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直； 通过对射影的探究，得出相关概念，为后续的学习做铺垫 通过对立体几何的向量表示的学习，进而使向量坐标化，让学生感受，用代数方法解决立体几何问题。发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养。 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 一、引入 二、知识精讲 知识点：三垂线定理及其逆定理 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂练习 六、课堂小结 七、教学反思 教学设计反思 1. 知识点理解深度 反思学生对三垂线定理及其逆定理的基本概念是否清晰。这包括理解定理中的“三垂线”关系，即一条直线如果同时垂直于另两条直线在同一平面内的射影，那么它也垂直于这两条直线本身。同时，也要明确逆定理的内容，即如果一条直线垂直于另一条直线，并且也垂直于这条直线在同一平面内的射影，那么这条直线垂直于包含那条直线的平面。 证明过程：反思在讲授定理证明时，是否采用了易于学生理解的方式，如通过图形展示、动态演示或逐步推理等方法，帮助学生构建直观的空间想象和逻辑推理能力。 2. 学生反馈与互动 关注学生在课堂上的疑问和困惑，特别是关于定理证明、应用条件等方面的疑问，及时给予解答和指导。 鼓励学生进行小组合作学习，通过讨论、交流等方式共同解决问题，培养他们的合作精神和团队意识。 观察学生的课堂参与度，评估他们对定理及其逆定理的兴趣和热情，以及是否积极参与课堂活动和讨论。 3.教学资源与评价 反思教学资源的丰富性和适用性，包括教材、教辅资料、网络资源等，是否能够满足学生的学习需求。 建立多元化的评价体系，包括课堂表现、作业完成情况、小组活动参与度以及测试成绩等，全面评估学生对三垂线定理及其逆定理的掌握情况。 4.改进建议 加强练习：增加适量的练习题，特别是针对定理及其逆定理的应用题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。 拓展应用：引导学生将三垂线定理及其逆定理应用到更广泛的领域，如建筑设计、工程制图等，培养他们的实践能力和创新意识。 个性化教学：针对不同学生的特点和需求，采用个性化的教学策略，如为学习困难的学生提供额外的辅导和支持，为学有余力的学生提供更深层次的挑战和拓展。 学科网（北京）股份有限公司 $