精品解析：安徽省宿州市2025-2026学年高二上学期学段一教学质量检测数学试卷

安徽省宿州市2025-2026学年高二上学期学段一教学质量检测数学试卷 （分值：150分 时间：120分钟） 命题人：刘伟 审题人：周双喜 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为(　　) A. B. C. D. 8. 设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若方程表示圆，则的取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 圆与圆恰有条公切线 D. 已知圆和圆，圆和圆的公共弦长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知直线，直线．若，则实数的值为______． 12. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则___________． 13. 已知平面上两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知点，求下列直线的方程： （1）求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； （2）光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 15. 已知直线与圆交于两点，点在圆上运动． （1）当时，求； （2）已知点，求的中点的轨迹方程． 16. 在直三棱柱中，D、E分别是、的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离. 17. 在①圆过点C（－9，2）；②圆心在直线x－y＋1＝0上；③圆与直线2x－y－10＝0相切，且圆的半径小于等于10，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解． 已知圆E过点A（1，12），B（7，10），且________． （1）求圆E的方程． （2）已知点C（－2，0），D（2，－20），在圆E上是否存在点P，使得PC2＋PD2＝258？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省宿州市2025-2026学年高二上学期学段一教学质量检测数学试卷 （分值：150分 时间：120分钟） 命题人：刘伟 审题人：周双喜 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解. 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 2. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将直线的方程化为，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可. 【详解】直线：化为， 又直线：，所以， 所以直线与直线的距离是. 故选：A. 3. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值. 【详解】向量， 若， 则， . 故选：C. 4. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题可知， 故选：A 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 7. 从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为，故当时，，应选答案B． 点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想． 8. 设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，证明是以为直径的圆与圆的公共弦，求出点坐标，求出以为直径的圆的方程，求出直线的方程即可求解. 【详解】由知为中点， 所以，以为直径的圆过点， 故是以为直径的圆与圆的公共弦， 联立圆圆的方程，可解得， 当时，以为直径的圆的方程，与圆的方程相减，可得直线的方程为， 直线的斜率为，考虑对称性，直线斜率的另外一解为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明是以为直径的圆与圆的公共弦. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，结合也是直线的方向向量计算的值即可判断A；根据两直线互相垂直计算参数的值即可判断B，再判断正误；根据直线恒过定点可知当直线与垂直时，点到直线的距离最大即可判断C；计算直线的斜率，结合图象确定直线斜率的取值范围即可判断D. 【详解】A.由是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项A正确； B.由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； C.将直线方程变形为，由得， 直线过定点，斜率为. 当直线与垂直时，点到直线的距离最大. 因为，所以，选项C正确； D. 如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点. 故选项D正确. 故选：ACD. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若方程表示圆，则的取值范围是 B. 直线恒过定点 C. 圆与圆恰有条公切线 D. 已知圆和圆，圆和圆的公共弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A根据圆的一般方程即可求解；对于B将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；对于C通过两圆的位置关系判断公切线条数；对于D将两圆作差求出公共弦的方程，圆心到直线的距离公式求出,利用公式即可求解． 【详解】对于A：若方程表示圆， 则或，故A错误； 对于B：直线，得， 由，得，即直线恒过定点，故B正确； 对于C： 曲线，即，圆心为，半径为， 曲线，即，圆心为，半径为， 两圆心的距离为，则两圆外切，有条公切线，故C错误； 对于D：圆和圆， 两方程作差可得公共弦所在的直线方程为， 圆即， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，所以公共弦长为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知直线，直线．若，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得的值． 【详解】因为直线，直线，且， 所以，解得或. 故答案为：或. 12. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，结合投影向量公式进行求解即可. 【详解】由题意得，， ∴向量在向量上的投影数量为． 所以 故答案为：. 13. 已知平面上两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为_______． 【答案】##-0.75 【解析】 【分析】利用解析方法，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到动点P点的轨迹方程，分和两种情况讨论，当时，利用两圆的位置关系得到关于的不等式，进而求解得到的取值范围. 【详解】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则 ． 设，且动点P满足， 即， 则， 当时，满足题意； 当时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内， 即圆与圆相离或外切内切或内含， 所以或， 解得或（舍去）， 所以负数的最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知点，求下列直线的方程： （1）求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； （2）光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. 【小问2详解】 点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 15. 已知直线与圆交于两点，点在圆上运动． （1）当时，求； （2）已知点，求的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）设，利用相关点法求点的轨迹方程. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 可得，解得. 【小问2详解】 设， 因为点，且为的中点，则， 又因为点在圆上，则，整理得， 所以点的轨迹方程为. 16. 在直三棱柱中，D、E分别是、的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求点E到平面的距离. 【答案】（1） 因为为直三棱柱， 则平面，且， 以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，且，分别是，的中点， 则， 所以,， 设平面的法向量为， 则，则，取，则， 则平面的一个法向量为， 因为平面，且， 则平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行； （2）根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面的一个法向量为，且， 则点到平面的距离. 17. 在①圆过点C（－9，2）；②圆心在直线x－y＋1＝0上；③圆与直线2x－y－10＝0相切，且圆的半径小于等于10，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解． 已知圆E过点A（1，12），B（7，10），且________． （1）求圆E的方程． （2）已知点C（－2，0），D（2，－20），在圆E上是否存在点P，使得PC2＋PD2＝258？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（x－1）2＋（y－2）2＝100 （2）存在，2 【解析】 【详解】解：（1）若选①，设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由已知可得 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95， 所以圆E的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 若选②，由已知得AB的中点为（4，11），直线AB的斜率为－， 所以AB的垂直平分线的方程为y－11＝3（x－4），即y＝3x－1. 因为圆心在直线x－y＋1＝0上，所以联立方程 解得所以圆心E的坐标为（1，2）， 半径为AE＝10， 所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100. 若选③，设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 因为圆E过点A（1，12），B（7，10）， 所以 因为圆与直线2x－y－10＝0相切， 所以＝r，解得a＝1，b＝2，r＝10， 所以圆E的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100. （2）设P（x，y），由已知PC2＋PD2＝（x＋2）2＋y2＋（x－2）2＋（y＋20）2＝2x2＋2y2＋40y＋408＝258， 所以x2＋y2＋20y＋75＝0，即x2＋（y＋10）2＝25， 所以点P在圆M：x2＋（y＋10）2＝25上，圆M的圆心M的坐标为（0，－10），半径r1＝5. 因为点P在圆E：（x－1）2＋（y－2）2＝100上，圆E的圆心E的坐标为（1，2），半径r＝10， 又ME＝＝，r－r1＝5，r＋r1＝15， 所以r－r1<ME<r＋r1， 所以圆M与圆E相交，两圆有两个公共点，所以符合题意的点P的个数是2. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 【答案】（1）证明：由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. （2）1 （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. 【小问3详解】 若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $