1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系（第二课时）教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该教案聚焦空间直角坐标系的概念、点的坐标确定及两点距离公式、中点坐标公式。通过师生共同回顾空间向量坐标运算与平行垂直关系，以复习旧知为支架，自然衔接新课，为空间直角坐标系学习奠定基础。 此教案突出直观想象、逻辑推理与数学运算核心素养，类比平面直角坐标系构建空间坐标系，结合讲练结合与多媒体辅助，以三点共线证明例题强化应用。助力学生提升空间观念与运算能力，为教师提供清晰教学流程，高效落实教学目标。

课题 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系（第二课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第一章第一部分第三节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标： · 1.理解空间直角坐标系的概念，知道建系的方法. · 2.会确定空间中点的坐标，能掌握空间中两点距离公式和中点坐标公式，会进行简单的应用. 核心素养 · 1.数学抽象：空间向量的坐标表示 · 2.逻辑推理：运用空间向量坐标解决平行与垂直问题 · 3.直观想象：用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题 · 4.数学运算：向量坐标下的线性运算与数量积运算 教学方法和手段 教学方法：讨论法、问答法、讲练结合法等。 教学手段：教科书、多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习回顾 【师生共同回顾空间向量的坐标与空间直角坐标系】 教师提问：在之前的学习中，我们都学习过哪些空间向量的知识？接下来找同学回答。 学生回答：之前学习了空间向量的运算与坐标的关系和空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直。 教师提问：说的非常全面，能具体展开说说吗？大家前后桌讨论一下，结束后我们一起总结。 师生共同总结： 1、空间向量的运算与坐标的关系： 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1) a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) ； (2) μa＋vb＝(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)； (3) a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (4) ； (5) . 2、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1) a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)； (2) a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 通过复习回顾的方式，引发学生的思考，激发他们的学习兴趣和探究欲望，为新课的讲解做铺垫。 新课讲解 知识点 1：空间直角坐标系 知识点 2：空间向量坐标的应用 情景与问题：由空间向量坐标的定义可以看出，当单位正交基底的始点是同一个点O，而且空间向量的始点也是O时，空间向量的坐标实际上是由它的终点位置确定的。 （1）如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？ （2）我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置，在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序时数来刻画点在平面内的位置，那么怎样才能刻画空间中点的位置呢？ 师生活动： （1）教师提问：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系，它包括哪些要素？这些要素需要满足什么条件？ （2）学生自主思考，回答平面直角坐标系所包含的要素，并类比推导到空间直角坐标系； （3）教师总结学生答案，列出表格，进行对比分析； 坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系 原点 坐标原点O 坐标原点O 坐标轴 互相垂直的两条坐标轴x轴和y轴 三条互相垂直的坐标轴 单位长度 单位长度 单位长度 师生活动： （1）学生明确空间直角坐标系的要素后，在教师的指导下建立空间直角坐标系Oxyz ： （2）教师提醒学生注意的要点： ① 在空间中任意选定一点O作为坐标原点； ② 选择合适的平面建立平面直角坐标系xOy； ③过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴. （3） 教师讲解： ①在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴； ②通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面. ③z轴正方向的确定方法：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合. x轴、y轴水平放置，正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴垂直). 空间直角坐标系Oxyz中点的坐标 ： 如图所示，设M为空间中的一个点，过M点作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴于P，Q，R三点，且P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)； 反过来，有序实数组(x，y，z)可以对应唯一点M。点M一一对应有序实数组(x，y，z) 教师讲解：空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有了一一对应关系，空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定，因此将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z). x，y，z都称为点M的坐标分量， x称为点M的横坐标(或x坐标)， y称为点M的纵坐标(或y坐标)， z称为点M的竖坐标(或z坐标). 为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直. 轴的方向通常这样选择: 从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合,这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点. 每两条坐标轴分别确定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平面,三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限,如图所示. 过渡：利用空间向量的坐标与空间直角坐标系的关系，我们可以得到空间直角坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式. 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间直角坐标系中的两点,则 =(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),所以 =(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1), AB=||=. 教师讲解：这就是空间直角坐标系中两点之间的距离公式，上面的推导过程也说明，空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标. 设线段AB的中点为M(x,y,z),则=(x,y,z), )=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)=(), 所以点M的坐标为() . 教师讲解：这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式. 例：在空间直角坐标系中，已知， 求证：三点共线. 【师生活动】 学生分析题意，要想证明三点共线，就要算出和的坐标，然后找出它们之间的关系，最后得证，教师出示解题过程。 【解析】证明：因为 所以，因此, 又因为这两个向量有公共点，所以三点共线. 通过典型例题，加深学生对空间直角坐标系、空间向量坐标的应用的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 学生自主思考，画出空间直角坐标系，教师对空间直角坐标系中的元素进行讲解分析 教师对空间直角坐标系Oxyz中点的各个坐标进行分析讲解 教师讲解将坐标平面内的点分成八个卦限，学生牢记 教师通过引导学生对空间向量的坐标与空间直角坐标系的关系得到空间直角坐标系中两点之间的距离公式和中点坐标公式，学生要能用这两个公式解决空间向量的坐标的应用. 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 板书设计： 一、复习回顾 空间向量的运算与坐标的关系 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 二、知识精讲 知识点 1：空间直角坐标系 知识点 2：空间向量坐标的应用 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂训练 六、课堂小结 教学设计反思 在本节课的教学中教学目标的设定清晰明确，具有针对性，在讲解过程中突出重难点，对重难点进行了详细且透彻的讲解，使学生能够了解空间直角坐标系、空间向量坐标的应用，达到本节课的教学目的． 通过本节课的教学，我认为在以下几个方面做得比较好： · 成功创设了情境，激发了学生的学习兴趣； · 通过小组合作和自主探究，培养了学生的合作意识和探究能力； · 板书设计清晰明了，有助于学生理解和记忆知识。 同时，也发现了一些需要改进的地方： · 在引导学生理解空间向量坐标的应用时，部分学生的逻辑思维能力还有待加强； · 在练习环节，部分题目的难度设置不够合理，需要进一步优化； · 在总结归纳环节，可以更加深入地拓展相关知识，帮助学生形成更完整的知识体系。 针对以上问题，我将在今后的教学中加强对学生逻辑思维能力的培养，优化练习题目的设置，并注重知识的拓展和延伸，以提高学生的数学素养和综合能力。 学科网（北京）股份有限公司 $