四川省成都市高新区元音中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2025-2026学年四川省成都市高新区元音中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是(    ) A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 四个角相等的四边形是矩形 3.下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 2cm，3cm，4cm，5cm C. 2cm，3cm，4cm，6cm D. 3cm，4cm，6cm，9cm 4.已知是一元二次方程的解，则(    ) A. 8 B. C. 4 D. 5.如图：，AD：：1，，那么CE的长为(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是(    ) A. B. C. D. 7.《九章算术》是我国古代数学的重要著作，“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何.”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？丈尺，尺、寸、丈不是法定计量单位若设高是x尺，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.如图，将一张两边长分别为24cm和x cm的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为(    ) A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.已知，则______. 10.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为          . 11.关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是______. 12.如图，正方形ABCD中，E在BC延长线上，AE，BD交于点F，连结FC，若，那么的度数是______. 13.如图，菱形ABCD的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为______. 14.设，是一元二次方程的两个根，则______. 15.用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了.则游戏者获胜的概率为______. 16.当m，n是正实数，且满足时，就称点为“美好点”.已知点与点B的坐标满足，且点B是“美好点”，则的面积为______. 17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，，连接EF交OA于点G，若，连接CE，，则线段CE的长为______. 18.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接则的最小值是      . 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 解方程： ； 20.本小题8分 已知关于x的一元二次方程有两根分别为、 求m的取值范围； 若，求m的值. 21.本小题8分 某校开展了学习党史的知识竞赛活动.初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级.其等级对应的分值分别为100分分、90分分、80分分、70分及以下.现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题. 由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为 C级的学生人数是______人； 请补全条形统计图，由图可知m的值为______； 初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，年级要求从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个男生的概率. 22.本小题10分 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上.求灯泡到地面的高度 23.本小题10分 在菱形ABCD中，，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边按逆时针排列，点E的位置随点P的位置变化而变化. 如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是______，与CE的位置关系是______； 如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE，若，，求PD的长. 24.本小题8分 2022年9月30日至10月9日，世界乒乓球团体竞标赛正在成都举行，本次大赛共有66支队伍参赛，本次赛事的口号为“乒世界，品成都”，赛事的举办点燃了全体市民参与乒乓球运动的热情. 据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知7月共销售乒乓球拍500副，每月的月销售增长率相同，9月共销售720副，求该增长率？ 已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售20副，每副盈利40元，在每副降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10副.如果每天要盈利1440元，则每副乒乓球拍应降价多少元？ 25.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线与x轴，y轴分别交于点C和点D，直线AB与CD交于点P， 求直线CD的解析式； 连接OP，BC，点Q在直线AB上，若的面积为，四边形OBCP的面积为，当时，求点Q的坐标； 动点M在直线CD上，连接AM，以AM为边作正方形点A，M，E，F按逆时针方向排列，当正方形AMEF的面积被的一条边所在直线平分时，请直接写出点E的坐标. 26.本小题12分 在中，，，点M，N分别是AB，BC的中点，连接然后将绕点B顺时制转，连接CN，AM，直线CN与直线AM交于点 如图1，在旋转过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值； 如图2，当点K在直线BC的上方时，连接BK，当时，求的值； 若，在旋转过程中，当C，B，N三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出CK的长. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B.方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C.是分式方程，故本选项不符合题意； D.方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意． 故选： 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2.【答案】D  【解析】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误，不符合题意； 四条边都相等的四边形是菱形，故B错误，不符合题意； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C错误，不符合题意； 四个角相等的四边形是矩形，故D正确，符合题意； 故选： 根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断即可． 本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理． 3.【答案】C  【解析】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段成比例，符合题意； D、，四条线段不成比例，不符合题意. 故选： 本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 4.【答案】A  【解析】解：由题意得： 把代入方程中， ， ， ， 故选： 根据题意，把代入方程中，进行计算可得，然后再把所求的式子变形为，即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握求代数式中的整体思想是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：， ， ， ， 故选： 根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据AD：：1，，可计算出CE的长． 本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 6.【答案】D  【解析】解：， ， 若，， ，故A不符合题意； 若，， ，故B不符合题意； 若，， ，故C不符合题意； ，， 无法判断与相似，故D符合题意； 故选： 利用相似三角形的判定方法依次判断即可． 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：高是x尺，则宽为尺，根据勾股定理，得 ， 故选： 高是x尺，则宽为尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程． 本题考查勾股定理，正确理解题意，找到各个量的关系列出方程是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：大矩形的一条边长为24cm， 小矩形的一条边长为， 小矩形和原矩形相似， ，解得 故选： 先求出小矩形的另一条边长，根据相似多边形的性质解答即可． 本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质及翻折变换，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：设，， 则 ， 故答案为： 根据已知条件设，，再代入求出答案即可． 本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么 10.【答案】11  【解析】【分析】 此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比． 根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果． 【解答】 解：由两个枫叶图案相似， 可得， 解得， 即x的值为 故答案为： 11.【答案】0  【解析】解：关于x的一元二次方程的一个根是0， 且， 解得， 故答案为： 根据关于x的一元二次方程的一个根是0，可以得到且，然后求解即可． 本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，写出关于k的方程，注意二次项系数不等于 12.【答案】  【解析】解：在正方形ABCD中，BD是对角线， ， 在和中， ≌， ， ， ， 故答案为： 首先利用正方形的性质证明≌，然后利用全等三角形的性质得到，最后利用直角三角形的性质求解． 本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了全等三角形的判定与性质，有一定的综合性． 13.【答案】  【解析】解：由作法得MN垂直平分AB， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为： 连接BE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到，再证明为等腰直角三角形，则，接着根据菱形的性质得到 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质． 14.【答案】2024  【解析】解：，是一元二次方程的两个根， ，且， ， 故答案为： 根据根与系数的关系结合整体思想即可解决问题． 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系及巧妙利用整体思想是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：转盘B的蓝色部分的圆心角是，相当于2个红色部分， 画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种等可能结果， 所以游戏者获胜的概率为 故答案为： 用画树状图的方法表示所有可能出现的等可能结果，其中A盘出现红色时，B盘有3种可能的颜色，即红，蓝，蓝，找出能配成“一红一蓝”的所有等可能结果，利用概率计算公式即可求解答案． 本题考查了通过画树状图或列表求事件的概率，求出所有符合条件的等可能性结果是解答本题的关键． 16.【答案】18  【解析】解：把点代入中得：， 解得：， ， 点B的坐标满足， 设点B的坐标为， 点B是“美好点”， ， ，n是正实数，且满足， ， ， ， ， 解得：， 点B的坐标为， 的面积， 故答案为： 根据题意可得：把点代入中得：，从而可得，进而可得，然后设点B的坐标为，再根据“美好点”进行计算，从而可得点B的坐标为，最后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 本题考查了三角形的面积，理解“美好点”是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：如图，作于M， 四边形ABCD是菱形， ，，， ， ：：EB， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积， ， ， ， ， 故答案为： 作于M，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明EM是ABO的中位线，得到，证明∽，求出OA的长，得到AC的长，求出CM的长，由三角形面积公式求出OB长，得到EM的长，由勾股定理即可求出CE的长． 本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是作于M，证明∽，求出OA的长． 18.【答案】  【解析】解：如图，过点F作于点K，延长BC到点M，使，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG， 四边形ABCD是正方形， ，， ， 垂直平分BM， ， 由翻折得，， ， ≌， ， 由翻折知， 又， ， ， ， ， 四边形ABKF是矩形， ， ， ≌， ， ， ， ， ， 当点G与点N重合时，，此时的值最小， 的值也最小， ，，， ， 的最小值是 故答案为： 如图，过点F作于点K，延长BC到点M，使，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，由翻折可得≌，再证得≌，即可推出，利用三角形三边关系可得，由于当点G与点N重合时，，此时的值最小，故的值也最小，运用勾股定理即可求得答案． 本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，两点之间线段最短等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19.【答案】解：， ， 或， 解得，； ， 方程两边同时乘，得： ， 解这个方程，得， 检验：当时，， 故原方程的解为  【解析】方程利用因式分解法求解即可； 方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，再解方程即可，最后要检验． 本题考查解一元二次方程-因式分解法以及解分式方程，熟练掌握因式分解的方法以及解分式方程的方法是解题的关键． 20.【答案】由方程有两个实数根可知， ， 解得 所以m的取值范围是 由题知， ， 又， 所以， 解得，， 又， 所以 故m的值为  【解析】根据方程有两个实数根，可知其根的判别式大于等于零，据此可解决问题． 利用根与系数的关系即可解决问题． 本题考查根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 21.【答案】500  210  18  【解析】解：名， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为C级的学生人数为名； 故答案为：500，210； 等级人数所占的百分比为， 所以， 补全条形统计图为： 故答案为：18； 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个男生的结果数为10种， 所以抽取的2人中至少有1个男生的概率 用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数； 先用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值，然后补全条形统计图； 画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的2人中至少有1个男生的结果数，然后根据概率公式计算． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 22.【答案】解：由题意可得：， 则∽BED， 故， 即， 解得：； ， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ∽， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度AG为  【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长． 此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 23.【答案】，；   仍然成立，理由见解析；   2或  【解析】解：如图1，连接AC，延长CE交AD于点H， 四边形ABCD是菱形，， ，都是等边三角形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ≌， ，， 同理可证是等边三角形， ， ，即 又， 故答案为：，； 中的结论还成立；理由如下： 如图，连接AC，设CE与AD交于H， 四边形ABCD是菱形， ，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ， 中结论，仍然成立； ①如图3，当点P在点B左侧时，连接AC交BD于点O， 四边形ABCD是菱形， ，BD平分， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由可知：，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ； ②如图4，当点P在点D右侧时，连接AC交BD于点O， 四边形ABCD是菱形， ，BD平分， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由可知：，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 综上可知：PD的长为2或 连接AC，延长CE交AD于点H，根据菱形的性质证明是等边三角形，由等边三角形的性质证明，，从而可证明≌，最后根据全等三角形的性质，菱形的性质，角度和差即可求解； 中的结论成立，用中的方法证明≌即可； 分两种情形：①当点P在点B左侧时，②当点P在点D右侧时，连接AC交BD于点O，由勾股定理得：，则，由得，，再根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，最后由线段和差即可求解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 24.【答案】解：设平均每月增长率为x， 根据题意得：， 解得：或舍去， 答：该增长率为； 设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副， 根据题意得：，即， 解得：或舍去， 答：每副乒乓球拍应降价4元．  【解析】设平均每月增长率为x，利用9月销售量月销售量增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 设每副乒乓球拍降价y元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润=每副的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25.【答案】当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ，， 将点D、C代入， ， 解得， 直线CD的解析式为； 当时，解得， ， ， ， ， 当Q点在P点下方时，， 解得， ； 当Q点在P点上方时，， 解得， ； 综上所述：Q点坐标为或； 设， 当CD所在直线平分的面积时，M点与C点重合， ； 当BD所在的直线平分的面积时，如图1， 过M点作轴交于H点，过E点作交于G点， ， ， ， ， ≌， ，， ， 、E的中点在OD上， ， 解得， ； 当BC所在的直线平分的面积时，如图2， 过点M作轴，过点A作交于S，过点E作交于T， 同理可证≌， ，， ， 、E的中点在BC上， 点在直线BC上， 设直线BC的解析式为， ， 解得， 直线BC的解析式为， ， 解得， ； 综上所述：E点坐标为或或  【解析】求出C、D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； 先求，根据三角形面积公式求出，可得，当Q点在P点下方时，，；当Q点在P点上方时，，； 设，当CD所在直线平分的面积时，M点与C点重合，；当BD所在的直线平分的面积时，过M点作轴交于H点，过E点作交于G点，证明≌，可得，又由A、E的中点在OD上，则，可求；当BC所在的直线平分的面积时，过点M作轴，过点A作交于S，过点E作交于T，同理可证≌，得到，再由A、E的中点在BC上，即点在直线BC上，能求出 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 26.【答案】解：的值不变，理由如下： 在中，，， 点M，N分别是AB，BC的中点， ，， 如图1，由旋转得， ， ∽， ， 的值不变，； 如图2，过点B作交CK于点G， 则， ， 由知∽， ， ∽， ，即， ，， ， 在中，， 的值为； ， ，，， 由可知，∽， ， ， ， 由题意知，C，B，N三点构成的三角形为直角三角形时，分，，三种情况； 当时，如图3， ， 由勾股定理得，， ，， ∽， ，即， ， ， 如图4， ， 由勾股定理得，， 同理，∽， ，即， ； 的值为或； 当时，如图5， 由勾股定理得，， ， 四边形BMKN是矩形， ， ； 如图6， 同理，， 的长为或； 当时，由题意知，此时不成立， 综上所述，CK的长为或或或  【解析】由点M，N分别是AB，BC的中点，可得，进而证得∽，即可求得答案； 由可知∽，可得，过点B作交CK于点G，证得∽，利用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案； 分，，三种情况，分别求解即可． 本题是相似三角形综合题，考查了旋转变换的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $