精品解析：江苏省无锡宜城中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

宜兴市宜城中学2025～2026学年度秋学期 九年级 第一次小练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将一元二次方程化成一般形式后，一次项和常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列大小不等的同类图形中，一定相似的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 3. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 为落实五育并举，某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展．如图，该基地是一块长，宽的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为．若设小路的宽度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 9. 数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深入思考问题．一次，数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使重合，展开后得折痕；又沿折叠使点落在处，展开后又得到折痕；再沿折叠使点落在上的处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究的值（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共30分． 11. 若是关于的方程的两个实数根，且，则的值是______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________． 13. 已知，那么的值为______． 14. 已知P＝x2＋t，Q＝2x，若对于任意的实数x，P＞Q始终成立，则t的值可以为____（写出一个即可）． 15. 已知点P是线段的黄金分割点，，若，则__________． 16. 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为__________． 17. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，，则的长__________． 18. 如图，已知在平行四边形中，为的中点，，分别交于点，，则__________． 19. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________． 20. 阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数化为的一元二次方程，得． 因为为实数，所以，所以． 根据材料给你的启示，则函数的最小值是__________． 三、解答题：本题共8小题，共90分． 21. 解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 已知：． （1）求代数式的值： （2）当时，求的值． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 24. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成宽为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 25. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 26. 某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． （1）求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 27. 矩形中，，，点为对角线上一点，过点作于点，交边于点，将沿折叠得，连接． （1）如图1，若点落在边上，求证：； （2）如图2，若，，三点在同一条直线上，求的长； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的长． 28. 如图，在中，，，，动点从出发沿方向，以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，到达点后立即以原来速度沿返回；同时动点从点出发沿以每秒个单位长度向点匀速运动，当到达时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． （1）当为何值时，？ （2）在点从向运动的过程中，在上是否存在点使与全等？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； （3）伴随着、两点的运动，线段的垂直平分线交于点，交折线于点当经过点时，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜兴市宜城中学2025～2026学年度秋学期 九年级 第一次小练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 将一元二次方程化成一般形式后，一次项和常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，正确移项是解题的关键． 先把方程化为一般式，即可得一次项和常数项． 【详解】解：， ， 一次项是，常数项是， 故选：C． 2. 下列大小不等的同类图形中，一定相似的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4. 为落实五育并举，某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展．如图，该基地是一块长，宽的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为．若设小路的宽度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小路宽为，根据“基地的使用总面积为”，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意可得：， 故选：B． 5. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可． 【详解】解：， ， 又，，， ， ， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且△， 解得且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据勾股定理，AB=， BC=， AC=， 所以△ABC的三边之比为=， A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意; B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 9. 数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深入思考问题．一次，数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使重合，展开后得折痕；又沿折叠使点落在处，展开后又得到折痕；再沿折叠使点落在上的处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用折叠的性质得到，，，，，再利用勾股定理得到． 【详解】解：由题意可知：，，，，， ∵， ∴设，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 10. 如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交轴于点，交于点，，，通过相似三角形的判定与性质得到和的长度，从而求出的长度，即可求出的面积． 【详解】解：设交轴于点，交于点， 设，， ， ． 在双曲线上， ， ． 四边形是矩形， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键在于学会利用参数解决问题，综合性比较强． 二、填空题：本题共10小题，共30分． 11. 若是关于的方程的两个实数根，且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先说明根的判别式大于零，再根据根与系数可得、，再结合可得的值，进而得到，即，据此求解即可；掌握根与系数的关系成为解答本题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的两个实数根， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，那么的值为______． 【答案】2022 【解析】 【分析】先计算出，再将换算成，最后将带入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2022 【点睛】本题考查了求代数式的值，把所给式子代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 14. 已知P＝x2＋t，Q＝2x，若对于任意的实数x，P＞Q始终成立，则t的值可以为____（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意可作出函数图象，然后当P与Q只有一个交点时，求得t=1，进而根据图象及题意可进行求解． 【详解】解：由题意可得如图所示： 当P与Q只有一个交点时，则有：，即方程有两个相等的实数根， ∴， ∵对于任意的实数x，P＞Q始终成立，即始终成立， ∴， ∴写出一个满足条件t的值可以为2； 故答案为2（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 15. 已知点P是线段的黄金分割点，，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的概念．根据黄金分割的定义，得到，求出的长，进而求出的长，即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 16. 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为__________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元二次方程的方法和步骤．根据题目所给新定义，列出方程求解即可． 【详解】解：， ， ∴，即， 解得：， 故答案为：或3． 17. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，，则的长__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，相似三角形的性质与判定，等边对等角，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和角平分线的定义可得，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， 故答案为：． 18. 如图，已知在平行四边形中，为的中点，，分别交于点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意分别求得各线段与的关系是关键． 由在平行四边形中，M为的中点，可证得，根据相似三角形的对应边成比例，可求得，继而求得，，则可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ，解得， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 20. 阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数化为的一元二次方程，得． 因为为实数，所以，所以． 根据材料给你的启示，则函数的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将原函数化为的一元二次方程，再利用∆求解即可得到答案. 【详解】将原函数化为的一元二次方程，得， ∵x为实数， ∴， ∴， ∴函数的最小值是， 故答案为：. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，正确理解材料中的解题方法和思路是解题的关键. 三、解答题：本题共8小题，共90分． 21. 解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∴； 【小问3详解】 解： 或 ∴； 【小问4详解】 解： 或 ∴． 22. 已知：． （1）求代数式的值： （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【小问1详解】 解：设，则，，， 所以原式； 【小问2详解】 解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先运用根与系数的关系得出，，再代入到，即可求出答案． 【小问1详解】 ∵方程有两个实数根， ， 解得； 【小问2详解】 和是一元二次方程的两个根， ，， ， ， ， 解得，． ， ． 24. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成宽为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）x的值为 （2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用， 由，求得，，根据矩形养殖场的总面积列一元二次方程，解方程即可求解； 设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵，中间再用栅栏把它分成宽为的矩形， ∴，即，， 依题意得：， 解得：，， 经检验当，，不合题意，舍去， 答：x的值为； 【小问2详解】 解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：， ∵墙的长度为， ∴，解得， ∵， ∴在时，S有最大值，最大值为， 答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 25. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， 可得方程， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． 26. 某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． （1）求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 【答案】（1）答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， （2）答：单价应定为元/千克． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为，根据题意，列出方程，解出，即可； （2）设单价应定为元/千克，根据题意，列出方程，，解出，即可． 【小问1详解】 解：设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， ∴根据题意，， 解得：，（舍）， 答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设单价应定为元/千克， 根据题意， ， 整理得：， 解得：，， ∵要让顾客得到实惠， ∴满足题意； 答：单价应定为元/千克． 27. 矩形中，，，点为对角线上一点，过点作于点，交边于点，将沿折叠得，连接． （1）如图1，若点落在边上，求证：； （2）如图2，若，，三点在同一条直线上，求的长； （3）若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形，． 由折叠得到， ， ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题； （2）结合（1）的方法，解，分别求得； （3）当△是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当，②当，结合（）的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 矩形中，． 当，，三点在同一条直线上时，． 同（1）可得． 又， ． ，， ． 在中，， ． 在中，， ． 【小问3详解】 ①若，如图3① (图3①) 设， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． ②若，如图②． (图3②) 过点作， 设 ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 28. 如图，在中，，，，动点从出发沿方向，以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，到达点后立即以原来速度沿返回；同时动点从点出发沿以每秒个单位长度向点匀速运动，当到达时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． （1）当为何值时，？ （2）在点从向运动的过程中，在上是否存在点使与全等？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； （3）伴随着、两点的运动，线段的垂直平分线交于点，交折线于点当经过点时，求出的值． 【答案】（1） （2）存在， （3）的值为和 【解析】 【分析】（1）由题意得，则，先勾股定理求出，再由平行线分线段成比例定理列出比例式，求方程即可求出的值； （2）根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质求出，最后用勾股定理求解即可； （3）分由向运动和由向运动两种情况讨论，根据线段垂直平分线的性质、相似三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 解：如图，，则， 在中，由勾股定理可得， ， ，即，解得，， 当时，； 【小问2详解】 解：存在，如图，由题意可知， 又， 要使与全等，只有这一种情况， 此时，， ， ，即，解得，， 则， 在中，由勾股定理可得； 【小问3详解】 解：①当由向运动时，， ， ， ， ，即，解得； ②如图，当由向运动时，过作交于点， ，， 则，即， 解得，， 同理可求得， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得， 综上可知满足条件的的值为和． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，涉及到的知识点有：勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，线段垂直平分线的性质等．解题的关键是在综合运用所学知识点进行解题的基础上，利用好数形结合和分类讨论的思想进行解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $