第1章《特殊的平行四边形》 单元复习 2025-2026学年北师大版九年级上册数学

一、平行四边形 要点一、定义 【例题】如图，根据定义，添加两个条件： ， ，四边形ABCD变成平行四边形． 【举一反三】如图是等腰梯形，根据定义，添加一个条件： ，四边形ABCD变成平行四边形． ( B ) ( A ) ( D ) ( C ) 要点二、性质 【例题】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，下列式子不正确的是（ ）. A.AC⊥BD B.AB＝CD C. BO＝OD D.∠BAD＝∠BCD 【举一反三】1、平行四边形的一边长是10，那么它的两条对角线的长可以是（　　）. A.4和6　　B.6和8　　C.8和10　　D.10和12 2、如图，ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（ ）. A．1 B．1.5 C．2 D．3 要点三、判定 【例题】1、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列四组条件能否一定能判定平行四边形 ①AB∥CD，AD∥BC； ②AB＝CD，AD＝BC； ③AO＝CO，BO＝DO； ④AB∥CD，AD＝BC． 其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ). A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【举一反三】已知A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有(　　) A．3种 B．4种 C.5种 D．6种 要点四、平行四边形的周长与面积 【例题】1、已知ABCD，如图所示，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，ABCD的面积为____． 2、ABCD，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝，则ABCD周长为　　． 【举一反三】1、在▱ABCD，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为　 　． 习题巩固 1、一个四边形的三个内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(　　) A．88°，108°，88° B．88°，104°，108° C．88°，92°，92° D．108°，72°，108° 2、如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠B=110°,则∠A的度数为 (　　) A.110° B.80° C.70° D.90° 3、已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是 ． 4、如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD周长为13cm，则▱ABCD的周长为 cm. 5、如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠BAC=∠ACD=90°.求证:四边形ABCD是平行四边形. 二、菱形 要点一、定义 【例题】在ABCD中，若添加下列条件：其中能使ABCD成为菱形的有( ) A.AB＝CD B.AB＝BC C.AB//CD D.AD//BC 【举一反三】如图，AB＝AD ，且AD//BC，增加一个条件 ，四边形ABCD是菱形。 要点二、性质 【例题】菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．中心对称图形 D．对角线互相垂直 【举一反三】1、下列说法中，错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形是轴对称且是中心对称图形 C．菱形的对角线互相垂直 D. 菱形的四条边都相等且对角线也相等 2、菱形ABCD中，如下图，∠BAD=120°，AB=10 cm,则AC=______ cm,BD=_______ cm. 3、如图，菱形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________． 4、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF. 要点三、菱形的判定 【例题】1、如图,四边形ABCD对角线互相垂直,且OB=OD,只添加一个条件: ,使四边形是菱形. 2、如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，证明四边形DECF是菱形. 【举一反三】1、下列命题中，正确的是 （   ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是菱形 2、如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长. 要点四、菱形的周长与面积 【例题】1、菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　） A．5 B．20 C．24 D．32 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________． 【举一反三】1、如图，在菱形ABCD，E、F分别是AD、BD中点，若EF＝2，则菱形ABCD周长为　　　． 2、如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积=　　　　cm2.  　 习题巩固 1、下列说法错误的是(　　) A. 菱形的四条边都相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 菱形的对角线相等 D. 菱形是中心对称图形 2、菱形边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为(　 　) A. B. C. D. 3、菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF. 若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 4、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是　　　　.(写出一个即可)  5、如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC. (1)求证：四边形BCEF是菱形； (2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE. 6、【广东真题】如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是　　　． 三、矩形 要点一、定义 【例题】四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(　　) A. AB＝CD　　　　B. C. AB＝BC D. AC⊥BD 【举一反三】ABCD中，下列条件能说明ABCD是矩形的是 。 ①AB＝BC； ②AD⊥DC； ③AC⊥BD； ④AC平分∠BAD， 要点二、性质 【例题】1、下列命题中，假命题是(　　) A. 矩形的对角线相等 B. 矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C. 矩形的对角线互相平分 D. 矩形对角线交点到四条边的距离相等 2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=　　　　.  【举一反三】在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　) A. 2.2 cm B. 2.3 cm C. 2.4 cm D. 2.5 cm 要点三、判定 【例题】1、已知平行四边形ABCD，下列条件，不能判定这个平行四边形为矩形的是(　 　) A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF. (1)求证：△BDE≌△FAE； (2)求证：四边形ADCF为矩形． 【举一反三】对于四边形ABCD，给出下列4组条件，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有(　 　) ①∠A＝∠B＝∠C＝∠D； ②∠B＝∠C＝∠D； ③∠A＝∠B，∠C＝∠D； ④∠A＝∠B＝∠C＝90° A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 【例题】1、如图，中，，，点D是斜边AB的中点，那么CD的长是（ ） A．6 B．6.5 C．13 D．不能确定 2、如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝BD B．∠A＝30° C．∠ACB＝90° D．AC2+BC2＝AB2 【举一反三】1、如图，在ABCD中，∠ADC=90°，AC的长为16cm，则DO的长为 ． 要点五、面积 【例题】在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为(　　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【举一反三】如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 习题巩固 1、如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为(　　) A. 　 　　 B. 3　 　　 C. 　 　　 D. 2 2、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为( ) A．25 B．30 C．35 D．40 3、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=8，则OB=　　　　.  4、【广东真题】如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE． （1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：△DEF是等腰三角形． 5、【广东真题】如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　 　． 6、【广东真题】如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=______． 四、正方形 要点一、定义 【例题】已知,,添加一个条件，即可判定该平行四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【举一反三】已知矩形中，如果添加一个条件，即可判定该矩形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 要点二、性质 【例题】1、如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF． 求证：DE＝BF． 2、把边长分别为1和2的两个正方形按如图方式放置，则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D. 【举一反三】1、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(　　) A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 2、如图，在正方形ABCD和正方形GCEF中，顶点G在边CD上，连接DE交GF于点H， 若FH＝1，GH＝2，则DE的长为________． 要点三、判定 【例题】1、已知四边形，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 2、如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB， CF⊥OF于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由． 【举一反三】1、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________. 2、如图，在梯形中，，，，，垂足为点，且是的中点，联结，交边于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是正方形． 要点四、新四边形 【例题】如图，ABCD的对角线、交于点，顺次连接ABCD各边中点得到新四边形，添加一个条件：可以使这个新的四边形成为菱形，那么这个条件是（ ） A． B． C．AD//BC D． 【举一反三】如图，顺次连接菱形ABCD各边中点E，F，G，H.若，，则四边形EFGH面积是 ． 练习巩固 1、如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 2、四边形，，，补充一个条件 ，四边形是正方形． 3、如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE＝3，EC＝1，则AE的长为________． 4、如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积可表示为（ ） A． B． C． D． 5、如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别为各边中点，则四边形EFGH一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定 6、如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE＝CE． 7、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由． 8、【广东真题】如图，在正方形中，，点，分别在边，上，． 若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9、【广东真题】如图正方形ABCD面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH周长为（　　） A． B．2 C．+1 D．2+1 10、【广东真题】如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、平行四边形 要点一、定义 【例题】如图，根据定义，添加两个条件： ， ，四边形ABCD变成平行四边形． 【答案】AB//CD,AD//BC((或令∠B+∠C=180°,答案不唯一) 【举一反三】如图是等腰梯形，根据定义，添加一个条件： ，四边形ABCD变成平行四边形． ( B ) ( A ) ( D ) ( C ) 答案】AD//BC((或∠D+∠C=180°,答案不唯一) 要点二、性质 【例题】如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，下列式子不正确的是（ ）. A.AC⊥BD B.AB＝CD C. BO＝OD D.∠BAD＝∠BCD 【答案】A； 【举一反三】1、平行四边形的一边长是10，那么它的两条对角线的长可以是（　　）. A.4和6　　B.6和8　　C.8和10　　D.10和12 【答案】D 【解析】设两条对角线的长为.所以,,所以选D. 2、如图，ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（ ）. A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C； 【解析】因为∠DAE＝∠BAE，∠BAE＝∠DEA，所以AD＝DE＝BC＝3，EC＝DC－DE＝5－3＝2. 要点三、判定 【例题】1、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列四组条件能否一定能判定平行四边形 ①AB∥CD，AD∥BC； ②AB＝CD，AD＝BC； ③AO＝CO，BO＝DO； ④AB∥CD，AD＝BC． 其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ). A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【解析】①②③能判定平行四边形. 2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2， 　　∵AB∥CD，∴∠1=∠F， 　　∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC， 　　∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． 【举一反三】已知A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有(　　) A．3种 B．4种 C.5种 D．6种 答案：B 要点四、平行四边形的周长与面积 【例题】1、已知ABCD，如图所示，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，ABCD的面积为____． 【答案】40； 【解析】过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∠B＝30°，AB＝8，∴AH＝AB＝4()． ∴BC·AH＝10×4＝40()． 2、ABCD，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝，则ABCD周长为　　． 【解析】解：∵∠EAF＝45°， ∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝135°，∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝45°， 则AE＝BE，AF＝DF，设AE＝x，则AF＝，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得，AB= 同理可得AD=，则平行四边形ABCD周长是2（AB+AD）＝。 【举一反三】1、在▱ABCD，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为　 　． 【解析】解：在▱ABCD中，OA＝OC=AC，OB＝OD=BD，∵AC＝14，BD＝8， ∴OA＝7，OB＝4， ∵AB＝10， ∴△OAB的周长＝7+4+10＝21． 习题巩固 1、一个四边形的三个内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(　　) A．88°，108°，88° B．88°，104°，108° C．88°，92°，92° D．108°，72°，108° 答案：D 2、如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠B=110°,则∠A的度数为 (　　) A.110° B.80° C.70° D.90° 答案：C 3、已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是 ． 答案：平行四边形 4、如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD周长为13cm，则▱ABCD的周长为 cm. 答案：B 5、如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠BAC=∠ACD=90°.求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵∠BAC=∠ACD=90°,∴△ABC与△CDA均为直角三角形. 在Rt△ABC与Rt△CDA中,∵BC=AD,AC=CA,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),∴AB=CD. 又∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 　 A． AC=BD B． AC⊥BD C． AB=CD D． AB=BC 解答： 解：A、AC≠BD，故A选项错误；B、AC不垂直于BD，故B选项错误； C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故C正确；D、AB≠BC，故选：C． 二、菱形 要点一、定义 【例题】在ABCD中，若添加下列条件：其中能使ABCD成为菱形的有( ) A.AB＝CD B.AB＝BC C.AB//CD D.AD//BC 【答案】B 【举一反三】如图，AB＝AD ，且AD//BC，增加一个条件 ，四边形ABCD是菱形。 要点二、性质 【例题】菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．中心对称图形 D．对角线互相垂直 【答案】D 【举一反三】1、下列说法中，错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形是轴对称且是中心对称图形 C．菱形的对角线互相垂直 D. 菱形的四条边都相等且对角线也相等 【答案】D 2、菱形ABCD中，如下图，∠BAD=120°，AB=10 cm,则AC=______ cm,BD=_______ cm. 【答案】10 3、如图，菱形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________． 【解析】∵S菱形＝AC·BD＝2AB·DH，∴AC·BD＝2AB·DH. ∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝AC＝4，BO＝BD＝3， ∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，∴DH＝＝4.8. 4、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF. 【答案】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=CF． 要点三、菱形的判定 【例题】1、如图,四边形ABCD对角线互相垂直,且OB=OD,只添加一个条件: ,使四边形是菱形. 【答案】答案不唯一,如OA=OC. 2、如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，证明四边形DECF是菱形. 【答案与解析】 解：∵ DE∥AC，DF∥BC，∴ 四边形DECF是平行四边形． ∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF∥BC，∴ ∠2＝∠3，∠1＝∠3，∴ CF＝DF，四边形DECF是菱形． 【举一反三】1、下列命题中，正确的是 （   ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是菱形 【答案与解析】B 2、如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE. (1)求证:四边形BCDE为菱形; (2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长. 【答案】解:(1)证明:∵E为AD的中点，AD=2BC，∴BC=ED， ∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形， ∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=ED，∴四边形BCDE是菱形. (2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴BA=BC=1， ∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∠ADC=2∠ADB=60°. ∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中，AD=2，CD=1，∴AC=. 要点四、菱形的周长与面积 【例题】1、菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　） A．5 B．20 C．24 D．32 【答案】B 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________． 【解析】如解图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8，且菱形的对角线互相垂直平分， ∴OA＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得OB＝3，∴BD＝6， ∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×8×6＝24. 【答案】24　 【举一反三】1、如图，在菱形ABCD，E、F分别是AD、BD中点，若EF＝2，则菱形ABCD周长为　　　． 【答案】16　 2、如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，，则这个菱形的面积=　　　　cm2.  【答案】60　 习题巩固 1、下列说法错误的是(　　) A. 菱形的四条边都相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 菱形的对角线相等 D. 菱形是中心对称图形 【答案】C 2、菱形边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为(　 　) A. B. C. D. 【答案】C 3、菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF. 若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】A　 【解析】∵E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，即EF是△ACD的中位线，∴AC＝2EF＝2， 则菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×2×2＝2. 4、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是　　　　.(写出一个即可)  【答案】AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等 5、如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC. (1)求证：四边形BCEF是菱形； (2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE. 【答案】证明：(1)∵AD∥EF，∴∠FEB＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.∴BF＝EF. ∵BF＝BC，∴BC＝EF,∴四边形BCEF是平行四边形． ∵BF＝BC.∴四边形BCEF是菱形． (2)∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE. ∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形， ∴AF＝BE，FC＝ED. 又∵AC＝2BC＝BD. ∴△ACF≌△BDE. 6、【广东真题】如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是　　　． 【答案】6 解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6． 三、矩形 【学习目标】 【要点梳理】 要点一、定义 【例题】四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(　　) A. AB＝CD　　　　B. C. AB＝BC D. AC⊥BD 【答案】B 【举一反三】ABCD中，下列条件能说明ABCD是矩形的是 。 ①AB＝BC； ②AD⊥DC； ③AC⊥BD； ④AC平分∠BAD， 【答案】② 要点二、性质 【例题】1、下列命题中，假命题是(　　) A. 矩形的对角线相等 B. 矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C. 矩形的对角线互相平分 D. 矩形对角线交点到四条边的距离相等 【答案】D 2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=　　　　.  【解析】由题意可知，四边形ABCD为矩形，则AC=BD，OC=AC.已知∠ADB=30°， 故在Rt△ABD中，BD=2AB=8，∴AC=BD=8，OC=AC=4. 【举一反三】在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是(　　) A. 2.2 cm B. 2.3 cm C. 2.4 cm D. 2.5 cm 【答案】D 要点三、判定 【例题】1、已知平行四边形ABCD，下列条件，不能判定这个平行四边形为矩形的是(　 　) A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 【答案】B 2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF. (1)求证：△BDE≌△FAE； (2)求证：四边形ADCF为矩形． 【答案】证明：(1)∵点E是AD的中点，∴AE＝DE. ∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°， ∵AF∥BC，∴∠EAF＝90°，∴∠BDE＝∠FAE. 又∵∠BED＝∠FEA，∴△BDE≌△FAE(ASA)； (2)∵点D是BC的中点，∴BD＝DC. ∵△BDE≌△FAE，∴BD＝AF，∴AF＝DC， 又∵AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD⊥BC，∴四边形ADCF是矩形． 【举一反三】对于四边形ABCD，给出下列4组条件，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有(　 　) ①∠A＝∠B＝∠C＝∠D； ②∠B＝∠C＝∠D； ③∠A＝∠B，∠C＝∠D； ④∠A＝∠B＝∠C＝90° A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B ①④可以 ②60，60，60，80不可以 ；③可能是等腰梯形 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 【例题】1、如图，中，，，点D是斜边AB的中点，那么CD的长是（ ） A．6 B．6.5 C．13 D．不能确定 【答案】B 2、如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝BD B．∠A＝30° C．∠ACB＝90° D．AC2+BC2＝AB2 【答案】B 【举一反三】1、如图，在ABCD中，∠ADC=90°，AC的长为16cm，则DO的长为 ． 【答案】8cm 要点五、面积 【例题】在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为(　　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【举一反三】如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】如解图，连接CF，∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，∠CDE＝90°， ∴∠ACF＝∠A＝30°，∴∠CFB＝∠A＋∠ACF＝60°， ∵AF＝BF，∴CF＝BF，∴△BCF是等边三角形， ∴CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，∴CD＝CF·cos 30°＝，∠BCD＝60°＋30°＝90°， ∵BE⊥DF，∴∠E＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴S四边形BCDE＝BC·CD＝2×＝2. 习题巩固 1、如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为(　　) A. 　 　　 B. 3　 　　 C. 　 　　 D. 2 【答案】B　 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝3，故选B. 2、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为( ) A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【解析】连接BE、CF，如图.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴EF＝BC＝5，且△EFG∽△CBG，∴＝＝＝，∴S△BEG＝S△BEF＝××5×6＝10.同理S△CFG＝10. 又∵S△ABE＋S△CDF＝(AE＋DF)×AB＝×5×6＝15，∴S阴影＝15＋10＋10＝35. 3、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=8，则OB=　　　　.  【答案】4　 4、【广东真题】如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE． （1）求证：△ADE≌△CED； （2）求证：△DEF是等腰三角形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD． 由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD． 在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）． （2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形． 5、【广东真题】如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　 　． 【解答】解：如图3中，连接AH． 由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1， ∴AH===． 6、【广东真题】如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=______． 【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，∴∠EB′C=90°， ∵BC=3BE，∴EC=2BE=2B′E，∴∠ACB=30°， 在Rt△ABC中，AC=2AB，∴AB=AC=×2=，故答案为：． 四、正方形 要点一、定义 【例题】已知,,添加一个条件，即可判定该平行四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【举一反三】已知矩形中，如果添加一个条件，即可判定该矩形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 要点二、性质 【例题】1、如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90° ∵E为BC延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE． 在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE． 2、把边长分别为1和2的两个正方形按如图方式放置，则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】D　 【解析】如解图，∵四边形ABCD，BEFG都是正方形， ∴∠ABC＝∠GBE＝∠BCD＝90°，AB∥CD. ∴∠ABC＋∠GBE＝180°，∴点A，B，E在一条直线上． ∵AB∥CD，∴△DCH∽△EBH，∴＝＝，∴BH＝2CH. 又∵BH＋CH＝BC＝1，∴CH＝.∵∠BCD＝90°，∴S△DCH＝CD·CH＝×1×＝，故选D. 【举一反三】1、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(　　) A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】A　 2、如图，在正方形ABCD和正方形GCEF中，顶点G在边CD上，连接DE交GF于点H， 若FH＝1，GH＝2，则DE的长为________． 【答案】3　 【解析】在正方形ABCD和正方形GCEF中，∠DGH＝∠EFH＝90°， ∵∠DHG＝∠EHF，∴△DHG∽△EHF，∴＝. ∵FH＝1，GH＝2，∴EF＝GF＝3，∴＝，解得DG＝6， ∴DC＝DG＋CG＝9，∴DE＝＝＝3. 要点三、判定 【例题】1、已知四边形，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2、如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB， CF⊥OF于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知）， ∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°； ∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知）， ∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°， ∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，∴四边形CDOF是矩形； （2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下： ∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC； 又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形； 因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形． 【举一反三】1、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________. 答案：或AC=BD(答案不唯一，只要再证矩形即可) 2、如图，在梯形中，，，，，垂足为点，且是的中点，联结，交边于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是正方形． 【答案】解：（1）如图，连接AC和BE， ∵，是的中点，∴， 由等腰三角形“三线合一”的性质得， ∵∥，，∴， ∴∴∥， ∵，∴ 四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， ∵∥，∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形，∴∥，， ∵∥，，∴∥，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是菱形，∴， 由，即得， ∴，∴，∴四边形是正方形． 要点四、新四边形 【例题】如图，ABCD的对角线、交于点，顺次连接ABCD各边中点得到新四边形，添加一个条件：可以使这个新的四边形成为菱形，那么这个条件是（ ） A． B． C．AD//BC D． 答案：D 【举一反三】如图，顺次连接菱形ABCD各边中点E，F，G，H.若，，则四边形EFGH面积是 ． 答案： 练习巩固 1、如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°， 故能求出∠EBC． 解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°， ∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°， ∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°，故选B． 2、四边形，，，补充一个条件 ，四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 解：补充条件：； 证明：∵在四边形ABCD中，AB =CD ，，∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=BC，∴是菱形， ∵∴菱形ABCD是正方形，故答案为. 3、如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE＝3，EC＝1，则AE的长为________． 【答案】5 【解析】在RT△ADE中，利用勾股定理AE=即可解决问题． ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠D=90°， ∵DE=3，EC=1，∴AD=CD=4，在RT△ADE中，∵∠D=90°，AD=6．DE=4，∴AE= ． 4、如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 5、如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别为各边中点，则四边形EFGH一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定 【答案】B 6、如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE＝CE． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE， 在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE． 7、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由． 【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G． ∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG． 同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE． ∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴ 四边形CEDF是矩形． ∵ DF＝DE．∴ 四边形CEDF是正方形． 8、【广东真题】如图，在正方形中，，点，分别在边，上，． 若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠EFD=∠FEB=60°， 由折叠前后对应角相等可知：∠FEB=∠FEB’=60°，∴∠AEB’=180°-∠FEB-∠FEB’=60°，∴∠AB’E=30°， 设AE=x,则BE=B’E=2x，∴AB=AE+BE=3x=3，∴x=1，∴BE=2x=2 9、【广东真题】如图正方形ABCD面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH周长为（　　） A． B．2 C．+1 D．2+1 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°， ∵E、F分别是BC、CD中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形， ∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B． 10、【广东真题】如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设正方形的边长为a， 当P在AB边上运动时，y=ax；当P在BC边上运动时，y=a（2a﹣x）=﹣ax+a2； 当P在CD边上运动时，y=a（x﹣2a）=ax﹣a2； 当P在AD边上运动时，y=a（4a﹣x）=﹣ax﹣2a2，大致图象为C． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $