山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

山西大学附中 2025～2026学年第一学期高二（10月）考试（总第二次） 数 学 试 题(参考答案) 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：冀文峰 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B B A C BCD AC 题号 11 答案 CD 1．C 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 2．A 【详解】由题意， , 故选：A 3．C 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 4．C 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 5．B 【详解】已知，，，根据向量坐标运算可得，. 根据向量数量积坐标运算：可得. 根据向量模长公式：可得，. 根据向量夹角公式可得. 因为. 根据平行四边形面积公式，可得. 则邻边的平行四边形的面积为. 故选：B. 6．B 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：B 7．A 【详解】过的母线为，连接，则，又因为，所以，   以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 故选：A. 8．C 【详解】设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由题：， 又弧长为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则 即，令，则，取， 则E到面距离为， 又， 所以三棱锥的体积为， 故选：C. 9．BCD 【详解】对A，当时，可得，此时，向量夹角为，不符合题意，但，故A错误； 对B，向量在向量上的投影向量 为，所以投影向量的模为，故B正确； 对C，，可得，若四点共面，则，解得，故C正确； 对D，由，当时，直线方程为，倾斜角，当时，可得斜率，由或，可得或，由，可得或，综上，可知，故D正确. 故选：BCD 10．AC 【详解】由直线：，可得， 当，即时，方程恒成立， 即直线过定点，故A正确； 当直线与平行（或重合 ）或直线过的中点时，点，到直线的距离相等， 由，可知时，直线为，与平行，符合题意，故B错误； 由直线：可知，直线倾斜角不可能 为0，所以一定与x轴相交，故C正确； 直线不过第二象限，当时，直线方程为，满足题意，故D错误. 故选：AC 11．CD 【分析】由与的位置关系，数形结合法判断A;结合的几何意义判断、的范围判断BD，应用点线距离公式有判断C. 【详解】将代入有， 而与在的两侧，则，A错误； 由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分， 所以，故无最值，B错误； 由上图知：在直线左上方，则，C正确； 由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分， 而表示与连线的斜率，由图知：，D正确. 故选：CD 12．（答案不唯一） 【详解】∵，，，∴， ∴， ∴可以构成空间的单位正交基底， 设，则， ∵从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底， ∴与中的任意两个向量均不共面， 根据平面向量基本定理可得均不为零， ∴向量的坐标可以为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 13．【答案】 【详解】由题意，以为坐标原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，可得，得， 所以，， 由，可得，即，解得或， 所以实数的值为. 故答案为：. 14．【答案】4 【详解】由题意可得：，则为菱形，∴ 取的中点分别为，连接，则，即分别为的中垂线 若，则点P位于的右侧 若，则点P位于的下方 若，则点P位于的左侧 若，则点P位于的上方 综上所述：集合S所表示的平面区域为矩形 ∵，则 ∴集合S所表示的平面区域的面积为 故答案为：4. 15.(1)证明见解析； (2)； 【详解】 （1）由，平面，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， ..................1 设平面的法向量为，则，令，得， ................3 显然，即，而直线平面， .................5 所以平面. .................7 （2）由（1）知， .................9 所以点到直线有距离 ..................13 16．(1) (2) 【详解】（1）取的中点，的中点，连接， 由题意可知四棱台为正四棱台， 则平面，线面垂直的性质知，，， 则，且，则四边形为矩形． 所以，故为与侧面所成的一个角． 因为与侧面所成角为，所以， .................4 如图所示，以点为坐标原点，建立的间直角坐标系，    则，，，，， 所以，， .................5 设平面的法向量为，则， 令，则平面的一个法向量为，而， .................7 所以点到平面的距离； .................9 （2）因为，设面的法向量为， 则， 令，则面的一个法向量为， .................12 所以， .................14 所以平面与平面夹角的余弦值为． .................15 17.(1)， (2) 【详解】（1））设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得． .................2 因为点在轴上，且，所以，解得． .................4 所以，所以． .................5 直线AD的方程为，即． .................6 ． .................7 （2）设角的平分线与直线的交点为，则易知，． 直线BC的方程为，即． 直线BA的方程为，即． .................9 由到两直线，的距离相等，可得，即． .................12 即，解得或（舍）． .................13 所以角的平分线与直线的交点坐标为． .................15 18.【答案】(1)证明见解析 (2)直线在平面内，理由见解析 (3) 【详解】（1）因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. ................. 4 （2）在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， ................. 6 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. .................8 所以直线平面. ...............10 （3）由（2）可知，. 设， 则， .................11 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. .................12 故 .................13 ， .................14 令，则 ， 而，， 故. .................17 19.【答案】（1），余弦距离为；（2）①；②200 【详解】（1）解：； 故余弦距离为． .................3 （2）①因为； 所以； ................ 5 因为，所以； .................6 ； 因为，则，； ； ， ................8 即； .................9 所以： ...............11 ②，则， 所以 动点围成的封闭图形是正方形，如图所示： ................15 其边长为，故围成的面积为200． .................17 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年第一学期高二（10月）考试（总第二次） 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：冀文峰 一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设向量不共面，已知，若三点共线，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2． 如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG 的中点，则 （     ） A． B． C． D． 3． 若直线与直线平行，则（     ） A．0 B．或0 C． D．1 4．已知，，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 6．已知实数满足，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．9 D．16 7．已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，，则与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 二．选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的有（     ） A．已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 B．向量在向量上的投影向量的模为 C．为空间不共面的四点，若，若四点共面，则 D．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是 10．设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（     ） A．直线过定点 B．若点,到直线的距离相等，则 C．直线与轴一定相交 D．若直线不过第二象限，则 11．已知点与点在直线的两侧，给出以下结论，正确的是（    ） A． B．当时，有最小值，无最大值 C． D．当且时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为 ．(写一个即可) 13．在长方体中，，动点满足，当与垂直时，的值为 . 14．已知平面上四个点，，，．设是四边形及其内部的点构成的集合，点是四边形对角线的交点，若集合，则集合S所表示的平面区域的面积为 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，且，，且，且，平面，. (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求点到线段的距离． 16．（15分）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）在中，，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求直线AD的方程和AD的长； (2)求角B的平分线与直线的交点坐标． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若，判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由； (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围． 19．（17分）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为． （1）若，求AB之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，若． ①求； ②若动点满足，求围成封闭图形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $