山西省山西大学附属中学校2025-2026学年高一上学期模块诊断（一）数学试题

山西大学附中高一年级数学模块诊断（一）答案 命题人：申敏敏 考试时长：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，则.故选：A 2．集合，，则的子集共有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【详解】因为，，所以， 集合的子集有：，有8个.故选：D. 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为.故选：C 4．若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误.故选：C. 5．已知是实数，那么“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由得，解得，则“”是“”成立的充要条件.故选：C. 6．下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数； B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数； C项：，其中，即，其中0，即， 所以和的定义域不同，故和不是同一个函数； D项：和的定义域均为，但， 而对应关系不同，所以和不是同一个函数．故选：A 7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由可得，由题中定义可知的可能取值有、， 当时，；当时，. 综上所述，使不等式成立的的范围是.故选：C. 8．若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，综上所述，的最小值为.故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A． B． C． D． 【详解】对于A：由图象可知定义域不是，故A错误； 对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，故B正确； 对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，故C错误； 对于D： 由函数定义可知符合函数定义，故D正确.故选：BD. 10．下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对C：命题“，”的否定为：“，”，显然， 则命题“，”为真命题，故C正确； 对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”， 故“且”是“”的充分条件，故D错误；故选：BC. 11．下列说法正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．若，则的最小值为 C．若，，则 D．已知正数，满足，则的最小值为2 【详解】对于A：不等式，即，解得， 即不等式的解集是，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故B正确； 对于C：令，所以，解得， 所以，因为，， 所以，， 所以，即，故C错误； 对于D：因为正数，满足，所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确.故选：ABD 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．已知函数，，则此函数的值域为 ． 【详解】由，且，则，所以函数的值域为. 13．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所有，所以， 即实数的取值范围为． 14．设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 【详解】（1）由方程至多一个实数根需满足，其中判别式： ，解得，即的取值范围为; （2）对于，使有解， 即在上能成立，令，则，，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即实数的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 【详解】（1）解：由集合， 若，可得且，则，解得， ……3分 所以，可得故． ……7分 （2）解：由集合， 若，则，解得或， ……10分 当时，，满足； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，实数的值为． ……13分 16．已知命题，命题 (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题一真一假，求实数的取值范围． 【详解】（1）若为真命题，则对任意，恒成立，所以； ……3分 若为真命题，则，解得或； ……6分 若都是真命题，则实数应同时满足上述条件，即． 综上，当都为真命题时，实数的取值范围为． ……8分 （2）当为真命题，为假命题时，，解得； ……10分 当为假命题，为真命题时，，解得． ……12分 综上，当只有一个为真命题时，实数的取值范围为或． ……13分 17．已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【详解】（1）因为，， 所以， ……2分 因为，所以， ……4分 （2）当时，，又，所以， ……6分 当时，，又， 所以，故， ……8分 综上，的值为或2 ……9分 （3）当时，，所以， ……11分 当时，，所以， ……14分 综上，原不等式的解集为. ……15分 18．学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 子成和睿恩两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 子成的解法：由于，所以， 而．那么，则最小值为． 睿恩的解法：由于，所以，而，则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，请你解决：已知，且，求的最小值； (3)基于以上研究，请你解决：已知，求的最小值． 【详解】（1）子成的解法正确，睿恩的解法错误； 在睿恩的解法中，，等号成立时； ，等号成立时，那么取得最小值时，， 这与已知条件是相矛盾的． ……3分 （2），且， ，当且仅当时取等号． ……9分 （3）因为，即 ……15分 当且仅当，即时，等号成立，所以． ……17分 19（备选）．已知函数（）． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为，若，求的取值范围． 【详解】（1）①时，，不合题意，舍去； ……1分      ②时， .综上：. ……4分 （2）即，所以， ①时，解集为：； ……5分 ②时，，因为，所以解集为：； ……7分 ③时，，因为，所以解集为：. ……9分 （3）因为不等式的解集为，且， 即对任意的，不等式恒成立， ……11分 即恒成立，因为， ……12分 所以， 设， 所以， ……15分 当且仅当时取“=”. ……16分 所以的最大值为：，所以. ……17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高一年级数学模块诊断（一） 命题人：申敏敏 考试时长：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，则（   ） A． B． C． D． 2．集合，，则的子集共有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 5．已知是实数，那么“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 8．若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A． B． C． D． 10．下列叙述正确的是（     ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．命题“，”的否定是真命题 D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 11．下列说法正确的是（   ） A．不等式的解集是 B．若，则的最小值为 C．若，，则 D．已知正数，满足，则的最小值为2 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．已知函数，，则此函数的值域为 ． 13．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 14．关于的不等式组的整数解的集合为. (1)若吋，则集合为 ；(2)若集合，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 16．已知命题，命题 (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题一真一假，求实数的取值范围． 17．已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 18．学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 子成和睿恩两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 子成的解法：由于，所以， 而．那么，则最小值为． 睿恩的解法：由于，所以，而，则最小值为． (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） (2)为巩固学习效果，请你解决：已知，且，求的最小值； (3)基于以上研究，请你解决：已知，求的最小值． 19．已知函数（）． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为，若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $