3.2函数与方程、不等式之间的关系（第二课时）教案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该教案聚焦函数零点存在定理、二分法及二次函数零点分布，通过复习一元二次方程求根公式导入，引导学生思考高次函数零点判断，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于探究式与启发式教学结合，让学生作图发现零点存在定理培养直观想象，二分法步骤教学结合实例提升数学运算，多媒体展示函数图像辅助理解。帮助学生构建知识体系，为教师提供清晰教学流程与反思改进建议。

课题 3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第二课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）必修第一册 章节 第三章第二节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.理解函数零点存在定理，会判断零点所在区间.（重点） 2.了解二分法求函数的近似零点.（重点） 3.能解决二次函数零点分布问题.（难点） 核心素养 1.通过对函数零点存在的条件的学习，培养用函数构建数学模型的数学建模核心素养. 2.借助二分法的学习，提升数学运和直观想象算的数学核心素养. 教学方法和手段 。 教学方法 · 探究式教学法：引导学生通过探究发现知识，培养学生的自主学习能力。 · 启发式教学法：通过提问、讨论等方式，激发学生的思维活动，提高课堂参与度。 教学手段： · 使用多媒体辅助教学，展示函数图像。 · 结合实际例子和生活情境，使抽象的数学知识具体化、生动化。 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习导入 教师提问：我们知道：一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式，请同学们动手写出x的一元二次方程的求根公式。 师生活动： （1） 学生自己动手写出一元二次方程求根公式； （2） 教师请同学上黑板展示； 预设答案： 过渡：对于次数大于或等于3的多项式函数(例如，其中a≠0)，以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事。因此，这节课我们就来探讨什么情况下一个函数一定存在零点. 通过回忆x的一元一次方程的求根公式引入新课，激发学生的兴趣，明确学习目标。 新课讲解 知识点1、零点存在定理 知识点2、二分法 【问题】如图，已知A，B是函数y＝f(x)图象上的两点，且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线，作出3种y＝f(x)的可能的图象. 判断是否一定存在零点，总结出一般规律. 师生活动： （1） 学生观察图象，作出3条连接A，B两点的y＝f(x)可能的图象，并且发现函数f(x)在区间(a，b)中一定存在零点； （2） 教师对学生的答案进行点评； （3） 教师总结： 函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 【问题】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有定义，且f(a)f(b)＜0，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点吗？ 师生活动： （1） 学生回答：不一定，只有函数的图像都是连续不断的才有零点； （2） 教师提醒学生注意： 1 函数零点存在定理不能判断在区间(a，b)上有多少个零点，只能判断至少存在一个零点.如果知道函数在区间[a，b]上是单调函数，则可以肯定在区间(a，b)上有且只有一个零点； 充分条件 ② 函数零点存在定理 函数存在零点；不必要条件 ③ 反比例函数的图象不是连续不断的； 例1、求证：函数f（x）＝x3－2x＋2至少有一个零点． 【师生活动】 学生分析题目，利用函数零点存在定理判断，教师给出证明过程。 【解析】 证明：因为f(0)＝2＞0，f(-2)＝-8+4+2=-2＜0， 所以f（－2）f（0）＜0，因此∃x0∈（－2，0），f（x0）＝0，即结论成立． 过渡：例1中的函数在区间(-2，0)中存在零点，但是不难看出，求出x0的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢? 【问题】如果f(x)=x3-2x+2在区间(-2,0)中任取一个数作为x0的近似值，那么误差小于多少？如果取区间(-2,0)的中点作为x0的近似值，那么误差小于多少？怎样オ能不断缩小误差？ 师生活动： （1） 学生回答：如果区间(-2,0)中任取一个数作为x0的近似值，那么误差小于2；如果取区间(-2,0)的中点作为x0的近似值，那么误差小于1. （2） 教师总结：一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，这种求函数零点近似值的方法称为二分法. 按这种方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值. 教师讲解： 二分法求函数近似零点的步骤： 在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下： 第一步、检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步. 第二步、计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步. 第三步、若f(a)f<0，将的值赋给b(用→b表示，下同)，回到第一步；否则必有ff(b)<0，将的值赋给a，回到第一步. 【注意】 (1) 二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点时穿过x轴，这样的零点为变号零点)的近似值. (2) 二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现. (3) 由|b－a|≤2ε可知令x1＝，x1与函数的零点x0之间的误差，|x1－x0|一定小于ε，原因是|x1－x0|<|x1－b|＝|－b|＝||≤ε.也可以是|x1－x0|<|x1－a|＝|－a|＝||≤ε. 这些步骤可用如图所示的框图表示： 例2、已知函数f（x）＝x2＋ax＋1有两个零点，在区间（－1，1）上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 【师生活动】 学生自主思考，完成题目，教师出示解题过程。 【解析】 解：因为函数f（x）的图像是开口朝上的抛物线，因此满足条件的函数图像示意图如下图（1）（2）所示． 不管哪种情况，都可以归结为 f(-1)f(1)＜0且|-|≥1 ， 因此(2-a)(a+2)＜0且|a|≥2，解得a＜－2或a＞2． 教师拓展信息技术求函数零点： 用GeoGebra中的root命令，可以方便地求得多项式函数的图像与x轴的交点坐标，从而得到对应函数的零点信息． 例如，在“输入”对话框中输入“root［x^2－x－6］”后按回车键，将得到函数f（x）＝x2－x－6与x轴的两个交点A，B的坐标； 输入“root［x^3－2x＋2］”后按回车键，将得到函数f（x）＝x3－2x＋2与x轴的交点C的坐标； 输入“root［x^3－2x＋2，1，2］”后按回车键，将得到函数f（x）＝x3－2x＋2，x∈［1，2］与x轴的交点的信息． 显示结果如图所示，其中的“未定义”表示没有交点． 结合实例讲解函数零点的定义、性质和判定方法。 详细介绍二分法的原理、步骤和应用实例，引导学生理解其思想和意义. 课堂总结 师生共同回顾本课知识点 通过小结，让学生回顾本节课的主要内容和重点难点，形成完整的知识体系。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成 设计一系列与课堂内容紧密相关的练习题，包括判断题、选择题和解答题等，让学生在实践中巩固所学知识。 板书设计 一、标题 二、函数零点存在定理 三、二分法求方程近似解 四、例题讲解 五、练习 六、总结 七、课后思考 这样的板书设计既突出了课程的主要内容和重点，又通过示例和步骤展示了知识点之间的联系和应用，有助于学生对函数、方程和不等式之间关系的深入理解。 教学设计反思 经过本节课的教学，我对《函数与方程、不等式之间的关系》这一主题有了更深入的认识。以下是我对本次教学的反思： 一、教学目标达成情况 我成功引导学生理解了函数零点的概念，并能够通过函数图像判断方程解的存在性。 学生基本掌握了二分法求方程近似解的原理和步骤，并能够进行简单的应用。 学生对于不等式与函数关系有了清晰的认识，并能将不等式转化为函数问题来解决。 然而，在目标达成过程中，我也发现了一些问题。部分学生对于二分法的理解还不够深入，导致在应用时出现了困难。这提示我在后续教学中需要更加注重学生的实际操作和练习。 二、教学方法与手段 我采用了多媒体辅助教学，通过展示函数图像和动态过程，帮助学生更好地理解知识点。这种方法效果显著，能够激发学生的学习兴趣。 在讲解过程中，我注重引导学生思考，鼓励他们提出问题，并通过讨论和合作解决问题。这种探究式的教学方法有助于学生主动构建知识体系。 然而，我也意识到在教学过程中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同层次的学生采用不同的教学方法和手段，以满足他们的学习需求。 三、学生反馈与课堂互动 大多数学生对于本节课的内容表示感兴趣，并能够积极参与到课堂讨论和练习中。 部分学生提出了有深度的问题，表明他们在思考和理解知识点时有一定的深度和广度。 然而，我也注意到在课堂互动中，有些学生表现得较为被动，缺乏主动思考和提问的意识。这提示我需要更加关注这些学生的学习状态，激发他们的学习热情。 四、改进措施 针对二分法的教学难点，我将设计更多的练习题和实例，帮助学生加深对二分法原理和应用的理解。 在教学过程中，我将更加注重学生的个体差异，采用分层教学的方式，以满足不同学生的学习需求。 我将鼓励学生多提问、多思考，通过小组讨论和合作解决问题的方式，培养他们的自主学习和解决问题的能力。 五、总结 本节课的教学让我深刻认识到函数、方程和不等式之间的紧密联系以及它们在数学和实际生活中的应用价值。通过反思和改进，我将更加努力地提高自己的教学水平，为学生提供更加优质的教学服务。 学科网（北京）股份有限公司 $