精品解析：山东省德州市第五中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

德城区第五中学2025-2026学年九上第一次月考 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数 图象顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程的两个根为、，则的值为( ) A. B. 3 C. 2 D. 4. 若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 关于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 可以由向左平移个单位得到 C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线最低点是 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A. 1372 B. 343 C. 1512 D. 2744 9. 某村 2010年的人均收入为元，2012年的人均收入为元，则人均收入的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题(本大题5小题，每小题4分，共20分) 11. 一元二次方程的解是_____________； 12. 写一个二次函数，要求∶开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点．符合条件的二次函数解析式为∶_____________； 13. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为_____． 14. 已知 ， 是一元二次方程的两个实数根，则 _____________； 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 三、解答题(本大题满分90分) 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根的平方和为，求的值． 18. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽 ，水面下降 时，水面的宽度增加多少？ 19. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是． （1）求飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？ （2）当飞机滑行距离为时，滑行的时间是多少？ 20. 某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． （1）求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； （2）若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 21. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①； ②； ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 23. 如图，抛物线 (a为常数且)与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线交x轴于、两点点在点的左边，在对称轴上存在点，使的周长最小，求点的坐标； （3）当时，有最大值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德城区第五中学2025-2026学年九上第一次月考 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义进行解答．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C. 不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； D. 是一元二次方程，故符合题意；        故选：D． 2. 函数 图象顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标．本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 函数图象的顶点坐标是 故选：A． 3. 已知一元二次方程的两个根为、，则的值为( ) A. B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出两根之和即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 4. 若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点问题，解题的关键是根据抛物线定义结合一元二次方程判别式求解． 先根据抛物线定义确定，再由抛物线与轴有交点，即对应的一元二次方程有实数根，利用判别式求解的取值范围，最后取两者交集． 【详解】解：因为是抛物线，根据抛物线定义，二次项系数不能为0， 所以． 抛物线与轴有交点 所以，也就是． 解得． 结合前面和，所以的取值范围是且． 故选：B． 5. 关于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 可以由向左平移个单位得到 C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线最低点是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高(最低)点坐标，增减性等．已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断． 【详解】解：中，， ∴开口向下，顶点坐标为，是最高点，故D错误，对称轴是直线，故A错误 可以由向右平移个单位得到，故B错误 当时，y随x的增大而增大，故C正确 ∴说法正确的是C， 故选：C． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键．根据二次函数图象确定a、b的符号，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：由二次函数图象，得出，对称轴在轴左侧，故，则， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C错误； D、一次函数图象，得，，故D正确． 故选：D． 7. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系． 【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴正好是抛物线的顶点坐标， ∴是二次函数的最大值， ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大． 8. 有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A. 1372 B. 343 C. 1512 D. 2744 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了运用一元二次方程解决实际问题．设每轮传染中平均每人传染x人，根据初始4人经过两轮传染后总人数为196，建立方程求解x，再计算三轮后的总人数．正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的倍，根据题意得， ， ， ， ，（舍去）， ∴每轮传染中平均每人传染6人， 则三轮传染后得流感的人数为（人）． 故选：A． 9. 某村 2010年的人均收入为元，2012年的人均收入为元，则人均收入的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用中的增长率问题，须注意实际情况中数据的取舍，正确的列式计算是解题的关键．利用一元二次方程的应用中的增长率问题设元列方程求解即可． 【详解】解：设人均收入的年平均增长率为， 则， 解得或（舍去） 故增长率为， 故选：C． 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 二、填空题(本大题5小题，每小题4分，共20分) 11. 一元二次方程的解是_____________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解求一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求一元二次方程即可． 【详解】解：， 提取公因式得，， ∴或， 解得，， 故答案为： ． 12. 写一个二次函数，要求∶开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点．符合条件的二次函数解析式为∶_____________； 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意写出二次项系数为负数，一次项系数为0，常数项大于0的二次函数解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，符合条件的二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得到新抛物线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，将抛物线解析式化为顶点式，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】解：抛物线， 将其向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到新抛物线为， 即． 故答案为：． 14. 已知 ， 是一元二次方程的两个实数根，则 _____________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数关系的公式．利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系将原式进行转换求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∵是的根， ∴，即， 原式． 故答案是：． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三、解答题(本大题满分90分) 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， 解得，； 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根的平方和为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，方程的解，解一元二次方程． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，进行求解即可； （2）利用一元二次方程的根与系数的关系，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 根据题意，得， 解得． 【小问2详解】 解：设的两个根分别为， ∴， ∵该方程的两个实数根的平方和为，即， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 18. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽 ，水面下降 时，水面的宽度增加多少？ 【答案】米 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点， 为原点， 抛物线以轴为对称轴，且经过，两点， 当拱顶离水面时，水面宽 ， ∴抛物线顶点坐标为，， 设顶点式，把点坐标代入得， 抛物线解析式为， 当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出： ， 解得：， 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度增加了米． 19. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是． （1）求飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？ （2）当飞机滑行距离为时，滑行的时间是多少？ 【答案】（1）飞机着陆后滑行才能停下来，滑行的最大距离是 （2）当飞机滑行距离为时，滑行的时间是 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）令，进而计算即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， 当时，飞机着陆后滑行的距离最大，滑行的最大距离是． 答：飞机着陆后滑行才能停下来，滑行的最大距离是． 【小问2详解】 解：由题意，令， 解得：（不合题意，舍去）或． 答：当飞机滑行距离为时，滑行的时间是． 20. 某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． （1）求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； （2）若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 【答案】（1）； （2）元/件； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式． （1）根据利润单件利润销售量，即可解决问题； （2）当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价． 【小问1详解】 解：根据利润单件利润销售量， 可得：； 【小问2详解】 解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 21. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 【答案】（1）12m或16m；（2）195m2. 【解析】 【分析】（1）根据AB=x可得BC=28－x，然后根据面积列出一元二次方程求出x的值； （2）根据题意列出S和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值. 【详解】解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m， ∴x（28﹣x）=192， 解得：x1=12，x2=16， 答：x的值为12m或16m （2）∵AB=xm， ∴BC=28﹣x， ∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196， ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m， ∵28-x≥15，x≥6 ∴6≤x≤13， ∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195， 答：花园面积S的最大值为195平方米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键． 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，(x，y是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①； ②； ③． 【探究问题】 (2)若可配方成，为正整数），则的值为 ； (3)已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3）解:，理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以,不能表示成 (a，b是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）略 （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 23. 如图，抛物线 (a为常数且)与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）该抛物线交x轴于、两点点在点的左边，在对称轴上存在点，使的周长最小，求点的坐标； （3）当时，有最大值，求的值． 【答案】（1）该抛物线的解析式为； （2） （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根的判别式，二次函数的最大值． （1）把点的坐标代入，可得，从而可得抛物线的解析式； （2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标． （3）根据与对称轴的关系，进行分类讨论，根据取最大值的情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， 解得： ∴， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴． ∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度． 如图，连接交抛物线的对称轴于点P，连接， 又∵为定值， ∴此时，的周长最小． 设直线的解析式为，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点P的坐标为， 即当的周长最小时，点P的坐标为． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 根据题意可得或， 解得或， ∴的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $