精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二上学期第一次段考数学试题

丰城九中2025-2026学年高二上学期第一次段考 数学试卷 2025.10.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 4. 直线的一个方向向量为，且直线经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 一条光线沿直线入射到直线后反射， 则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，的平分线交边于点，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 最小时，弦AB所在直线的斜率为 C. 最小时，弦AB长为 D. 四边形面积的最小值为 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的图象的一个对称中心 C. 在区间上的值域为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 11. 已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线l被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是______. 13. 过点作圆的切线，则切线方程为______. 14. 在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点为，，，求： （1）边AC上的中线所在直线的方程； （2）边AC上的高所在直线的方程； 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域； 17. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 19. 已知圆过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； （3）若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年高二上学期第一次段考 数学试卷 2025.10.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算复数，再求复数的模即可． 【详解】， 故． 故选：C． 2. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：应用向量模长、数量积的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值；法二：运用向量线性关系的坐标运算求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】解法一：因为，所以， 因为，所以，即， 所以，解得； 解法二：因为，所以， 因为，所以， 即，解得． 故选：A 3. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 4. 直线的一个方向向量为，且直线经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解． 【详解】直线的一个方向向量为 则直线的斜率为， 直线过点， 则，即． 故选：A． 5. 一条光线沿直线入射到直线后反射， 则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反射光线过已知直线的交点以及入射光线上的点与反射光线上的点关于对称即可求解. 【详解】联立解得，所以反射光线过点， 取直线上一点关于对称的点为， 则有解得， 所以反射光线过点和，则反射光线的斜率， 根据点斜式得，即， 故选:B. 6. 已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程. 【详解】设，因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以，即． 所以点的轨迹方程为，即． 故选：B 7. 在中，，，的平分线交边于点，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形的总面积等于由角平分线分成的两个三角形的面积之和，由面积公式建立等量关系，再结合余弦定理，可求的长. 【详解】设，由， ， 可得，， 由余弦定理知，，即， 解得，代入中可得. 故选：B 8. 已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 最小时，弦AB所在直线的斜率为 C. 最小时，弦AB长为 D. 四边形面积的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B. 【详解】圆心为 ，半径为.点 满足 ，即 . 设切线方程为 和 ，由圆的切线性质可知， 的最小值，出现在 最小时. 此时圆心到直线距离为：， 代入得 ，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误. 故选: C. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的图象的一个对称中心 C. 在区间上的值域为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析函数的图象和性质可得正确答案. 【详解】选项A：函数，最小正周期为，故选项A正确； 选项B：令，解得， 所以的图象的对称中心为.令，得， 所以是的图象的一个对称中心，故选项B正确； 选项C：当时，， 所以，即的值域为，故选项C错误； 选项D：设将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为， 则. 因为的定义域为，所以的定义域为，且， 所以是偶函数，故选项D正确． 故选：ABD． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 11. 已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线l被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，从而有，，数形结合，即可求解；对于C和D，利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又， 则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误， 对于C，由，得到，解得或， 所以当或时，圆心到直线的距离等于半径， 即存在实数，使得直线与圆相切，所以C正确， 对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到， 解得，所以D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围. 【详解】直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与连接两点的线段相交， 所以由图可知，. 故答案为：. 13. 过点作圆的切线，则切线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分斜率存在与不存在进行讨论，当斜率不存在时，符合要求，当直线斜率存在时，设出斜率，借助点到直线的距离公式与切线性质计算即可得. 【详解】由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故切线方程为. 故答案为：或. 14. 在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理，勾股定理，即可求解． 【详解】根据题意及正弦定理可得上下底面三角形的外接圆的半径为， 又，且其外接球的球心为上下底面三角形外心连线的中点，设外接球的半径为， 则根据勾股定理可得，所以， 所以该三棱柱的外接球的体积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点为，，，求： （1）边AC上的中线所在直线的方程； （2）边AC上的高所在直线的方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出中点，和 ，运用点斜式得方程；（2）求出，运用点斜式得方程. 【小问1详解】 设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. 【小问2详解】 由题意得，所以边上高的斜率为， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合正弦函数的单调性，即可求得答案； （2）根据，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意得， 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 则，则， 所以函数的值域是. 17. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可； （2）先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积， 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. 【小问3详解】 因为平面平面，且其交线为， 又平面，， 所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角， 在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为． 19. 已知圆过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆交于点B，D，求的面积的取值范围； （3）若直线过点，且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为与：的交点为，求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明:当斜率不存在时，于圆C相切，不合题意； 如图，直线的斜率必定存在，且不为0， 设其方程为，即， 由，解得，即． 因为为PQ的中点，所以直线CM与垂直，则直线CM的方程为， 由，解得，即． 因此， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆的方程； （2）按直线的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可. （3）设出直线的方程，求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算即得. 【小问1详解】 设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即， 解得，即，圆的半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则， 因为直线与圆交于两点，所以． 所以， 由于，则，因此， 所以的面积的取值范围为． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $