江西省吉安市第八中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

吉安八中2025—2026学年第一学期第一次阶段测评 八年级数学试卷 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 2．下列各式：，，，中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝2∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．，， 4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 5．实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（　　） A．2b B．2a C．2b﹣2a D．0 6．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中高偏度值”为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．计算：　 　 ． 8．若，则x+y的平方根为 　 　 ． 9．下面的图（2）是图（1）的侧面展开图．一只小昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点，则B点在图（2）中的位置是 　 　 ．（请填序号） 10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小：　 　 （填“＞”或“＜”）． 11．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC＝5，AD＝4，BC＝10，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为　 　 秒时，△ACP为等腰三角形． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：． （2）如图，求出下列直角三角形中未知边的长度． 14．解方程： （1）4x2﹣25＝0； （2）（x﹣2）3+64＝0． 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AB＝15，AD＝12，CD＝16． 求证：△ABC是直角三角形． 16．已知某正数的两个不同的平方根为3a﹣6和a+2，3﹣b的立方根为﹣2． （1）求a、b的值； （2）求3a+2b的平方根． 17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图中画一条线段MN，使MN； （2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 19．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是AB边上一点，将△BCE沿直线CE折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上，求AE的长． 20．若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“※”如下：x※y，如：3※2，请求a※[a※（﹣2）]的值． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．已知 （1）求x2+xy+y2； （2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 22．先阅读下列解答过程： 形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12， 由于4+3＝7，4×3＝12，即， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：　 　 ； （2）化简：（请写出计算过程）； （3）化简：． 六．解答题（本大题共1小题，共12分） 23．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点． （1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE； （2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD． 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安八中2025—2026学年第一学期第一次阶段测评 八年级数学试卷参考答案 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B B A B 一．选择题（共6小题） 1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：A、∵42+52≠62， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、1.5，2，2.5不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵62+82＝102， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、1，，2这三个数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 2．下列各式：，，，中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：∵，，2，， ∴最简二次根式只有一个， 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 3．若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝2∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．，， 【分析】根据直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理的相关知识逐项进行判断即可． 【解答】解：∵∠A＝2∠B＝2∠C， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠B+∠B+∠B＝180°， ∴∠B＝45°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴A可以判定△ABC是直角三角形，不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴， ∴B不能判定△ABC是直角三角形，符合题意； ∵a＝5，b＝12，c＝13， ∴a2＝25，b2＝144，c2＝169， ∴a2+b2＝c2， ∴C可以判定△ABC是直角三角，不符合题意； ∵，，， ∴a2＝5，b2＝2，c2＝3， ∴c2+b2＝c2， ∴D可以判定△ABC是直角三角；不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理． 4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4＝x﹣3，求出即可． 【解答】解：设正方形D的面积为x， ∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4＝x﹣3， 解得：x＝9， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中． 5．实数a、b在数轴上位置如图所示，则化简的结果（　　） A．2b B．2a C．2b﹣2a D．0 【分析】首先结合数轴确定﹣1＜b＜0＜a＜1，易得a﹣b＞0，然后再根据运算法则进行计算，即可获得答案． 【解答】解：由数轴可知a﹣b＞0， ∴ ＝|a|﹣|b|﹣|b﹣a| ＝a+b﹣（a﹣b） ＝2b， 故选：A． 【点评】此题主要考查了利用二次根式的性质化简，实数与数轴之间的对应关系，解题关键是根据a，b在数轴上的位置判断各数的符号以及绝对值的大小． 6．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中高偏度值”为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据题意作图高、中线，再根据勾股定理求解． 【解答】解：过C作CH⊥AB于H，取AB的中点D，连接CD，过D作DE⊥CH于E， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3． ∴AB5， ∴CD＝BDAB＝2.5， ∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CH， ∴CH＝2.4， ∴BH1.8， ∴DH＝BD﹣BH＝0.7， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，理解新定义和掌握勾股定理是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 7．计算：　2　 ． 【分析】利用二次根式的乘法法则计算，再利用二次根式的性质即可求得答案． 【解答】解：原式 ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次根式的乘除法及性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．若，则x+y的平方根为 　±3　 ． 【分析】利用非负数的性质求出x、y的值，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵， ∴x+2＝0，y﹣11＝0， ∴x＝﹣2，y＝11， ∴x+y＝﹣2+11＝9， ∵9的平方根是±3， ∴x+y的平方根是±3． 故答案为：±3． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，平方根，正确根据非负数的性质求出x、y的值是解题的关键． 9．下面的图（2）是图（1）的侧面展开图．一只小昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点，则B点在图（2）中的位置是 　③　 ．（请填序号） 【分析】根据线段的性质即可得到结论． 【解答】解：从A点沿最短的距离爬到B点，则B点在图（2）中的位置是③， 故答案为：③． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，正确地识别图形是解题的关键． 10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小：　＞　 （填“＞”或“＜”）． 【分析】通过比较与2的大小，利用算术平方根性质得出，推出，进而得出结论． 【解答】解：人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是，则： ∵5＞4， ∴，即． ∴，即 ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查无理数的估算和比较大小，正确判断的范围是求解本题的关键． 11．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 　20米　 ． 【分析】根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【解答】解：根据题意得，底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴AE＝6，ABAC16＝8， ∴BE10， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为2×10＝20米． 故答案为：20米． 【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC＝5，AD＝4，BC＝10，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为　或3或　 秒时，△ACP为等腰三角形． 【分析】根据题意进行分类讨论：①当AC＝PC＝5时，②当AC＝AP时，③当AP＝CP时，即可解答． 【解答】解：①当AC＝PC＝5时， ts； ②当AC＝AP时， ∴DP＝CD3， 解得CP＝6， ∴t3s； ③当AP＝CP时， 设AP＝CP＝x，则PD＝CP﹣CD＝（x﹣3）， ∵AD2+PD2＝AP2， 即42+（x﹣3）2＝x2， 解得x， ∴t2（s）， 综上t为秒或3秒或秒， 故答案为：或3或． 【点评】本题考查了的等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论． 三．解答题（共11小题） 13．（1）计算：． （2）如图，求出下列直角三角形中未知边的长度． 【分析】（1）先将立方根和算术平方根化简，再进行计算即可； （2）根据勾股定理即可解答． 【解答】解：（1） ＝﹣2+2 ＝0； （2）根据题意得AB25， 答：直角三角形中未知边的长度是25． 【点评】本题考查了算术平方根和立方根，勾股定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 14．解方程： （1）4x2﹣25＝0； （2）（x﹣2）3+64＝0． 【分析】（1）将原方程整理后利用平方根的定义解方程即可； （2）将原方程整理后利用立方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1）原方程整理得：x2， 则x＝±； （2）原方程整理得：（x﹣2）3＝﹣64， 则x﹣2＝﹣4， 解得：x＝﹣2． 【点评】本题考查平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AB＝15，AD＝12，CD＝16． 求证：△ABC是直角三角形． 【分析】根据勾股定理求出BD＝9，AC＝20，进而推出BC2＝AB2+AC2，根据勾股定理逆定理即可得解． 【解答】证明：∵AD⊥BC，AB＝15，AD＝12，CD＝16， ∴BD9，AC20， ∴BC＝BD+CD＝25， ∴BC2＝252＝625，AB2+AC2＝152+202＝625， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟记勾股定理逆定理、勾股定理是解题的关键． 16．已知某正数的两个不同的平方根为3a﹣6和a+2，3﹣b的立方根为﹣2． （1）求a、b的值； （2）求3a+2b的平方根． 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数建立方程，解方程可得a的值，再根据立方根的性质即可得b的值； （2）将a，b的值代入可得3a+2b的值，再根据平方根的性质即可得． 【解答】解：（1）根据题意可知，（3a﹣6）+（a+2）＝0， 解得：a＝1， ∵3﹣b的立方根为﹣2， ∴3﹣b＝（﹣2）3＝﹣8， 解得：b＝11， ∴a＝1，b＝11； （2）由（1）已得：a＝1，b＝11， ∴3a+2b ＝3×1+2×11 ＝3+22 ＝25， ∴3a+2b的平方根为． 【点评】本题考查了平方根，立方根，掌握平方根与立方根的性质是关键． 17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图中画一条线段MN，使MN； （2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF． 【分析】（1）根据勾股定理，则只需构造一个以1和4为直角边的直角三角形，则斜边MN即为； （2）根据正方形的性质，则只需构造两条分别是和2的对角线，即得到一个三边长均为无理数的直角三角形． 【解答】解：如图所示： 【点评】此题综合考查了勾股定理、直角三角形的性质和正方形的性质． 18．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225， 所以，CD＝15（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝15+1.5＝16.5（米）， 答：风筝的高度CE为16.5米； （2）由题意得，CM＝9， ∴DM＝6， ∴BM＝＝＝10（米）， ∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 19．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是AB边上一点，将△BCE沿直线CE折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上，求AE的长． 【分析】利用矩形的性质，轴对称的性质和勾股定理求得DF，设AE＝x，则BE＝FE＝8﹣x，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，将△BCE沿直线CE折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上， ∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝FC＝10， ∴， ∴AF＝10﹣6＝4， 设AE＝x，则BE＝FE＝8﹣x， 在Rt△AEF中， ∵AE2+AF2＝EF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴AE＝3． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 20．若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求a的平方根； （2）对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“※”如下：x※y，如：3※2，请求a※[a※（﹣2）]的值． 【分析】（1）根据最简二次根式和同类二次根式得出2a﹣2＝﹣a+16，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出6※（﹣2），再根据新运算求出6※的值即可． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴2a﹣2＝﹣a+16， ∴a＝6． （1）∵a＝6， ∴a的平方根是±； （2）∵a＝6， ∴a※（﹣2）＝6※（﹣2）， ∴a※[a※（﹣2）] ＝6※ ． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，平方根和有理数的混合运算等知识点，能求出a的值是解此题的关键． 21．已知 （1）求x2+xy+y2； （2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 【分析】（1）先代入，再根据二次根式的性质进行分母有理化，从而解决此题． （2）先化简确定a与b，再代入求解． 【解答】解：∵， ∴x2+xy+y2 ＝4 ＝10． （2）∵， ∴a，b＝2． ∴ ． 【点评】本题主要考查分数有理化，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 22．先阅读下列解答过程： 形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12， 由于4+3＝7，4×3＝12，即， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：　　 ； （2）化简：（请写出计算过程）； （3）化简：． 【分析】（1）直接根据阅读内容进行变换化简即可； （2）根据例题把4，变成2，然后根据阅读内容进行化简； （3）先根据阅读内容先将分母进行化简，然后分母有理化，再通过合并同类项进行化简． 【解答】解：（1）∵3+1＝4，3×1＝3，即（）2+12＝4，， ∴． 故答案为：． （2）． （3）原式 2 ＝1． 【点评】本题是一道阅读理解题，主要考查了二次根式的化简，解答本题的关键是掌握题目中告知问题的解题思路与方法，然后利用这种解题方法解决新问题． 23．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点． （1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE； （2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD． 【分析】（1）由△ACE≌△ADE（AAS），推出CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题； （2）分两种情形分别求解即可解决问题； 【解答】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25 ∴BC＝20， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAC＝∠EAD， ∵AC⊥CB，DE⊥AB， ∴∠EDA＝∠ECA＝90°， ∵AE＝AE， ∴△ACE≌△ADE（AAS）， ∴CE＝DE，AC＝AD＝15， 设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10 在Rt△BED中 ∴x2+102＝（20﹣x）2， ∴x＝7.5， ∴CE＝7.5． （2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形 ∵AC＝15， ∴AD＝AC＝15． ②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形 ∵CD＝AD， ∴∠DCA＝∠CAD， ∵∠CAB+∠B＝90°， ∠DCA+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠BCD， ∴BD＝CD， ∴CD＝BD＝DA＝12.5， ③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形， 如图1中，作CH⊥BA于点H， 则•AB•CH•AC•BC， ∵AC＝15，BC＝20，AB＝25， ∴CH＝12， 在Rt△ACH中，AH9， ∵CD＝AC，CH⊥BA， ∴DH＝HA＝9， ∴AD＝18． 综上所述：AD为12.5、15或18 【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/1 7:27:13；用户：罗学勤；邮箱：18779649701；学号：39962994 第1页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $