精品解析：湖南省长沙市周南梅溪湖中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

周南梅溪湖中学2024级初二上学期第一次作业检测 数学试卷 时间：120 分钟 满分： 120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ） A. B. C. D. 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点G，则的面积是（　　） A. B. C. D. 9. 若，则 以a、b为边长等腰三角形的周长为（ ） A. 19 B. 22 C. 23 D. 19或23 10. 如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于.下列五个结论：其中正确的有（ ） （1）；（2）；（3）点到各边的距离都相等；（4）设，若，则；（5）.（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：a3－a=___________ 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_______． 13. 若多项式是一个完全平方式，则______． 14. 已知 （m、n是正整数），则_____________． 15. 如图，在三角形中，，平分，点E是线段延长线上一点，连接，点C在的垂直平分线上，若，则的周长等于______． 16. 如图， 在中， ，， 点B坐标为， 点C坐标为， 则点A的坐标为_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 整式的运算 （1） （2） （3） （4）（简便计算） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为： A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1） （1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）求△ABC的面积 20. 在中，，直线经过点C，且于D，于E．求证： （1）； （2） ． 21. 通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题， 例如：若，，求的值． 解：， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，，求的值． （2）如图，已知，，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中．若的面积为9，和的面积之和为，求线段的长． 22. 如图，在中，，是的中线，的垂直平分线分别交、、于点 E、F、O， 连接、． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 23. [项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． （1）[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是______． （2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； （3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． （4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 24. 我们已经学习了等腰三角形，知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等． （1）如图1，如果在一个三角形中，两个角不相等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则______（填写“＞”“＜”或“＝”），并且请证明你的猜想； （2）如图2，在中，平分交于点，连接、，判断并证明与的大小关系； （3）如图3，在中，，的角平分线、交于点，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周南梅溪湖中学2024级初二上学期第一次作业检测 数学试卷 时间：120 分钟 满分： 120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐个分析即可求解． 【详解】解：A.是轴对称图形，故该选项符合题意； B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义. 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形三边关系， ∴三角形的第三边x满足：，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的计算法则依次计算即可得出正确选项. 【详解】解：A. ，所以A错误； B.，所以B错误； C.，所以C错误； D.，所以D正确； 故答案选：D. 【点睛】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算. 4. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故选：A． 5. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据ASA证明全等解答即可． 【详解】解：由图可得，三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边， 所以根据ASA证明三角形全等， 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形的全等，关键是根据全等三角形的判定方法解答． 6. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意． C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点G，则的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积． 【详解】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积． 故选C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质． 9. 若，则 以a、b为边长等腰三角形的周长为（ ） A. 19 B. 22 C. 23 D. 19或23 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查偶次方及绝对值的非负性，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，由偶次方及绝对值的非负性可求解a，b的值，再由三角形的三边关系进行判定，即可求解三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴等腰三角形的三边长分别为5，5，9或5，9，9， ∵， ∴边长分别为5，5，9的等腰三角形的周长为； 边长分别为5，9，9的等腰三角形的周长为 ∴以a、b为边长的等腰三角形的周长为19或23， 故选：D． 10. 如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于.下列五个结论：其中正确的有（ ） （1）；（2）；（3）点到各边的距离都相等；（4）设，若，则；（5）.（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，故③错误；E、F不可能是三角形ABC的中点，则EF不能为中位线故④正确． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故（2）正确； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF， ∵EF∥BC， ∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC， ∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF， ∴BE=OE，CF=OF， ∴EF=OE+OF=BE+CF， 故（1）正确； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON=OD=OM=m， ∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故（3）正确，故（4）错误； ∵S△EOB=•BE•OM，S△OCF=•FC•OD， ∵OM=OD，BE不一定等于CF， ∴S△EOB不一定等于SFOC．故（5）错误， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 13. 若多项式是一个完全平方式，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式.根据完全平方公式即可求出的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 已知 （m、n是正整数），则_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握“同底数幂相除，底数不变，指数相减”是解题的关键． 15. 如图，在三角形中，，平分，点E是线段延长线上一点，连接，点C在的垂直平分线上，若，则的周长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键． 由，平分，可得，由点C在的垂直平分线上，可得，由题意知，，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 16. 如图， 在中， ，， 点B坐标为， 点C坐标为， 则点A的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直角坐标系和全等三角形的判定和性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，则，，即可利用证明，有和．结合点坐标得，，，可求得和即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标是， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 整式的运算 （1） （2） （3） （4）（简便计算） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）利用积的乘方运算法则求解即可； （2）利用多项式除以单项式运算法则求解即可； （3）利用平方差公式求解即可； （4）利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；． 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式化简式子，再将x，y的之代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算中的先化简再求值，关键是掌握完全平方公式和平方差公式将整式进行化简． 19. 如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为： A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1） （1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； （2）求△ABC的面积 【答案】 （1）如图所示 （2）11.5 【解析】 【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案； （2）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】解：（1）略 （2） 【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 20. 在中，，直线经过点C，且于D，于E．求证： （1）； （2） ． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2） 证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，，，证明即可； （2）由（1）可知，，则，由，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题， 例如：若，，求的值． 解：， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，，求的值． （2）如图，已知，，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中．若的面积为9，和的面积之和为，求线段的长． 【答案】（1）的值为； （2）线段的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活应用，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键． （1）利用完全平方公式变形，整体代入求解即可； （2）设，，先求出的乘积，再求出，把线段的长转化为即可得解． 【小问1详解】 解： ， 把，代入， 可得， ∴； 【小问2详解】 解：设，， 由面积为，得，即， 和是等腰直角三角形， 和的面积之和为， ， ， 即，化简得， ∴， （负值舍去）， 线段的长为：． 22. 如图，在中，，是的中线，的垂直平分线分别交、、于点 E、F、O， 连接、． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线性质． （1）根据等腰三角形的性质，证得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，进而计算出结果； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求出的度数，即可求出． 【小问1详解】 解：∵在中，，是的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线分别交、、于点 E、F、O， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． 23. [项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． （1）[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是______． （2）若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； （3）[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值． （4）[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】（1）4，8 （2）12 （3） （4） 因为，为“雅美数”，则令，（，，，为整数） ∴ 又∵，，，为整数 ∴，均为整数 ∴是“雅美数”． 【解析】 【分析】（1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，进行计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论． 【小问1详解】 4是“雅美数”，理由：因为； 8是“雅美数”，理由：因为. 故答案为：4，8； 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴， 故答案为：12； 【小问3详解】 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键． 24. 我们已经学习了等腰三角形，知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等． （1）如图1，如果在一个三角形中，两个角不相等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则______（填写“＞”“＜”或“＝”），并且请证明你的猜想； （2）如图2，在中，平分交于点，连接、，判断并证明与的大小关系； （3）如图3，在中，，的角平分线、交于点，若，求． 【答案】（1） 解：， 证明：如图1，在上截取，连接，则， ， ， ， ， 故答案为：； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，则，由，得，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）延长到点，使，连接，则，因为，所以，再证明，得，所以； （3）在上截取，连接，可证明，则，，所以，由，得，则，作于点，于点，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 证明：如图2，延长到点，使，连接，则， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，在上截取，连接， ，的角平分线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， 作于点，于点， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $