精品解析：辽宁省抚顺市第一中学2024-2025学年高二下学期期初测试数学试题

抚顺一中2024-2025学年度高二年级下学期期初测试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 椭圆的长轴长为4 C. 椭圆的焦距为4 D. 2. 设，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 3. 为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有 A. 180种 B. 150种 C. 90种 D. 114种 4. 已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ） A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 5. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 6. 盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ） A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的 C. 恰有2个是好的 D. 至多有2个是坏的 7. 盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 设，随机变量的分布列分别如下，则( ) 0 1 2 P 0 1 2 P A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. 事件与事件不相互独立 D. 、、两两互斥 11. 2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（ ） A. 设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则 B. 设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则 C. 用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则 D. 用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示． 数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 a 100 79 93 68 85 77 已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是________．（参考数据：） ①；②y与x正相关；③y与x的相关系数为负数；④若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分． 13. 甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、乙完成任务的概率分别为0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人数为，则______. 14. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为 （1）当取最小值时，求的值； （2）求出的通项公式. 16. 某种产品的加工需要经过5道工序． （1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ （4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 17. 随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于5小时 周平均锻炼时间不少于5小时 合计 50岁以下 80 120 200 50岁以上（含50） 50 150 200 合计 130 270 400 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ （2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束． （1）求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率； （2）若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望． 19. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为. （1）求C的方程； （2）已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 抚顺一中2024-2025学年度高二年级下学期期初测试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 椭圆的长轴长为4 C. 椭圆的焦距为4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由离心率可求出，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距. 【详解】由椭圆的性质可知，椭圆的短轴长为，圆的离心率，则， 即，，所以椭圆的长轴长，椭圆的焦距， 故选：B． 2. 设，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 令代入所给等式即可得解. 【详解】令，则 故. 故选：B 【点睛】本题考查赋值法求二项展开式系数的和，属于基础题. 3. 为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有 A. 180种 B. 150种 C. 90种 D. 114种 【答案】D 【解析】 【分析】先安排甲，再安排乙，最后三人分成四种情况：（1）三个人一块到第三所学校，（2）两个人到第三所学校，另一人到前两所学校中任意一所，（3）一人到第三所学校，另两个人一起到前两所学校中任意一所，（4）一人到第三所学校，两个人分别到前两所学校中任意一所； 【详解】解：分四种情况： （1）安排甲到一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人一起 到第三所学校有1种方法，共有种方法； （2）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中两人一起到第三所学校有种方法，另一人到前两所学校中任意一所有，共有种方法； （3）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一 人到第三所学校有，另两人一起到前两所学校中任意一所有，共有种方法； （4）安排甲到第一所学校有种方法，安排乙到第二所学校有种方法，余下三人中一 人到第三所学校有，另两个人分别到前两所学校有种方法共有种方法，种方法； 综合以上有： 故选：D 【点睛】考查分类计数原理和分布计数原理，基础题. 4. 已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ） A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质计算即可求得结果. 【详解】由等差数列性质计算可得，即， 所以可得. 故选：A 5. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解. 【详解】由题意 事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件 由条件概率的定义： 故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 6. 盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ） A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的 C. 恰有2个是好的 D. 至多有2个是坏的 【答案】C 【解析】 【分析】利用超几何分布的概率公式，对四个选项一一求概率，进行验证即可. 【详解】对于A，事件的概率为； 对于B，事件的概率为； 对于C，事件的概率为； 对于D，事件的概率为. 故选：C. 7. 盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】算出的分布列和期望后可得正确的选项. 【详解】，， ∵，∴ . ∵，，， ∴， 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望，概率计算时需仔细审题，弄清黑球变化的规律，本题属于中档题. 8. 设，随机变量的分布列分别如下，则( ) 0 1 2 P 0 1 2 P A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量的数学期望和方差的计算方法分别计算出两个随机变量的方差，根据的范围作差判断它们方差的大小即可. 【详解】设随机变量为X，其可能的取值是，对应概率为，则其数学期望(均值)为， 其方差为： ， 则，， ； ，， ； ∴， 若，则，，故，即，故A正确，B错误； 若，则，但无法判断与1的大小，故无法判断的大小，故CD错误． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】ABC 【解析】 【分析】若为偶数，则展开式中间一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式中间两项与的二项式系数和相等，且最大. 【详解】若展开式只有第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝8；若展开式第四项和第五项的二项式系数最大，则，解得：n＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大，则，解得：n＝9； 故选：ABC 10. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. 事件与事件不相互独立 D. 、、两两互斥 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式可判断A选项；直接写出的值，可判断B选项；利用独立事件的定义可判断C选项；利用互斥事件的定义可判断D选项. 【详解】依题意，，，， ，，B对， ，A错； ，， 所以，，所以，事件与事件不相互独立，C对， 由题意可知，事件、、中的任意两个事件都不可能同时发生， 因此，事件、、两两互斥，D对. 故选：A. 11. 2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（ ） A. 设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则 B. 设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则 C. 用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则 D. 用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】理解题意，利用超几何分布，求概率，求期望，求方差即可. 【详解】对于A：从7名志愿者中抽取3人，所有可能的情况有（种），其中恰有1名女志愿者的情况有（种），故，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则，，，， 所以，故C错误. 对于D：由题可知Y的可能取值为0，1，2，3，则，，，， 则， ， 则，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示． 数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 a 100 79 93 68 85 77 已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是________．（参考数据：） ①；②y与x正相关；③y与x的相关系数为负数；④若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先求出，再代入回归方程中可求出，判断①，由系数可判断②③，由线性回归方程可判断④. 【详解】对于①，因为，，y关于x的回归直线方程为， 所以，解得，所以①正确， 对于②，因为回归方程中的，所以y与x正相关，所以②正确， 对于③，因为回归方程中的，所以y与x的相关系数为正数，所以③错误， 对于④，由于y关于x的回归直线方程为，所以当数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高分，所以④正确， 故答案为：①②④ 13. 甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、乙完成任务的概率分别为0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人数为，则______. 【答案】1.5（或） 【解析】 【分析】由题意得的可能取值，利用独立时间概率公式求得分布列，利用期望的定义计算即可. 【详解】的可能取值为0，1，2，且， ，， 故. 故答案为：1.5（或）. 【点睛】本题考查简单离散型概率分布列的期望，根据事件的独立性概率公式求得分布列是关键，属基础题,难度不大. 14. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】首先根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式，即可求解；随机变量服从二项分布，代入二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】设事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅， 由题意可知，，，， 则， ， 所以第2天去餐厅的概率为； 由题意可知，每个人去餐厅的概率为，，所以. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为 （1）当取最小值时，求的值； （2）求出的通项公式. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）直接对进行配方，由及二次函数性质可求出其最小值， （2）由，求解的通项公式. 【小问1详解】 因为， 所以，又， 所以或时，取最小值时，最小值为； 【小问2详解】 因为， 所以，当时，， 所以， 当时，， 所以. 16. 某种产品的加工需要经过5道工序． （1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ （4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72 【解析】 【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空 【详解】解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （3）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （4）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序， 17. 随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调查，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于5小时 周平均锻炼时间不少于5小时 合计 50岁以下 80 120 200 50岁以上（含50） 50 150 200 合计 130 270 400 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ （2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能 （2）的分布列为： 1 2 3 ，【解析】 【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论； （2）抽取的8人中，周平均锻炼时长少于和不少于5小时的人数，得出所有可能的取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式求得数学期望. 【小问1详解】 解：零假设周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 解：抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有人，不少于5小时的有人，则所有可能的取值为， 所以； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 所以数学期望. 18. 袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束． （1）求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率； （2）若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） X的分布列为： X 2 3 4 5 P 期望为 【解析】 【分析】（1）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解； （2）X的可能取值为2，3，4，5，算出对应的概率即可得分布列以及数学期望. 【小问1详解】 设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（，2，3）摸到红球为事件， 则事件， 显然、、彼此互斥， 由互斥事件概率的加法公式： 因为每次摸到红球后放回，所以，，， 所以，. 【小问2详解】 依题意，X的可能取值为2，3，4，5， ， ， ， ， 所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为： X 2 3 4 5 P . 19. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为. （1）求C的方程； （2）已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） 证明：由题意可知直线的斜率不为0，否则将位于x轴同侧，，不合题意； 设的方程为（），代入， 得， 由，得， 设，，则，， 所以， ， 直线AM的方程为，令，得，故， 同理可求， 所以，， 由，得， 即，所以， 所以，解得，（舍）， 所以直线MN的方程为，故直线MN过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意列方程组求解的值，即得答案； （2）设的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合化简求值，可得t的值，即可证明结论. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为c，由题意得， 解得， 故C的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线过定点问题，解答此类题目的思路并不困难，设直线方程并联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合题意进行化简即可，难点在于计算过程比较复杂，且基本都是有关字母参数的计算，计算量较大，要十分细心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $