精品解析：广东省湛江市廉江市第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年度高一级第一次月考试卷 数学 本卷共19大题，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.则满足不等式解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列判断错误的是（ ） A. 若，，则 B. {菱形}{矩形}{正方形} C. 方程组的解集为 D. 如果，那么 10. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. ab≥8 C. a+b≥4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为________． 13. 函数的定义域是________. 14. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 16. 已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． （1）写出函数的解析式、定义域和值域； （2）求，的值． 17. 设函数. （1）若命题：是假命题，求的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法， 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：. 证明：原式. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 请根据阅读材料解答下列问题 （1）已知如，求___________. （2）若，解方程. （3）若正数、满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一级第一次月考试卷 数学 本卷共19大题，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先得到，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 因此. 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确. 故选A. 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】转化为求解即可. 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 4. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据不等式的性质判断各选项． 【详解】由于，B中无意义，B错； 时，，C，D均错． 只有正确，． 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键，在应用不等式性质时，一定要注意不等式成立的条件，否则易出错． 5. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 当时，恒成立，等价于当时，恒成立， 则有， 故选：D 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 7. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用函数在单调递增检验充分必要性即可求解. 【详解】令，在上都为增函数，在单调递增， 又a，，所以， 即“”是“”的充要条件， 故选：C 8. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.则满足不等式解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式，结合高斯函数的定义即可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为表示不超过的最大整数，所以， 故不等式解集是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列判断错误的是（ ） A. 若，，则 B. {菱形}{矩形}{正方形} C. 方程组的解集为 D. 如果，那么 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，取特殊值可判断；对B，根据菱形，矩形及交集的定义可得；对C，由解集为点集可判断；对D，由不等式的性质可判断. 【详解】对A，若，，如，则，故A错误； 对B，因为既是菱形又是矩形的图形是正方形，故B正确； 对C，方程组的解集为，故C错误； 对D，若，则，则，故D正确. 所以错误的选项为AC. 故选：AC. 10. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可. 【详解】由，解得. 要满足题意，只需在的子集中确定即可， 显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB. 11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. ab≥8 C. a+b≥4 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，利用化简计算和基本不等式判断各个选项； 【详解】对于A，由题可得，即故A正确； 对于B，为正数，为正数，所以，当且仅当a=b=2时，等号成立.故B不正确； 对于C，为正数，当且仅当a=b=2时，等号成立，故C 正确； 对于D，为正数，当且仅当时，等号成立.故 D正确. 故选: ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可解决. 【详解】因为一元二次方程的判别式，方程无实数解，所以的解集为， 故答案为： 13. 函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的函数有意义列式求出定义域. 【详解】要使原函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数性质可以得出不等式的整数解在对称轴的附近的三个整数值，再根据图象得到关于的不等式组，进而求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 所以个整数为：，，． 结合对称轴，可得，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，求出，即可根据交集和并集的定义求解． （2）根据，可得不等式组进而即得． 【小问1详解】 当时，，所以， ,； 【小问2详解】 ，， 则，解得：． 故实数取值的集合为. 16. 已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． （1）写出函数的解析式、定义域和值域； （2）求，的值． 【答案】（1），定义域为，值域为； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据图象结合待定系数法计算解析式，定义域和值域即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【小问1详解】 根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为， 将点代入解析式可得，即； 当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为， 由图象可知其顶点为且过点，所以， 即， 则， 结合图象，所以的定义域为，值域为； 【小问2详解】 由上可知，， 即，. 17. 设函数. （1）若命题：是假命题，求的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，求出实数的取值范围，从而可求出命题为假命题时，实数的取值范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得即可求解的取值范围. 【小问1详解】 若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则，满足题意； 若即，则，所以， 综上，或. 所以命题：是假命题时，； 【小问2详解】 存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 18. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【小问1详解】 若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. 【小问2详解】 因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法， 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：. 证明：原式. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征. 请根据阅读材料解答下列问题 （1）已知如，求___________. （2）若，解方程. （3）若正数、满足，求的最小值. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 由题意得． 【小问2详解】 原方程可化为：， 即：， ，即，解得：． 【小问3详解】 由题意得， ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $