第十五章 专题三 等腰(边)三角形的判定与性质的综合运用+阶段检测三 (15.3)-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

.CD∥AB,且CD=AB, '.CD=CA=BC,∠ACD=∠CAB=∠ACB, .BO=DO,CO⊥BD, .AC垂直平分BD (2)由(1)知AC垂直平分BD, .'NB=ND. 'ND=NM,..NB=NM. 13.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由： .DE⊥BC,DF⊥AC, .∠BDE=90°，∠DFC=90°. 在Rt△BDE和Rt△CFD中， BE=CD, BD=CF, ∴.Rt△BDE≌Rt△CFD(HL). ∴.∠B=∠C. .AB=AC.,△ABC是等腰三角形. (2),Rt△BDE≌Rt△CFD,∴.DE=DF 当△DEF为等边三角形时，∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°. .∠FDC=90°-∠EDF=30. .∠C=90°-∠FDC=60°..∠B=∠C=60° .∠A=180°-∠B-∠C=60°. .当∠A为60时，△DEF是等边三角形. 14.证明：(1)AB=AC,AD⊥BC, ∠BAD=∠DAC=号∠BAC .∠BAC=120°， 1 六∠BAD=∠DAC=2X120°=60， ,AD=AB,△ABD是等边三角形. (2),△ABD是等边三角形， .∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD. ∠EDF=60°，∠BDE=∠ADF. 在△BDE和△ADF中， |∠DBE=∠DAF=60, BD=AD, ∠BDE=∠ADF, .△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.A2.A3.124.2 5.解：：AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线 于点F,∴.∠BDF=90°，AE=BE..∠ABE=∠A. ∠F=30°，∠DBF=60°.，∠ACB=90°，∠A=30° .∠ABE=30°..BE=2DE=2 6.解：(1)过点P作PD⊥AB于点D :∠PBD=90°-60°=30°，且∠PBD=∠PAB+∠APB ∠PAB=90°-75°=15°，.∠APB=15°，.∠PAB ∠APB,.BP=AB=7海里. (2)轮船没有触礁的危险.理由： 由(1)得在Rt△PBD中，BP=7海里，∠PBD=30°，∠PDB= 90,PD=号PB=3.5海里.：3.5>3， ,该轮船继续向东航行没有触礁的危险， 7.C8.C9.8 10.解：过点P作PF⊥OB于点F. ∠AOB=30°，OC平分∠AOB, ∴.∠AOC=∠BOC=15°. PD/∥OA,∴.∠DPO=∠AOP=15. .∠BOC=∠DPO..PD=OD=4cm ∠AOB=30°，PDOA,.∠BDP=30° 在R△PDF中，PF=之PD=2em ,OC为∠AOB的平分线，PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.PE=PF.∴.PE=2cm. 11.解：如图所示，分别过点A,B作AE⊥CP于点E,BF⊥DQ 于点F, 在Rt△ACE中，∠ECA=30°，AC=54cm, AE=号AC=号×54=27(cm, 同理可得BF=27cm. .点A与点B之间的距离为10cm, ∴.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为27十 10+27=64(cm). 30 闸机C D闸机 箱 箱 12.解：(1)在△ABC中，，∠C=90°，∠A=30°， ∴.∠B=60° .60÷2=30(s) ∴.0≤t≤30，BP=(60-2t)cm,BQ=tcm. 当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形， 即60-2t=t,.t=20, 即当t=20时，△PBQ为等边三角形. (2)若△PBQ为直角三角形，则分两种情况： ①当∠BQP=90时，BP=2BQ, 即60-2t=2t,.t=15. ②当∠BPQ=90°时，BQ=2BP, 即t=2(60-2t),∴.t=24. 即当t=15或t=24时，△PBQ为直角三角形. 专题三等腰（边）三角形的判定与 性质的综合运用 1.解：(1)①若底边长为8cm,则腰长为(20一8)÷2=6(cm),此 时长度为8cm,6cm,6cm的三条线段能构成三角形： ②若腰长为8cm,则底边长为20-8×2=4(cm),此时长度 为8cm,8cm,4cm的三条线段能构成三角形， 综上所述，其他两边的长分别为6cm,6cm或8cm,4cm. (2)①当6cm是腰长，7cm是底边长时，6+6>7，所以能构 成三角形，该三角形的周长为6+6+7=19(cm): ②当6cm是底边长，7cm是腰长时，6十7>7， 所以能构成三角形，该三角形的周长为6十7+7=20(cm). 综上所述，该等腰三角形的周长为19cm或20cm. (3)①当腰长为5cm时，5+5<12，所以不能构成三角形： ②当腰长为12cm时，5+12>12，所以能构成三角形，此时它 的周长是12+12+5=29(cm). 综上所述，该等腰三角形的周长为29cm. 15 2.解：(1)证明：AB=AC,.∠ABC=∠ACB. 'AC与AB边上的高BD,CE相交于点O, ∠OEB=∠ODC=90°. .'∠BOE=∠COD,∠OBE=180°-（∠OEB+∠BOE), ∠OCD=180°-（∠ODC+∠COD),∴.∠OBE=∠OCD. :∠OBC=∠ABC-∠OBE,∠OCB=∠ACB-∠OCD, ∠OBC=∠OCB,∴.OB=OC,△OBC是等腰三角形. (2)点O在∠BAC的平分线上.理由如下： 在△BEO和△CDO中， I∠OBE=∠OCD, BO=CO, ∠BOE=∠COD, ∴.△BEO≌△CDO(ASA),.OE=OD. 又.BD⊥AC,CE⊥AB, ∴.点O在∠BAC的平分线上 3.证明：(1)：△ABC,△ADE均是等边三角形， ∴.AE=AD,BC=AC=AB,∠BAC=∠DAE=60° ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS).∴.BD=CE. .BD=BC+CD=AC+CD, ∴.CE=BD=AC+CD. (2)由(1)知△BAD≌△CAE. ∠ACE=∠ABD=60. ∴.∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°. 4.解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直 角三角形.理由： ,AB=AC=BC=6cm,点P运动的速度为1cm/s,点Q运 动的速度为2cm/s, ∴.当点Q到达点C时，BP=3cm. 此时点P为AB的中点..PQ⊥AB. (2)能.假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等 边三角形，.BP=BQ..6-t=2t,解得t=2. ∴△BPQ能成为等边三角形，此时t的值为2. 阶段检测三（15.3) 1.C2.A3.B4.B5.10 6.157.30°或80°或52.5°或0°8.105 9.215≤a<18 10.解：.AB=AC,∴.∠B=∠C.∠BAC=120°， ∠B=∠C=号×180°-∠BAC)=30. 又.AE⊥AB,∴.∠BAE=90° .∠EAC=∠BAC-∠BAE=120°-90°=30° .∠C=∠EAC.∴.EC=AE=3cm. 在Rt△ABE中，∠B=30°， ∴.BE=2AE=6cm. .'BC=BE+EC=6+3=9(cm). 11.证明：(1)AB=AC,∠BAC=36°， .∠ABC=∠ACB=72°. 又.BD是∠ABC的平分线， ∴.∠ABD=36°， ,∠BAD=∠ABD,,AD=BD. 又E是AB的中点，.DE⊥AB,即EF⊥AB. (2)FE⊥AB,AE=BE,.FE垂直平分AB, .AF=BF,∴.∠BAF=∠ABF 又.∠ABD=∠BAD,∴.∠FAD=∠FBD=36°. 又，∠ACB=72°， ∴.∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°， ∴.∠CAF=∠AFC=36°， .AC=CF,即△ACF为等腰三角形. 12.证明：(1)，△ABC和△CDE都是等边三角形， .BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°. ,∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， (BC=AC, ∠BCE=∠ACD, CE=CD, .△BCE≌△ACD(SAS). (2)由(1)知△BCE≌△ACD,则∠CBF=∠CAH.又，'△ABC 和△CDE都是等边三角形，且点B,C,D在同一条直线上， .∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF. 在△BCF和△ACH中， |∠CBF=∠CAH, BC=AC, ∠BCF=∠ACH, .△BCF≌△ACH(ASA)..CF=CH. 又，∠FCH=60°， ∴△CHF为等边三角形， ∴.∠FHC=∠HCD=60°.∴.FH∥BD 13.解：(1)△BPQ是等边三角形，理由如下： 如图所示，根据题意，得AP=tcm,BQ=2tcm, 当t=2时，AP=2cm,BQ=4cm. :△ABC是边长为6cm的等边三 角形， .AB=6cm,∠B=60°， .BP=4 cm, ..BP=BQ, ∴△BPQ是等边三角形. (2)在△PBQ中，BP=(6-t)cm,BQ=tcm, 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90° ①当∠BQP=90时，：∠B=60°， ∴.∠BPQ=30°， B0-2即，用4-6-0 解得t=2; ②当∠BPQ=90时，同理得BP=2BQ, 1 即6-1=21，解得1=4. 综上所述，当t=2或t=4时，△PBQ是直角三角形. 特色素养专题（一）传统文化专题 1.A2.C3.D4.C 5.A或C 6.由 7.24 数学活动 1.B2.D3.A4.C 6null